（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 锐角三角函数.doc

锐角三角函数1、（2013天津）tan60°的值等于（）A1BCD2考点：特殊角的三角函数值分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案解答：解：tan60°=故选C点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容2、（2013温州）如图，在ABC中，C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（）ABCD考点：锐角三角函数的定义分析：利用正弦函数的定义即可直接求解解答：解：sinA=故选C点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3、（2013雅安）如图，AB是O的直径，C、D是O上的点，CDB=30°，过点C作O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为（）ABCD考点：切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值分析：首先连接OC，由CE是O切线，可得OCCE，由圆周角定理，可得BOC=60°，继而求得E的度数，则可求得sinE的值解答：解：连接OC，CE是O切线，OCCE，即OCE=90°，CDB=30°，COB=2CDB=60°，E=90°COB=30°，sinE=故选A点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用4、（2013包头）3tan30°的值等于（）AB3CD考点：特殊角的三角函数值分析：直接把tan30°=代入进行计算即可解答：解：原式=3×=故选A点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键5、（2013孝感）式子的值是（）AB0CD2考点：特殊角的三角函数值分析：将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案解答：解：原式=2×1（1）=1+1=0故选B点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容6、（2013荆门）如图，在半径为1的O中，AOB=45°，则sinC的值为（）ABCD考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义3718684分析：首先过点A作ADOB于点D，由在RtAOD中，AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值解答：解：过点A作ADOB于点D，在RtAOD中，AOB=45°，OD=AD=OAcos45°=×1=，BD=OBOD=1，AB=，AC是O的直径，ABC=90°，AC=2，sinC=故选B点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用7、（2013白银）如图，O的圆心在定角（0°180°）的角平分线上运动，且O与的两边相切，图中阴影部分的面积S关于O的半径r（r0）变化的函数图象大致是（）ABCD考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义专题：计算题分析：连接OB、OC、OA，求出BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案解答：解：连接OB、OC、OA，圆O切AM于B，切AN于C，OBA=OCA=90°，OB=OC=r，AB=ACBOC=360°90°90°=（180）°，AO平分MAN，BAO=CAO=，AB=AC=，阴影部分的面积是：S四边形BACOS扇形OBC=2×××r=（）r2，r0，S与r之间是二次函数关系故选C点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键8、（2013鄂州）如图，RtABC中，A=90°，ADBC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）ABCD考点：相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义3718684分析：首先证明ABDACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值解答：解：在RtABC中，ADBC于点D，ADB=CDA，B+BAD=90°，BAD+DAC=90°，B=DAC，ABDACD，=，BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，AD=x，则tanB=故选D点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长9、(2013年深圳市)如图3，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则的值是（ ） A. B. C. D.答案：D解析：分别过点A，B作设平行线间距离为d1，CEBF1，AECF2，ACBC，AB，则10、（2013杭州）在RtABC中，C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：sinA=；cosB=；tanA=；tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）考点：特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形专题：探究型分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论解答：解：如图所示：在RtABC中，C=90°，AB=2BC，sinA=，故错误；A=30°，B=60°，cosB=cos60°=，故正确；A=30°，tanA=tan30°=，故正确；B=60°，tanB=tan60°=，故正确故答案为：点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键11、（2013攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DEAB于点E，cosA=，BE=4，则tanDBE的值是2考点：菱形的性质；解直角三角形分析：求出AD=AB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在RtADE中，由勾股定理求出DE=8，在RtBDE中得出tanDBE=，代入求出即可，解答：解：四边形ABCD是菱形，AD=AB，cosA=，BE=4，DEAB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x3x=4，x=2，即AD=10，AE=6，在RtADE中，由勾股定理得：DE=8，在RtBDE中，tanDBE=2，故答案为：2点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长12、（2013鞍山）ABC中，C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长解答：解：cosA=，AC=ABcosA=8×=6，BC=2故答案是：2点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边13、（2013陕西）比较大小： （填“>”，“=”，“<”）考点：科学计算器的使用：数的开方及三角函数值。解析：按键顺序：易得填“>”14、（2013淮安）sin30°的值为考点：特殊角的三角函数值3718684分析：根据特殊角的三角函数值计算即可解答：解：sin30°=，故答案为点评：本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记15、（2013自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义3718684专题：网格型分析：根据同弧所对的圆周角相等得到ABC=AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cosABC的值，即为cosAED的值解答：解：AED与ABC都对，AED=ABC，在RtABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cosAED=cosABC=故答案为：点评：此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键16、(2013年武汉)计算 答案：解析：直接由特殊角的余弦值，得到。17、（2013 德州）cos30°的值是考点：特殊角的三角函数值分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可解答：解：cos30°=×=故答案为：点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键18、（2013曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，C=45°，AD=1，BC=4，则CD=3考点：直角梯形分析：过点D作DEBC于E，则易证四边形ABED是矩形，所以AD=BE=1，进而求出CE的值，再解直角三角形DEC即可求出CD的长解答：解：过点D作DEBC于EADBC，B=90°，四边形ABED是矩形，AD=BE=1，BC=4，CE=BCBE=3，C=45°，cosC=，CD=3故答案为3点评：此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质以及特殊角的锐角三角函数值，此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用19、（2013湖州）如图，已知在RtACB中，C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为考点：锐角三角函数的定义；勾股定理分析：首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用余弦函数的定义即可求解解答：解：BC=5，则cosB=点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边20、(2013年广东省4分、14)在RtABC中,ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=_.答案：解析：由勾股定理，得AB5，所以sinA21、（2013甘肃兰州4分、9）ABC中，a、b、c分别是AB、C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）AcsinA=aBbcosB=cCatanA=bDctanB=b考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义分析：由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到ABC是直角三角形，且C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项解答：解：a2+b2=c2，ABC是直角三角形，且C=90°AsinA=，则csinA=a故本选项正确；BcosB=，则cosBc=a故本选项错误；CtanA=，则=b故本选项错误；DtanB=，则atanB=b故本选项错误故选A点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可22、（2013哈尔滨） 先化简，再求代数式的值，其中考点：知识点考察：分式的通分，分式的约分，除法变乘法的法则，完全平方公式 特殊角的三角函数值 分析：利用除式的分子利用完全平方公式分解因式，除法变乘法的法则，同分母分式的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出a的值代入进行计算即可，考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键解答：原式= = 原式=23、（13年北京5分20）如图，AB是O的直径，PA，PC分别与O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E。（1）求证：EPD=EDO（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长。中国教育出&版*#网解析：考点：圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）24、（13年北京8分25）对于平面直角坐标系O中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得APB=60°，则称P为C 的关联点。已知点D（，），E（0，-2），F（，0）（1）当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直线交轴正半轴于点G，使GFO=30°，若直线上的点P（，）是O的关联点，求的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。解析：【解析】(1) ； 由题意可知，若点要刚好是圆的关联点； 需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为；由图可知，则，连接，则；若点为圆的关联点；则需点到圆心的距离满足；由上述证明可知，考虑临界位置的点，如图2；点到原点的距离；过作轴的垂线，垂足为；易得点与点重合，过作轴于点；易得；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上；(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点；考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则；此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为. 【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）25、(2013年广东湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题：，则 ； ，则 ； ，则 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有 1 （）如图，在锐角三角形中，利用三角函数的定义及勾股定理对证明你的猜想；（）已知：为锐角且，求（）证明：过点作于，在中，由勾股定理得，（）解：为锐角，26、（2013郴州）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形3718684分析：（1）根据等边对等角可得A=C，然后根据两直线平行，同位角相等求出CPE=A，从而得到CPE=C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据SPCE，SAPF，SABC，再根据S=SABCSPCESAPF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答解答：（1）证明：AB=BC，A=C，PEAB，CPE=A，CPE=C，PCE是等腰三角形；（2）解：PCE是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k，EM=CMtanC=k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于BH=AHtanA=×8k=4k，而EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=×8×16=64，S=SABCSPCESAPF，=64x2（8x）2，=2x2+16x，配方得，S=2（x4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点27、（2013呼和浩特）如图，AD是ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD=4：3（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形3718684分析：（1）由AD是ABC的角平分线，B=CAE，易证得ADE=DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EFAD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得AECBEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k（10+5k），解此方程即可求得答案解答：（1）证明：AD是ABC的角平分线，1=2，ADE=1+B，DAE=2+3，且B=3，ADE=DAE，ED=EA，ED为O直径，DFE=90°，EFAD，点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED=5k，ADEF=AEDM，DM=k，ME=k，cosAED=；（3）解：B=3，AEC为公共角，AECBEA，AE：BE=CE：AE，AE2=CEBE，（5k）2=k（10+5k），k0，k=2，CD=k=5点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用28、（2013滨州压轴题）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°求直线l3的函数表达式；把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=垂直的直线l5的函数表达式考点：一次函数综合题分析：（1）根据题意可直接得出l2的函数表达式；（2）先设直线l3的函数表达式为y=k1x（k10），根据过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，求出k1=tan30°，从而求出直线l3的函数表达式；根据l3与l4的夹角是为90°，求出l4与x轴的夹角是为60°，再设l4的解析式为y=k2x（k20），根据直线l4过二、四象限，求出k2=tan60°，从而求出直线l4的函数表达式；（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线y=垂直的直线l5的函数表达式解答：解：（1）根据题意得：y=x；（2）设直线l3的函数表达式为y=k1x（k10），过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，k1=tan30°=，直线l3的函数表达式为y=x；l3与l4的夹角是为90°，l4与x轴的夹角是为60°，设l4的解析式为y=k2x（k20），直线l4过二、四象限，k2=tan60°=，直线l4的函数表达式为y=x；（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，过原点且与直线y=垂直的直线l5的函数表达式为y=5x点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的求法，关键是根据锐角三角函数求出k的值，做综合性的题要与几何图形相结合，更直观一些29、（2013菏泽）如图，BC是O的直径，A是O上一点，过点C作O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P（1）求证：AP是O的切线；（2）OC=CP，AB=6，求CD的长考点：切线的判定与性质；解直角三角形分析：（1）连接AO，AC（如图）欲证AP是O的切线，只需证明OAAP即可；（2）利用（1）中切线的性质在RtOAP中利用边角关系求得ACO=60°然后在RtBAC、RtACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）BC是O的直径，BAC=CAD=90°E是CD的中点，CE=DE=AEECA=EACOA=OC，OAC=OCACD是O的切线，CDOCECA+OCA=90°EAC+OAC=90°OAAPA是O上一点，AP是O的切线；（2）解：由（1）知OAAP在RtOAP中，OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，sinP=，P=30°AOP=60°OC=OA，ACO=60°在RtBAC中，BAC=90°，AB=6，ACO=60°，AC=2，又在RtACD中，CAD=90°，ACD=90°ACO=30°，CD=4点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值30、（2013内江）在ABC中，已知C=90°，sinA+sinB=，则sinAsinB=±考点：互余两角三角函数的关系分析：根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解解答：解：（sinA+sinB）2=（）2，sinB=cosA，sin2A+cos2A+2sinAcosA=，2sinAcosA=1=，则（sinAsinB）2=sin2A+cos2A2sinAcosA=1=，sinAsinB=±故答案为：±点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键31、（2013攀枝花）如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交O与点B，延长BO与O交与点C，连接AC，BF（1）求证：PB与O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tanF=，求cosACB的值考点：圆的综合题分析：（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证（3）连接BE，构建直角BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=x；然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在RtABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解解答：（1）证明：连接OA，PA与圆O相切，PAOA，即OAP=90°，OPAB，D为AB中点，即OP垂直平分AB，PA=PB，在OAP和OBP中，OAPOBP（SSS），OAP=OBP=90°，BPOB，则直线PB为圆O的切线；（2）答：EF2=4DOPO证明：OAP=ADO=90°，AOD=POA，OADOPA，=，即OA2=ODOP，EF为圆的直径，即EF=2OA，EF2=ODOP，即EF2=4ODOP；（3）解：连接BE，则FBE=90°tanF=，=，可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF=x，BEBF=EFBD，BD=x又ABEF，AB=2BD=x，RtABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，122+（x）2=（x）2，解得：x=4，BC=4×=20，cosACB=点评：此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键32、（2013曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CFDE于F，过点A作AGCF交DE于点G（1）求证：DCFADG（2）若点E是AB的中点，设DCF=，求sin的值考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形分析：（1）根据正方形的性质求出AD=DC，ADC=90°，根据垂直的定义求出CFD=CFG=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出AGD=CFG=90°，从而得到AGD=CFD，再根据同角的余角相等求出ADG=DCF，然后利用“角角边”证明DCF和ADG全等即可；（2）设正方形ABCD的边长为2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出ADG的正弦，即为的正弦解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，ADC=90°，CFDE，CFD=CFG=90°，AGCF，AGD=CFG=90°，AGD=CFD，又ADG+CDE=ADC=90°，DCF+CDE=90°，ADG=DCF，在DCF和ADG中，DCFADG（AAS）；（2）设正方形ABCD的边长为2a，点E是AB的中点，AE=×2a=a，在RtADE中，DE=a，sinADG=，ADG=DCF=，sin=点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，同角的余角相等的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握各图形的性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键23