江苏省宿迁市宿豫区陆集初级中学九年级数学下册《方程思想在几何解题中的运用》解题 苏科版.doc

方程思想在几何解题中的运用方程思想是初中代数中最重要的数学思想，它贯穿于整个初中代数的始终通过设未知数，列方程（组），将几何问题转化为代数问题，这是解决几何问题的一种非常重要的方法现举例说明如下一、一元一次方程例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD求A的度数解 AB=AC，BD=BC=AD（已知）ABC=C=BDC，A=ABD（等边对等角）设A=°，则BDC=A+ABD=2°从而ABC=C=BDC=2°在ABC中，根据三角形内角和定理有+2+2=180解得=36A=36°评注 本道题的求解过程中，充分利用了等腰三角形性质定理以及三角形内角和定理，最后通过设未知数，列一元一次方程，求出角的度数二、一元二次方程例2 如图，在RtABC中，C=90°,D是BC的中点，DEAB于E，tanB=,AE=7.求DE的长.解 设DE=在RtBDE中，tanBBE=2，则BD=D为BC的中点，BC=2BD=又在RtABC中，tanB=，AC=在RtABC中，根据勾股定理有（2+7）=（）+（）解得=，=1（舍去）DE的长为评注 这是一道典型的利用一元二次方程知识求解的几何题.首先我们要大胆地设要求的线段长为未知数，将几何问题转化为代数问题来求解；其次要充分利用已知条件tanB=.三、二元一次方程组例3 如图，在梯形ABCD中，ABCD,AB=18cm,CD=6cm,DM=MP=PA,CN=NQ=QB求MN和PQ的长解 设MN=,PQ=.根据梯形中位线性质定理有解得MN=10cm，PQ=14cm评注 本题中，我们要求的线段不止一条，利用梯形中位线性质定理找到的等量关系也不止一个这时，我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组来解四、二元二次方程组例4 如图，两个同心圆被两条半径截得的弧长AB为6,弧长CD为10，又AC=12，求阴影部分ABDC的面积解 设OA=,O=°根据弧长公式得解得阴影部分ABDC的面积为cm².评注 解这个题，除了要用到弧长公式，扇形面积公式之外，还要用到解二元二次方程组的知识.五、三元一次方程组例5 如图，在ABC中，BC=14,AC=9,AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F.求AF、BD和CE的长.解 设AF=，BD=，CE=根据切线长定理有AF=AE，BF=BD，CD=CE.由题意有解得AF=4，BD=9，CE=5.评注 本题还可以通过列一元一次方程来求解.由以上几例，我们容易总结出用方程思想解几何问题的一般步骤为：设未知数把要求的角度，线度的长度，几何图形的面积等设为未知数列出方程(组)把涉及到的其他量也用含未知数的代数式表示，找出等量关系，列出含有未知数的方程(组)解方程(组)求出未知数的值检验方程的根要符合题意写出答案 3