2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价二十九第三章空间向量与立体几何4.2用向量方法讨论立体几何中的位置关系含解析北师大版选择性必修第一册202106042108.doc

二十九二十九用向量方法讨论立体几何中的位置关系用向量方法讨论立体几何中的位置关系(15 分钟30 分)1已知两直线的方向向量为 a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()Aa(1，0，0)，b(3，0，0)Ba(0，1，0)，b(1，0，1)Ca(0，1，1)，b(0，1，1)Da(1，0，0)，b(1，0，0)【解析】选 B.因为 a(0，1，0)，b(1，0，1)，所以 ab0110010，所以 ab.2若直线 l 的方向向量为 v(2，2，2)，向量 m(1，1，0)及 n(0，1，1)都与平面平行，则()AlBlClDl 与相交但不垂直【解析】选 A.因为 vm2200，vn0220，所以 vm，且 vn.又 m 与 n 不平行，所以 v，即 l.3已知平面内有一点 M(1，1，2)，平面的一个法向量 n(6，3，6)，则点 P(2，3，3)与平面的关系是_.【解析】MP(1，4，1)，MPn61260，所以MPn，又 n平面，M平面，所以 P平面.答案：P平面4已知 A(1，1，3)，B(0，2，0)，C(1，0，1)，若点 D 在 Oz 轴上，且ADBC，则|AD|_.【解析】设点 D 的坐标为(0，0，z)，则AD(1，1，z3)，BC(1，2，1).由ADBC，有ADBC12(z3)0，所以 z4，所以|AD|3.答案：35如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点 P 为 DD1的中点，求证：直线 PB1平面 PAC.【证明】以 D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，于是CA(1，1，0)，CP(1，0，1)，1PB(1，1，1)，所以CA1PB(1，1，0)(1，1，1)0，CP1PB(1，0，1)(1，1，1)0，故CP1PB，CA1PB，即 PB1CP，PB1CA，又 CPCAC，且 CP平面 PAC，CA平面 PAC.故直线 PB1平面 PAC.(30 分钟60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1直线 l 的一个方向向量和平面的一个法向量分别是 m(1，1，3)，n13，0，19，则直线 l 与平面的位置关系是()AlBlCl或 lD无法判断【解析】选 C.因为 mn130130，所以 mn.所以 l或 l.2 两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v(2，y，1)，若，则 yz 的值是()A3B6C6D12【解析】选 B.因为(3，1，z)，v(2，y，1)分别为，的法向量且，所以v，即v0，6yz0，所以 yz6.3如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E23A1D，AF13AC，则()A.EF 至多与 A1D，AC 之一垂直BEFA1D，EFACCEF 与 BD1相交DEF 与 BD1异面【解析】选 B.建立分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为 1，则1DA(1，0，1)，AC(1，1，0)，E13，0，13，F23，13，0，EF13，13，13，所以EF1DA0，EFAC0，所以 EFA1D，EFAC.4已知AB(1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为()A337，157，4B407，2，4C407，157，4D4，407，15【解析】选 C.因为ABBC，所以ABBC0，即 352z0，得 z4，又 BP平面 ABC，所以BPAB，BPBC，则（x1）5y60，3（x1）y120，解得x407，y157二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5在菱形 ABCD 中，若PA是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中一定成立的是()APAABBPACDCPCBDDPCAB【解析】选 ABC.由题意知 PA平面 ABCD，所以 PA 与平面上的直线 AB，CD 都垂直，A，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线 BD平面 PAC，故 PCBD，C 选项正确只有 D 选项不一定成立6已知点 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点 D 满足条件：DBAC，DCAB，ADBC，则点 D 的坐标可以为()A(1，1，1)B(1，1，1)C13，13，13D13，13，13【解析】选 AD.设 D(x，y，z)，则BD(x，y1，z)，CD(x，y，z1)，AD(x1，y，z)，AC(1，0，1)，AB(1，1，0)，BC(0，1，1).又 DBACxz0，DCABxy0，ADBC(x1)2y2z22，联立得 xyz1 或 xyz13，所以点 D 的坐标为(1，1，1)或13，13，13.三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4)，若，则等于_【解析】因为，所以212，所以4.答案：48在ABC 中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1).若向量 n 是与AB共线的单位向量，则向量 n 的坐标为_；若向量 n 与平面 ABC 垂直，且|n|21，则 n 的坐标为_.【解析】根据题意，得AB(1，1，2)，AC(1，0，2).设 n(x，y，z)，若向量 n 是与AB共线的单位向量，则x1y1z2，x2y2z21，可得 n66，66，63或 n66，66，63.若 n 与平面 ABC 垂直，则nAB0，nAC0，即xy2z0，x2z0，可得zy4，xy2又因为|n|21，所以 x2y2z2 21，解得 y4 或 y4.当 y4 时，x2，z1；当 y4 时，x2，z1.所以 n(2，4，1)或 n(2，4，1)答案：66，66，63或66，66，63(2，4，1)或(2，4，1)【误区警示】本题所求的向量都有方向不同的两个，解答时容易出现漏掉某一个的错误四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，证明：平面 B1DE平面 B1BD.【证明】以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，则 D(0，0，0)，B1(1，1，1)，E0，1，12，1DB(1，1，1)，DE0，1，12，设平面 B1DE 的法向量为 n1(x，y，z)，则 xyz0 且 y12z0，令 z2，则 y1，x1，所以 n1(1，1，2).同理求得平面 B1BD 的法向量为 n2(1，1，0)，由 n1n20，知 n1n2，所以平面 B1DE平面 B1BD.10如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，O 是 B1D1的中点，求证：B1C平面 OC1D.【证明】设DAa，DCb，1DDc，则1CBac，1DCbc，DO1DD1D Oc12(ab).设存在实数 x，y，使得1CBx1DCy DO成立，则 acx(bc)yc12（ab）y2axy2b(xy)c.因为 a，b，c 不共线，所以y21，xy20，xy1，解得x1，y2，所以1CB1DC2DO，即向量1CB，1DC，DO共面因为向量1CB不在1DC，DO所确定的平面 OC1D 内，所以 B1C平面 OC1D.已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1，M 是 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且CN14CC1.求证：AB1MN.【证明】设 AB 中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，因为 M 为 BC 的中点，所以 M14，34，0.所以MN14，34，14，1AB(1，0，1)，所以MN1AB140140，所以MN1AB，所以 AB1MN.