(5.1)--第5章静定结构位移计算的虚力法讲义.pdf
第5章 静定结构位移计算的虚力法5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算5-1 虚力法求刚体体系的位移5-2 虚力法求静定结构的位移5-4 图乘法第5章 静定结构位移计算的虚力法5-5 温度改变时静定结构位移计算5-6 互等定理5-7 小结研究对象：静定结构基本方法：核心虚功原理第5章 静定结构位移计算的虚力法研究问题：位移计算一一.位移计算的目的位移计算的目的1.验算结构的刚度第5章 静定结构位移计算的虚力法2.为超静定结构的内力和位移计算准备条件求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。FyB=3.75kN7.5kN m9kN m12kN2m2mAB二、产生位移的原因二、产生位移的原因1.荷载作用桁架受荷载作用HBVB刚架受荷载作用VCHCC第5章 静定结构位移计算的虚力法ABCPFAPFBCC2.温度变化和材料胀缩支座B下沉CC温度变化1t+2t+C12tt+CVC3.支座沉降和制造误差第5章 静定结构位移计算的虚力法ABCHCVCABC截面的水平位移、竖向位移以及转角第5章 静定结构位移计算的虚力法截面位移：截面位移：VCHCCABCPFVVAB+A、B截面竖向位移之和VVABA、B截面相对竖向位移两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角第5章 静定结构位移计算的虚力法广义位移：广义位移：PFa)VAAVBBHHABAB=+HABHA、B截面相对水平位移第5章 静定结构位移计算的虚力法两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角广义位移：广义位移：b)qAB=+为A左、右截面相对转角第5章 静定结构位移计算的虚力法两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角广义位移：广义位移：c)PFA5-1 虚力法求刚体体系的位移5-1 虚力法求刚体体系的位移一一.刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理设刚体体系上作用任意平衡力系，又设体系发生任意可能位移，则力系在位移上所作的虚功总和恒等于零。可能位移指符合体系约束条件的微小位移。两类变量：力和位移。两个“任意”。5-1 虚力法求刚体体系的位移一一.刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理机动法作影响线时：ZP()xZ41Z45ABxb)虚设位移状态FP=1xl/4l/4lABa)真实力状态RBZF=虚位移法5-1 虚力法求刚体体系的位移二、应用虚力原理求刚体体系位移二、应用虚力原理求刚体体系位移单位荷载法单位荷载法静定梁支座 A 向上移动已知距离 c1，现在拟求 B 点的竖向位移。BAc1aBAb5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态BAc1aBAb1R1Fb)虚设力状态在拟求位移的方向设置单位荷载，得到一个虚设的平衡力系，根据平衡条件，求出支座 A 的反力：R1bFa=5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态BAc1aBAb1R1Fb)虚设力状态虚设平衡力系在真实刚体位移上作虚功，得虚功方程：1R111bc Fca=单位荷载法5-1 虚力法求刚体体系的位移静定结构在支座移动时并不引起内力，也不引起应变。支座移动时静定结构的位移计算问题是刚体体系的位移计算问题。虚设的单位荷载应是拟求位移相应的单位荷载，即：单位荷载所作的虚功在数值上=拟求的位移。三、支座移动时静定结构的位移计算三、支座移动时静定结构的位移计算5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态BAc1aBAb1R1Fb)虚设力状态设支座 K 有给定位移cK，且K=1，2，,n。计算步骤如下：三、支座移动时静定结构的位移计算三、支座移动时静定结构的位移计算沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载作用下的支座反力R。5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态BAc1aBAb1R1Fb)虚设力状态设支座 K 有给定位移cK，且K=1，2，,n。计算步骤如下：三、支座移动时静定结构的位移计算三、支座移动时静定结构的位移计算令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚力方程：R10KKF c+=5-1 虚力法求刚体体系的位移设支座 K 有给定位移cK，且K=1，2，,n。计算步骤如下：三、支座移动时静定结构的位移计算三、支座移动时静定结构的位移计算由虚力方程，解出拟求位移为：RKKF c=R与cK方向相同时，乘积为正；求得的位移为正值时，位移实际方向与所设单位荷载方向一致。5-1 虚力法求刚体体系的位移例例5-1-1 已知刚架支座已知刚架支座B向右移动向右移动a，求，求，C。VCHDCABhd/2d/2aD解：1）求VCV1()()44Cddaahh=CABDCABhd/2d/2aD5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态b)虚设力状态1d/4hd/4h0.50.5CABhd/2d/2aD5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态b)虚设力状态2）求HDH11()()22Daa=CADBd/2d/210.50.5h/dh/dCABhd/2d/2aD5-1 虚力法求刚体体系的位移a)真实位移状态b)虚设力状态3）求C)()1(1haahC=CADBd/2d/2111/h1/h005-1 虚力法求刚体体系的位移四、小结四、小结虚力法单位荷载法5-2 虚力法求静定结构的位移5-2 虚力法求静定结构的位移5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算5-2-2 变形体的虚功原理5-2-3 单位荷载法本节的思路是：先导出局部变形时的位移公式，然后运用叠加原理，导出结构位移计算的一般公式。5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算变形体体系的位移计算刚体体系的位移计算局部变形静定结构中某个微段出现局部变形，微段两端相邻截面出现相对位移，而结构的其他部分没有变形。基于刚体体系的虚功原理一一.三种局部变形引起的结构位移的计算三种局部变形引起的结构位移的计算例5-2-1 下图示悬臂梁B左右截面有相对转角，求A截面竖向位移。5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算aaBACBACaM=1令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：10MM=解：虚设力系状态下，由平衡条件得：15-2-1 局部变形时静定结构的位移计算aaBACBACa)真实位移状态b)虚设力状态M例5-2-2 下图示悬臂梁B截面有相对剪切变形，求A截面沿方向的位移。5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算aaBAC令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：解：虚设力系状态下，由平衡条件得：5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算a)真实位移状态b)虚设力状态aaBACBACQFBAC1QsinF=QQ10FF=例5-2-3 下图示悬臂梁B截面有相对轴向变形，求A截面沿方向的位移。5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算BAC令虚设平衡力系在实际位移上做虚功，可得出：解：虚设力系状态下，由平衡条件得：5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算a)真实位移状态b)虚设力状态BACBACBAC1NFNFNcosF=NN10FF=二.微段变形时的位移计算公式下图示梁除了微段ds有局部变形外，杆件其余部分没有变形。5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算BdACdsdsACdddsdd=s0dds=05-2-1 局部变形时静定结构的位移计算BAC1MQFNFBdACdsdsACdddsRdd/d=s Rs二.微段变形时的位移计算公式下图示梁除了微段ds有局部变形外，杆件其余部分没有变形。QNQ0N1 dddd1 d()dMFFMFFs =+=+把微段BC(ds)的三个应变集中到截面C，这样就可以把微段BC的变形当作截面C的变形。根据前面三个例题的结论，应用虚功原理，就可以求得A截面沿方向由微段ds的变形所产生的位移增量d：5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算d()dQNMFFs=+结构通常由若干根杆件组成，对上式取总和就得到整个结构变形时在某截面产生的位移：()dQNMFFs=+三.结构位移计算的一般公式整根杆件的变形在A截面产生的位移可以由每个微段的变形所引起的微小位移叠加得到，即：5-2-1 局部变形时静定结构的位移计算5-2-2 变形体的虚功原理5-2-2 变形体的虚功原理一.变形体的虚功原理设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。存在两种状态，两种状态彼此无关。力系是平衡力系，变形是满足变形连续协调条件的变形适用于材料弹性和非弹性的结构。q(s)ds0dds=0dq(s)状态I（平衡力系）5-2-2 变形体的虚功原理1C2C()w s23状态II（变形协调）1dsdddss=dsdds=ds1PF2PF3PFR1FR2FdsdsMMFQFQFNFN12312123R1R2()()dPPPw sCWq ssFFFF CF=+外力虚功：微段ds的内虚功dWi：QNddddiMFWF=+整根杆件的内虚功为：Q0Nd()diiFWWsMF=+5-2-2 变形体的虚功原理R(d)()PKiKKiiFWw sqsFCs=+QNQ00Nddd()dssssMFFMFF=+=+根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：5-2-2 变形体的虚功原理RQ0N()d)d()PKiiKiKq ssFFMFFw ssC+=+RQ0N()d)d()PiKiKiKqCssFFMFwFss+=+注：上式考虑了杆件的弯曲、剪切和轴向变形；适用于小变形问题。二.位移计算的一般公式5-2-2 变形体的虚功原理1C2C()w s23状态II（变形协调位移状态）1q(s)状态I（平衡力系力的状态）1PF2PF3PFR1FR2F变形体虚功原理有两种应用形式：虚力原理：虚设平衡力系求真实位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，几何问题转化为静力平衡问题。二.位移计算的一般公式Q0N1()dKRKKF CMFsF+=+所以在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为：1=1PF5-2-2 变形体的虚功原理QN01()dRKKKCFFFsM=+5-2-2 变形体的虚功原理QN01()dRKKKCFFFsM=+单位荷载法5-2-3 单位荷载法支座移动时静定结构的位移计算：支座移动时静定结构的位移计算：a)真实位移状态BAc1aBAb1R1Fb)虚设力状态R10KKF c+=（刚体系的虚力原理）给定（真实）位移变形虚设平衡力系R1FR2F欲求，则在C 截面加上竖向单位载荷，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。VC1PF=5-2-3 单位荷载法ABCVCHCCABC一一.位移计算的一般公式及说明位移计算的一般公式及说明1PF=5-2-3 单位荷载法N0QRV1()dKCKKMFFCFs=+（变形体的虚力原理）给定（真实）位移变形虚设平衡力系ABC1PF=R1FR2FABCVCHCCMNFQFMNFQFds根据所求位移的性质虚设相应的单位荷载。1ABC5-2-3 单位荷载法1ABC求位移VC求位移HCABC1求位移C5-2-3 单位荷载法虚设平衡力系状态一般与给定真实位移状态无关。注意正负号。给定（真实）位移变形虚设平衡力系ABC1PF=R1FR2FABCVCHCCMNFQFMNFQFds二二.广义位移的计算广义位移的计算求图示结构A、B截面相对水平位移。qABAHBH,0,5-2-3 单位荷载法HHABAB=+a)给定位移变形b)虚设单位荷载1AB11Q1N1,MFF5-2-3 单位荷载法qABAHBH,0,HHABAB=+H1Q10N11dddAMsFsFs=+a)给定位移变形5-2-3 单位荷载法qABAHBH,0,HHABAB=+H2Q20N21dddBMsFsFs=+c)虚设单位荷载2AB12Q2N2,MFFa)给定位移变形5-2-3 单位荷载法qABAHBH,0,HHABAB=+AB1QN,M FF1d)虚设广义单位荷载b)+c)=12Q1Q20N1N2=+=()d()d()dABAHBHMMsFFsFFs+5-2-3 单位荷载法b)虚设单位荷载1AB11Q1N1,MFFAB1QN,M FF1d)虚设广义单位荷载AB12Q2N2,MFFc)虚设单位荷载2=+12QQ1Q2NN1N2MMMFFFFFF=+=+=+Q0NdddABMsFsFs=+广义单位荷载示例：1)q求11单位荷载5-2-3 单位荷载法AB11求AV+BV(A，B截面竖向位移之和）11AB求AV-BV(A，B截面相对竖向位移）ABFPAVBV原结构2)5-2-3 单位荷载法5-2-3 单位荷载法小结：小结：单位荷载法的核心虚力原理；关键虚设和所有位移相应的单位荷载。5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算一一.基本公式基本公式虚设平衡力系CABD1给定位移、变形求下图示结构在荷载作用下的位移。FPCABqDD,0,DH,DV,D(MP,FQP,FNP)QN,M F F5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算虚设平衡力系CABD1给定位移、变形FPCABqDD,0,DH,DV,D(MP,FQP,FNP)QN,M F F5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算Q0N1(d)d=+MsFFs结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：给定位移、变形FPCABqDD,0,DH,DV,D(MP,FQP,FNP)5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算Q0N1(d)d=+MsFFs小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。PMEI=QP0kFGA=NPFEA=在荷载作用下，应变与内力0、的关系式如下：PQPNPMFF、其中k为剪应力不均匀系数。虚设平衡力系CABD1给定位移、变形FPCABqDD,0,DH,DV,D(MP,FQP,FNP)QN,M F F5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算QQPNPNP1dddksssEIGAFFMMAFEF=+正负号规则：做正功为正。和P使杆件同一侧纤维受拉则乘积为正，反之为负。正MMP正MMP负MMP5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算正负号规则：5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算和以拉力为正，压力为负；NFNPF和的正负号：QFQPFQFQFQFQF二二.各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式1.梁和刚架忽略轴向变形和剪切变形产生的位移：P=dMMsEI高层建筑中，柱的轴力很大，轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁（截面高度与梁长的比值较大），剪切变形的影响不容忽略。5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算二二.各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算2.桁架桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：NNPNNPNNP=ddF FF FF F lssEAEAEA=4.拱NNPPddF FMMssEIEA=+拱截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构NNPPdF F lMMsEIEA=+用于弯曲杆用于链杆二二.各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算5-3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算QQPNPNP1dddksssEIGAFFMMAFEF=+荷载作用时静定结构的弹性位移计算：三三.小结小结PMEI=QP0kFGA=NPFEA=线弹性小变形的应变内力关系：荷载作用时静定结构位移计算例题例5-3-1 求简支梁中点竖向位移，并讨论剪切变形对位移的影响。VCABqCl/2l/2荷载作用时静定结构位移计算例题qxAMPFQPql/2xAMQF0.5ABqCl/2l/2ABCl/2l/21解：PQP1()(0)21(0)2Mqx lxxlFqlqxxl=Q1122(02)MxFxl=荷载作用时静定结构位移计算例题PQP1()(0)21(0)2Mqx lxxlFqlqxxl=Q1122(02)MxFxl=VQMCCC=+4/2/223M0011152()d()d=()222384llCqqlxqx lxxlxxxEIEIEI=2/2/2Q001 112()d()d()2 228llCkkqkqlqlqxxlxxGAGAGA=荷载作用时静定结构位移计算例题4M5()384CqlEI=2Q()8CkqlGA=若杆件截面为矩形，则k=1.2，取=1/3，则E/G=2(1+)=8/3，I/A=h2/12。2Q42M2221.2384460.8185408111.522.56()312CCqlEIEIGAqlGAlhhll=若h/l=1/10，则h/l=1/2，则QM2.56%CC=QM64%CC=荷载作用时静定结构位移计算例题例例5 5-3 3-2 2 求图示桁架求图示桁架C点的竖向位移点的竖向位移，其中各杆件，其中各杆件EA=常数。常数。VCFPaFPABCDa荷载作用时静定结构位移计算例题FPaFPABCDa解：FP-FP2FPFP2PF00FNP图1aABCDa图NF0-1200NNPV22(1)()2(2 21)()PPPCF F lFFaF aaEAEAEAEA=+=+5-4 图乘法图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一.图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分改写成。dPMMsEIdikM MsEI5-4 图乘法Mi图yxMi(x)=ax+bxAByxMk图xABd=MkdxMk(x)x0y0 x0dx()E Ic o n s t=)(bxaMi+=dBikAM MsEI1dBikAM MxEI=1()dBkAaxb MxEI=+1()dBAaxbEI=+01()baxEI=+01()ba xEI=+01()yEI=(dd)=kMx0(d)BAxx=)(00bxay+=说明：1）条件：AB杆为常截面直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中至少有一个是直线图形。3）若y0与在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取正号；若y0与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0取负号。2）y0与的取值：y0一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。5-4 图乘法4）取的图形在AB上不变号。二.常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线h23lh=二次抛物线3l/4l/4hlh31=5l/83l/8二次抛物线hlh32=5-4 图乘法1203132MMy=1203132MMy+=M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/35-4 图乘法二.常见图形的几何性质三.图乘法举例运用图乘法进行计算时，关键是对弯矩图进行分段和分块，尤其是正确的进行分块。5-4 图乘法分段图均应分为对应的若干段，然后进行计算。PMM、ABCDABCDMPMddddDPABCDPPPABCMMsEIMMMMMMsssEIEIEI=+AB分块只对或中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。PMM1212d()dddBPABPPABBPPAAMMsEIM MMsEIMMMMssEIEI+=+MP2MP1ABM5-4 图乘法例5-4-1 求,EI 等于常数。VC解：作、图，如右图所示。MPM分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。MPMPMACB2m2m2kN/mA1CB2M16A4CBMP5-4 图乘法分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。MPMPM1242 133=212222=11y=221(164)1233y=+=A1CB2M16A4CBMP5-4 图乘法1y2y12()V11221141()(12 12)22.673CyyEIEIEI=+=+=例5-4-2 求。VA解：分段：，分为AC、CB两段。分块：图的CB段分为两块。MPMMV1122331211()AyyyEIEI=+MACBEI1EI21MPFPCBEI1EI2Ay1y2y31235-4 图乘法5-5 温度改变时静定结构位移计算5-5 温度改变时静定结构位移计算1t+2t+C12tt+CVCABCHC静定结构在温度变化作用下各杆自由变形，截面发生位移，结构不产生内力。一一.概述概述是温度改变值，而非某时刻的温度。12tt、某时刻温度C10+C10+另一时刻温度C25+C35+t1,t2是温度改变值Ct1510251=Ct2510352=5-5 温度改变时静定结构位移计算二二.计算公式计算公式2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化(线膨胀系数)截面上、下边缘温差：21()tt令21-ttt=1011211 22 1d(-)=htttttthhth th=+=+对于矩形截面杆件，。12/2hhh=012()/2ttt=+hb杆件轴线处温度改变值t0为：5-5 温度改变时静定结构位移计算1dt s2dts0dtsh1h2ht1t2dst03.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变00dd=tsts21d-dd1dd=tst stsshh0=21ttt=4.位移计算公式0N=ddtMsFtsh+0N()ddtM stFsh=+5-5 温度改变时静定结构位移计算h1h2hd2dts1dt s21()dttsN1ddMsFs=+小结：正负号规则：则乘积dtM sh为正，反之为负，和温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），M0t以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，NF压力为负。21|-|ttt=。5-5 温度改变时静定结构位移计算0N()ddtM stFsh=+5-5-1 求图示刚架C截面水平位移H。已知杆件线膨胀系数为，杆件矩形横截面高为h。CABddCt01=Ct102=5-5 温度改变时静定结构位移计算解：CABddCt01=Ct102=CABCABN1F=N1F=5-5 温度改变时静定结构位移计算o120=5 C2ttt+=o=10 Ct图M图NF1ddH0N2dd105210(1)()CtM stFshddddhh=+=+=+221d22=M sddNd2 12Fsdd=5-5 温度改变时静定结构位移计算若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：QQPNNPPR0N1ddd()ddKKKkF FF FMMsssEIGAEAtF CM stFsh=+5-5 温度改变时静定结构位移计算总结：5-6 互等定理5-6 互等定理复习：复习：变形体的虚功原理变形体的虚功原理设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。5-6 互等定理一一.功的互等定理功的互等定理在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。1221WW=即5-6 互等定理1221WW=QN,M FF状态I：AB12ababP2FP1FQN,MFF状态II：ABabPaFPbF122112PPP1P2ababFFFF+=+5-6 互等定理QN,M FF状态I：AB12ababP2FP1FQN,MFF状态II：ABabPaFPbF1221N0QQN2PQN1ddddddWMssFFMFFFFsksssEIGAEAFM=+=+令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得：QN0,kFFMEIGAEA=5-6 互等定理QN,M FF状态I：AB12ababP2FP1FQN,MFF状态II：ABabPaFPbF1221PQNQN1Q2N0ddddddWMssFFFskssFsAMFFGEAFEIM=+=+同理，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得：QN0,kFFMEIGAEA=5-6 互等定理QN,M FF状态I：AB12ababP2FP1FQN,MFF状态II：ABabPaFPbF1221所以PPFF=即1221WW=12PPP1P2ababFFFF+=+5-6 互等定理QN,M FF状态I：AB12ababP2FP1FQN,MFF状态II：ABabPaFPbF1221注：1221WW=QN0,kFFMEIGAEA=QN0,kFFMEIGAEA=只适用于线性变形体系5-6 互等定理二二.位移互等定理位移互等定理在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12，即12=21位移影响系数 ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。这里 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。5-6 互等定理状态I1PF122111状态II2PF122212212121=PPFF由功的互等定理可得：记位移ij与力FPj的比值为ij，即：i jijPjF=或ijPjijF=于是12122121PPPPF FF F=所以1221=5-6 互等定理注：1221=荷载可以是集中力偶，则相应的 ij是角位移影响系数。荷载可以是广义荷载，则相应的位移是广义位移；广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。P1P2()W F F5-6 互等定理三三.反力互等定理反力互等定理在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12，即r12=r21。5-6 互等定理1.反力互等定理只适用于超静定结构因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II5-6 互等定理12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：R11R212R121R2200FFCFCF+=+=+R212R121FCFC=2.反力影响系数也称刚度系数：rij5-6 互等定理2.反力影响系数也称刚度系数：rijR212R121FCFC=记反力FRij与Cj的比值为rij，即RijijjFrC=或RijijjFr C=所以21121221r CCr C C=得1221rr=反力影响系数 rij也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。这里 i 表示支座反力的方位；j 表示支座位移的方位。5-6 互等定理四四.位移反力互等定理位移反力互等定理在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 12在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数21，但二者符号相反，即12=215-6 互等定理根据功的互等定理有：112R212112R2120PPFFCFFC+=令12R21122121PFrCF=状态I1FP12FR21状态II1122C2所以11221 212PPFCF r C=由此得到1221r=5-6 互等定理状态I1FP12FR21状态II1122C21221r=注：力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数、的量纲都是。1221rP12()W F c5-6 互等定理小结：小结：功的互等定理；位移互等定理；反力互等定理；位移反力互等定理。只适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。5-7 小结静定结构的位移计算产生位移的原因支座沉降制造误差荷载虚力原理单位荷载法温度QNR()d-KKMFFsFc=+互等定理第5章 静定结构位移计算的虚力法
