(4.1.1)--第13讲行列式的按行或者按列展开.pdf
第第 13 行列式行列式的按的按行行或者或者按按列展开列展开 00,00abaaabAbaaaba 设设13.1题题(,),ijAi jA 是是的的元元的的代代数数余余子子式式,1,2,3,4.i j 11213141;AAAA计计算算(1)313233342.AAAA计计算算(2)11213141110det1010abaabAAAAaaba解解所所以以11213141,1,AAAAA因因为为是是矩矩阵阵 的的第第 列列的的元元素素的的,代代数数余余子子式式(1)10det0000abaaabbabbaaba det00aabbabbaaba()detababbaa 2(2).b ba31323334002det11120abaaabAAAAaba31323334,3,AAAAA因因为为是是矩矩阵阵的的第第 行行的的元元素素的的,代代数数余余子子式式所所以以(2)002det100002abaaaabaaba det0202abaaababa 2()det2aabbaba 2(3).bab ().P nn设设是是一一个个与与自自然然数数 有有关关的的命命题题对对于于某某个个给给定定0()P nnn 为为了了证证明明命命题题对对所所有有的的自自然然数数0,n的的自自然然数数,都都成成立立.我我们们可可以以考考虑虑用用数数学学归归纳纳法法数数学学归归纳纳法法不不完完全全数数学学归归纳纳法法1:第第 步步2:第第 步步3:第第 步步();P n命命题题成成立立,nm 当当时时0().P nnn 于于是是就就证证明明命命题题对对所所有有的的自自然然数数都都成成立立()第第一一数数学学归归纳纳法法0,nn 证证明明当当时时0,mn假假设设是是不不小小于于的的任任意意自自然然数数1,nm证证明明当当时时().P n命命题题成成立立();P n命命题题成成立立000,1,nnnnk证证明明当当时时0,mnk 假假设设是是不不小小于于的的任任意意自自然然数数1,nm证证明明当当时时();P n命命题题都都成成立立0,nknm当当时时0().P nnn 于于是是就就证证明明命命题题对对所所有有的的自自然然数数都都成成立立完完全全数数学学归归纳纳法法()第第二二数数学学归归纳纳法法1:第第 步步2:第第 步步3:第第 步步();P n命命题题成成立立().P n命命题题成成立立.k设设 是是自自然然数数 :证证明明下下列列等等式式1231111111111111111nnaaaDa 13.2题题0,ia 其其中中1,2,.in 111(1),nniiiiaa证证明明1,n 当当的的时时候候2,n 是是任任假假意意自自然然数数设设.nDn对对的的阶阶数数 用用数数学学归归纳纳法法1,n 结结论论对对阶阶行行列列式式成成立立111,Da即即.结结论论成成立立123111111111111111111nnaaaDa 11111(1).nniiiiaa.nDn下下面面证证明明结结论论对对 阶阶行行列列式式也也成成立立,nnD将将第第 列列的的元元素素都都表表示示为为两两个个数数和和的的形形式式的的1231111011110111101111nnaaaDa n按按第第 列列拆拆分分1231111111111111111aaa 123111011101110111naaaa n第第 列列乘乘-1-1加加到到前前面面列列n按按第第 列列展展开开1230010010010001aaa 1nna D 11niia 11111(1)nnniiiiaaa111(1).nniiiiaa,因因此此 n结结论论对对所所有有正正整整数数 都都,由由数数学学归归纳纳法法可可知知.成成立立 设设detcos().An 证证明明.n是是 阶阶三三对对角角矩矩阵阵cos112cos112cos112cos112cosA 13.3题题证证明明T2cos112cos .用用数数学学归归纳纳法法证证明明结结论论1cos,T 2,m 假假设设det,nAT 令令1,2,n 所所以以当当时时下下面面证证明明22cos1 cos(2),因因为为并并且且对对所所有有cos(),nTn 都都有有1,2,nm 的的.结结论论成成立立1cos(1).mTm 4.22,由由例例可可知知1cos(1).mTm ,根根据据归归纳纳假假设设11(2cos).mmmTTT cos(),mTm (2)(3)(1),将将等等式式与与等等式式代代入入等等式式(1)我我们们有有(2)(3)得得到到cos(1).m 2coscos()cos()cossin()sin mmm12coscos()cos(1)mTmm cos()cossin()sinmm,因因此此 n结结论论对对所所有有正正整整数数 都都,由由数数学学归归纳纳法法可可知知.成成立立
