应用流体力学应用流体力学 (34).pdf
第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1.2 量纲分析（下）-瑞利法和 定理假定各物理量之间呈幂函数关系，通过量纲和谐原理确定幂指数。瑞利法例 1已知自由落体位移 s 与物体质量 m、重力加速度 g 和运动时间 t 有关，求自由落体位移公式。5.1.2 量纲分析方法假定各物理量之间呈幂函数关系，通过量纲和谐原理确定幂指数。瑞利法s=？m=？g=？t=？位移与质量、重力加速度以及时间的关系5.1.2 量纲分析方法（1）假设4个物理量之间的关系用下式表示：5.1.2 量纲分析方法解：假定各物理量之间呈幂函数关系，通过量纲和谐原理确定幂指数。瑞利法例 1已知自由落体位移 s 与物体质量 m、重力加速度 g和运动时间 t 有关，求自由落体位移公式。tgkms=、是幂指数由量纲分析确定k是常数系数由实验确定代入量纲假定各物理量之间呈幂函数关系，通过量纲和谐原理确定幂指数。瑞利法例 1已知自由落体位移 s 与物体质量 m、重力加速度 g和运动时间 t 有关，求自由落体位移公式。（1）假设4个物理量之间的关系用下式表示：解：tgkms=T)LT(ML2=5.1.2 量纲分析方法由量纲和谐定理列幂指数方程组代入量纲（1）假设4个物理量之间的关系用下式表示：tgkms=例 1已知自由落体位移 s 与物体质量 m、重力加速度 g和运动时间 t 有关，求自由落体位移公式。解：T)LT(ML2=+=20:T1:L0:M012=5.1.2 量纲分析方法由量纲和谐定理列幂指数方程组代入量纲（1）假设4个物理量之间的关系用下式表示：例 1已知自由落体位移 s 与物体质量 m、重力加速度 g和运动时间 t 有关，求自由落体位移公式。解：tgkms=T)LT(ML2=+=20:T1:L0:M012=实验确定常数系数221gts=2kgts=5.1.2 量纲分析方法123(,)0nf x x xx=12(,)0n mF=上式称为 定理。如果所有相关的物理量所涉及的基本量纲个数为 m，则可以将 n 个物理量组合成n-m 个量纲为一的量。12,n m 设某物理过程与 n 个物理量有关，可用函数关系式描述为：123,nx x xx 定理于是这一物理现象就可以表示成 n-m 个量纲一的量的函数关系式：5.1.2 量纲分析方法确定物理量和量纲1写成函数形式；123(,)0nf x xxx=定理的实施步骤保证量纲独立，选取的m个基本物理量不能组成一个无量纲量；（基本物理量的个数m与基本量纲的个数相同）这里假设m=3，有三个基本物理量，用x1,x2和x3表示选取基本物理量2确定物理量和量纲1123(,)0nf x xxx=写成函数形式；定理的实施步骤保证量纲独立，选取的m个基本物理量不能组成一个无量纲量；（基本物理量的个数m与基本量纲的个数相同）选取基本物理量2组无量纲数 311114 123x xxx=22225 123x xxx=123n mn mn mn mnx xxx=将其余物理量与基本物理量组成 n-m 个量纲为一的量；确定物理量和量纲1123(,)0nf x xxx=写成函数形式；定理的实施步骤保证量纲独立，选取的m个基本物理量不能组成一个无量纲量；（基本物理量的个数m与基本量纲的个数相同）确定物理量和量纲1123(,)0nf x xxx=写成函数形式；定理的实施步骤选取基本物理量2组无量纲数 3将其余物理量与基本物理量组成 n-m 个量纲为一的量；求解幂指数4根据量纲和谐原理，求解项中的待定指数；i,iii 保证量纲独立，选取的m个基本物理量不能组成一个无量纲量；（基本物理量的个数m与基本量纲的个数相同）确定物理量和量纲1123(,)0nf x xxx=写成函数形式；定理的实施步骤选取基本物理量2组无量纲数 3将其余物理量与基本物理量组成 n-m 个量纲为一的量；求解幂指数4根据量纲和谐原理，求解项中的待定指数；i,iii 写无量纲方程5由 n-m 个量纲为一的 项组成函数关系式；12(,)0n mF=保证量纲独立，选取的m个基本物理量不能组成一个无量纲量；（基本物理量的个数m与基本量纲的个数相同）确定物理量和量纲1123(,)0nf x xxx=写成函数形式；定理的实施步骤选取基本物理量2组无量纲数 3将其余物理量与基本物理量组成 n-m 个量纲为一的量；求解幂指数4写无量纲方程5由 n-m 个量纲为一的 项组成函数关系式；简化无量纲方程6根据实验和理论分析确定其相关系数得到最终的物理方程表达式。根据量纲和谐原理，求解项中的待定指数；i,iii 保证量纲独立，选取的m个基本物理量不能组成一个无量纲量；（基本物理量的个数m与基本量纲的个数相同）确定物理量和量纲1123(,)0nf x xxx=写成函数形式；定理的实施步骤选取基本物理量2组无量纲数 3将其余物理量与基本物理量组成 n-m 个量纲为一的量；求解幂指数4写无量纲方程5简化无量纲方程6根据实验和理论分析确定其相关系数得到最终的物理方程表达式。量纲分析减少了实验的次数由 n-m 个量纲为一的 项组成函数关系式；根据量纲和谐原理，求解项中的待定指数；i,iii 阻力FD 定理的应用例 2研究绕流阻力。已知其与流体的黏性系数、密度以及特征尺寸 d 和流动速度 v 有关。（1）确定物理量：解:黏性系数密度尺寸d速度v写函数式：(),0Df Fd v=5.1.2 量纲分析方法 定理的应用（1）确定物理量：确定量纲：三个基本量纲，需选三个基本物理量阻力FD黏性系数密度尺寸d速度v解:例 2研究绕流阻力。已知其与流体的黏性系数、密度以及特征尺寸 d 和流动速度 v 有关。21231MLTML TMLLLTDFdv=写函数式：(),0Df Fd v=5.1.2 量纲分析方法阻力FD黏性系数密度尺寸d速度v 定理的应用（1）确定物理量：阻力FD黏性系数密度尺寸d速度v（2）选基本物理量：几何学量运动学量动力学量解:5.1.2 量纲分析方法阻力FD黏性系数密度尺寸d速度v 定理的应用（1）确定物理量：阻力FD黏性系数密度尺寸d速度v（2）选基本物理量：尺寸d速度v密度（3）组无量纲数 ：解:1111DFv d=2222v d=5.1.2 量纲分析方法 定理的应用（4）求幂指数：根据量纲和谐原理可知对于1同理可得2111111020310+=+=1111,2,2=111000231M L T(MLT)(ML)(LT)(L)=122DFv d=21=vdvdRe=5.1.2 量纲分析方法 定理的应用（4）求幂指数：（5）写无量纲方程：（6）简化无量纲方程：实验因素减少了三个，实验量大幅减少122DFv d=21=vdvdRe=221()0DFFv dRe=，221()DFfv dRe=5.1.2 量纲分析方法水平放置的等直径圆管中黏性定常不可压缩流动的压降 p与管长 l、管径 d、管壁绝对粗糙度 、管截面平均速度 v、流体密度 及黏度 有关。试用 定理确定压降与这些物理量的关系。例 题 5.1.2（1）确定物理量：该问题涉及7个物理量，它们之间的关系可以用下式表示：(,)0f l dvp=（2）选基本物理量：该物理过程涉及L、T和M,3个基本量纲。确定量纲：取几何学量 d，运动学量 v 和动力学量 作为基本物理量。例 题 5.1.2解:L d=12ML Tp=L l=L =1LTv=3=ML 12ML T=（3）组无量纲数：其余的物理量 l、和 p依次与3个基本物理量组成4个量纲为一的量：1111ldv=2222dv=3333dv=4444pdv=例 题 5.1.2解:（4）求幂指数：根据量纲和谐原理确定各 项的指数，以 4为例来说明：对于，将公式内各项的量纲代入，有：4444pdv=根据量纲和谐原理可知解上述方程组得：42pv=同理可得：例 题 5.1.2即：解:4440001231M L T(ML T)(L)(ML)(LT)=410+=444130+=420=40=41=42=1ld=2=d31=dvRe=（5）写无量纲方程：于是（1）中的函数关系式可用4个量纲为一的量来描述：2(,)0lpFd dvdv=上式可改写成：2(,)lpfvd dvd=这就是圆管流动压降的关系式。例 题 5.1.2解:（6）简化无量纲方程：由实验得知压强损失 p 和 l/d成正比，所以上式还可以写成：2(,)2lvpfdvd d=管道流动的压降实验只需要考察相对粗糙度/d和雷诺数Re两个因素例 题 5.1.2 量纲分析简化了物理量之间复杂的关系 量纲分析更能反应物理现象和物理过程的客观规律如果每个因素变化10个数值，实验次数由106次减少至100次，实验量大幅减少解:123(,)0nf x x xx=12(,)0n mF=定、量纲分析把物理量之间复杂的关系简化了，是物理量之间内在的本质联系。无论采用有量纲量还是无量纲量，物理现象和物理过程的自然规律保持不变。本讲小结量纲分析方法 定理写、选、组、求、变定理六大步骤谢谢聆听！谢谢聆听！
