(4.2.1)--3.2线性定常系统的能控性矩阵判别方法.pdf

现代控制理论Modern Control Theory3.2 线性定常系统的能控性矩阵判别方法直接从A与B判别系统的能控性1)单输入系统。线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：满秩，即rankM=n。否则，当rankM 0，使得n维矩阵：是非奇异的。证明 构造控制率：可得：由能控性定义得到系统是完全能控的。3.2 线性定常系统的能控性矩阵判别方法定理的几个说明：若Wc(0,T)非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律uBWxA=teTcTtT()(0,)01 若系统能控，则对所有时间T，Wc(0,T)都是非奇异的；定义能控格拉姆矩阵随着T的减小，Wc(0,T)减小，Wc-1(0,T)增加；而所构造的控制率将随着T的减小而增大，消耗更大能量。离散时间系统的能控性连续系统能控性的概念可以推广到离散系统，离散时间系统的状态方程如下：当系统为单输入系统时，式中u(k)为标量控制作用。控制阵h为n 维列矢量；G为系统矩阵nn；x为状态矢量n1。与连续系统类似，离散时间系统能控的充分必要条件是能控性矩阵Mh GhGh Gh=nn,.,21的秩等于n。当系统推广到多输入系统时，不再是n维列矢量而是nr维矩阵H，其中r为控制信号u的维数，此时离散系统的能控性矩阵为：MH GHGH GH=nn,.,21xGxhu+=+kkk(1)()()3.2 线性定常系统的能控性矩阵判别方法例3 考虑由以下状态空间模型描述的连续系统：xxu =+010102解 求矩阵指数函数：检验其离散化状态空间模型的能控性。利用：可得系统离散化后的模型为：IA+=+=ssssttLLsssttstLssincos1cos(sin)/1()()2222221122221113.2 线性定常系统的能控性矩阵判别方法MH GHGH GH=+TTTTTTTTnnssn,oi,sinc,.sin21coscoscossin212222根据离散系统能控性检验矩阵：显然，当=T=kk,1,2,.以上能控性矩阵的第二行为零，系统不能控。表明：连续系统的离散化可能对能控性产生影响！原因：采样周期选取不合适！采样周期过大，使得信息损失过多，导致性能损失；采样周期过小，处理复杂。xGxHx+=+=+TTTkku kku kTTTsincossin(1)()()()()cos(sin)/1 cos23.2 线性定常系统的能控性矩阵判别方法