(3.9.1)--9.7.1方向导数的定义及计算公式.pdf

第9章多元函数微分法及其应用高等数学方向导数的定义及计算公式问题设有一平面金属片占有面上的区域.该金属片被加热，以致在点(,)的温度是,.现将一爬虫放置在点(,)处，那么爬虫向哪个方向爬行温度变化最大？以为始点做一条射线在射线上取点(+,+)分析当 时时方向|(+,+)(,)函数(,)在点(,)沿方向 的变化率设有一平面金属片占有面上的区域.该金属片被加热，以致在点(,)的温度是,.现将一爬虫放置在点(,)处，那么爬虫向哪个方向爬行温度变化最大？问题|(+,+)(,)方向方向=(,)方向方向余弦=(cos,cos)=cos,=|cos记 =|函数(,)在点(,)沿方向 的变化率(+cos,+cos)(,)(+,+)(,)|当当 时时当当 +时时设函数=(,)在点(,)的某邻域内有定义，是平面上以为始点的一条射线，=(cos,cos)是与同方向的单位向量。若极限lim+(+cos,+cos)(,)存在，则称此极限为函数=(,)在点(,)处沿方向 的方向导数，记为(,)或(,)方向导数的定义、记号方向导数存在的充分条件及计算公式定理若函数 =(,)在点(,)处可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且有(,)=(,)cos+(,)cos其中cos,cos为的方向余弦证明思路+,+,=,+,+()+,+,左端：(,)等号两端同除,cos+,cos证明思路+,+,=,+,+()+,+,(,)等号两端同除 右端：,+,+()=,cos+,cos+()计算公式,cos+,cos(,)左端：推广对于三元函数=(,)，在空间一点(,)沿方向=(cos,cos,cos)的方向导数为(,)=lim+(+cos,+cos,+cos)(,)(,)=(,)cos+(,)cos+(,)cos如果函数(,)在点(,)可微分，那么函数在该点沿着方向=(cos,cos,cos)的方向导数为求方向导数的步骤求与l同方向的单位向量求偏导数套公式(,)=(,)cos+(,)cos,，(,)=(cos,cos)例求函数=在点(,)处沿从点(,)到点(,)的方向的方向导数。解方向即向量 与同方向的单位向量=(,)=(,)，=又,=,=,故所求方向导数为(,)=,cos+,cos=+=.小结方向导数定义、记号存在的充分条件计算公式三元函数可微方向导数存在谢谢，再见！