(3.7.1)--3.7锥面的方程.pdf

2626锥面的方程锥面的方程26.1.一般锥面的一般锥面的方程方程26.2.圆锥面的方程圆锥面的方程26.3.齐次方程表示的曲面齐次方程表示的曲面26.126.1一般锥面一般锥面的方程的方程在空间通过一定点且与定曲在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的线相交的一族直线所产生的曲面叫做曲面叫做锥面锥面.那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点.定曲线叫做锥面的定曲线叫做锥面的准线准线.这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线.准线准线定点定点x0zy已知锥面的准线已知锥面的准线12(,)0,(,)0,F x y zFx y z顶点为顶点为0000(,).Mx y z点点（）在锥面上）在锥面上(,)M x y z0MM准线准线上有一点上有一点使得使得在直线在直线上上C1(,)M x y z1M0M M11112111000101010(,)0,(,)0,.F xyzFxyzxxyyzzxxyyzz消去参数消去参数111,xyz可得锥面方程（可得锥面方程（仿射坐标系仿射坐标系）：）：(,)0.F x y z 例例锥面的顶点在原点，且准线为锥面的顶点在原点，且准线为22221,(0)xyabzc c求锥面的方程（仿射坐标系下）求锥面的方程（仿射坐标系下）.解解设设1111(,)M x y z为准线上的为准线上的任意点任意点，那么过那么过1M的母线为的母线为111xyzxyz且有且有2211221,xyab1,zc11,xxczyycz2222220 xyzabc二次锥面二次锥面例例直角坐标系下，已知圆锥直角坐标系下，已知圆锥面的面的顶点为顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面，轴垂直于平面2210,xyz 母线与轴组成母线与轴组成 300角，求这角，求这圆锥面圆锥面的方程的方程.设设(,)M x y z为母线为母线上的任意非顶点，上的任意非顶点，M的母线的方向向量为的母线的方向向量为(1,2,3),vxyz那么过点那么过点而圆锥轴线的方向即为平面而圆锥轴线的方向即为平面2210 xyz 的法方向，的法方向，即即(2,2 1),n 解解根据题意有根据题意有cos30,v nvn 26.226.2圆锥面圆锥面的方程的方程即即化简整理得所求圆锥方程为化简整理得所求圆锥方程为22211(1)11(2)23(3)32(1)(2)16(1)(3)16(2)(3)0.xyzxyxzyz2222(1)2(2)(3)(1)(2)(3)441xyzxyz3,2 注：注：锥顶的坐标在很多时候需要单独验证，看其是否满足得到的方程锥顶的坐标在很多时候需要单独验证，看其是否满足得到的方程.定义定义如果对于如果对于定义域中的一切定义域中的一切 x,y,z 以及以及任意非零实数任意非零实数 t，都，都有有那么那么叫做叫做次次齐次函数齐次函数，叫做叫做次次齐次方程齐次方程.,f x y z,f tx ty tzt f x y z,0fx y z 例例(,)f x y zxyxzyz是一个是一个 2 次齐次函数次齐次函数.26.326.3齐次方程表示的曲面齐次方程表示的曲面定理定理,x y z的齐次方程表示的曲面（添上原点）的齐次方程表示的曲面（添上原点）是顶点在坐标原点的锥面是顶点在坐标原点的锥面.证明证明由已知条件，曲面（添上原点）过原点由已知条件，曲面（添上原点）过原点.任设非原点任设非原点0000(,)Mx y z满足满足000(,)0,F xyz那么直线那么直线0OM的方程为的方程为000,xx tyy tzz t曲面由一些过原点的直线组成，即它是锥面曲面由一些过原点的直线组成，即它是锥面.由于由于000000(,)(,)0,F x t y t z tt F x y z000(,)0,F xyz所以整条直线都在曲面所以整条直线都在曲面上上.(,)0F x y z 注注：在特殊情况下，关于：在特殊情况下，关于,x y z的齐次方程可能只的齐次方程可能只表示一个原点表示一个原点.例如例如2220.xyz推论推论关于关于000,xx yy zz的齐次方程表示顶点的齐次方程表示顶点在在000(,)x y z的锥面的锥面.小结小结齐次方程表示的曲面齐次方程表示的曲面一般锥面的方程（一般锥面的方程（仿射坐标系仿射坐标系）