(6.6.2)--5.6.2矩阵的相似对角化-2.pdf
矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化Diagonalization Theorem证明证明 对对 m作归纳法：作归纳法：m=1：线性无关；线性无关；11XXm-1：设：设线性无关；线性无关；121,mXXXm：证证线性无关。线性无关。mmXXX,11 令令=+=+mmXkXk11定理定理 设设是是 A的互不相同的特征的互不相同的特征值，它们对应的特征向量分别为值，它们对应的特征向量分别为，则，则线性无关。线性无关。12,mXXX12,m 12,mXXX则则 AXkXkAmm=+=+)(11 =+=+)()(11mmAXkAXk =+=+mmmXkXk111 由又得由又得=+=+mmmmXkXk11令令=+=+mmXkXk11-得得=+=+111111)()(mmmmmXkXk-得得=+=+111111)()(mmmmmXkXk根据归纳假设根据归纳假设线性无关，故线性无关，故121,mXXX0)(,0)(1111=mmmmkk已知已知互不相同，故互不相同，故m,210011 mmm，由此得由此得0,011=mkk 代入得代入得=mmXk又又，故，故。于是，。于是，线性无关。线性无关。mX0=mkmXXX,21推论推论 若若 n阶方阵有阶方阵有 n个不同的特征值，则该矩阵个不同的特征值，则该矩阵可相似对角化。可相似对角化。0,011=mkk 令令=+=+mmXkXk11定理定理设设与与是矩阵是矩阵的两个不同的特征的两个不同的特征值，值，与与分别是矩阵分别是矩阵属于属于与与的线性无关特征向量，则的线性无关特征向量，则线性无关。线性无关。A12,s 12,tA 1122,st ，进一步，我们可以证明更一般的结论：进一步，我们可以证明更一般的结论：定理定理设设是矩阵是矩阵的互不相的互不相同的特征值，同的特征值，是矩阵是矩阵属于属于的线性无关特征向量，则的线性无关特征向量，则线性无关。线性无关。A21,m 212121111,mmmrrr iirii,21Ai推论推论若若n 阶矩阵阶矩阵有有 n个不同的特征值，则个不同的特征值，则可对角化。可对角化。AA注意：注意：此结论的逆命题不成立。此结论的逆命题不成立。问题：问题：一个矩阵线性无关特征向量的最大数目一个矩阵线性无关特征向量的最大数目？设设是是 n 阶矩阵阶矩阵的互不相同的互不相同的特征值，的特征值，是特征方程组是特征方程组的一个基础解系的一个基础解系，则则线性无关且可线性表出任一特征向量。线性无关且可线性表出任一特征向量。12,m A12,iiiiq()0i IA X=(1,2,)im=121112121,mqqmmq故其为矩阵故其为矩阵 A 的全部特征向量组成集合的一的全部特征向量组成集合的一个极大线性无关组，其所含向量的数目个极大线性无关组，其所含向量的数目就是矩阵就是矩阵 A 的线性无关特征向量的最大数目。的线性无关特征向量的最大数目。设设是是 n 阶矩阵阶矩阵的互不相同的互不相同的特征值，的特征值，是特征方程组是特征方程组的一个基础解系的一个基础解系，则则线性无关且可线性表出任一特征向量。线性无关且可线性表出任一特征向量。定理定理阶矩阵阶矩阵 A 可对角化当且仅当可对角化当且仅当 A 的所的所有特征方程组基础解系包含的解向量个数之有特征方程组基础解系包含的解向量个数之和等于和等于。或者等价于说。或者等价于说 A 的属于不同特征的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于值的特征子空间的维数之和等于。
