(6.6.3)--5.6.3矩阵的相似对角化-3.pdf
矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化Diagonalization Theorem例例 判断矩阵判断矩阵是否可对角化是否可对角化？110430102A=110|430102IA+=+=211 (2)(2)(1)43+=+=所以所以 A 的特征值为的特征值为2和和1（二重）。（二重）。对于特征值对于特征值，我们解方程，我们解方程0)(=XAI1=于是可知此特征方程组的基础解系含于是可知此特征方程组的基础解系含1个解。个解。210101420012101000IA=行行对于特征值对于特征值，解方程，解方程2=0)(=XAI23101002410010100000IA=行行特征方程组的基础解系含特征方程组的基础解系含1个解。因个解。因 A 的所有的所有特征方程组基础解系包含的解向量个数之和特征方程组基础解系包含的解向量个数之和为为，故不可对角化。，故不可对角化。23n=例例已知复数域已知复数域 C 上的矩阵上的矩阵讨论参数讨论参数 a 的取值与矩阵的取值与矩阵 A 可对角化之间的关系。可对角化之间的关系。1010001aAa=10|10001aIAa=+=+22(1)(1)a=情况一情况一、若、若，则，则 A 本身就是对角矩阵，本身就是对角矩阵，当然可对角化。当然可对角化。情况二情况二、若、若，则，则此时，此时，A 的特征值为的特征值为1和和0（二重）。因为（二重）。因为22|(1)(1)IAa=0a=ai=2|(1)IA=rank rank(2,(210)IAIA=故特征方程组故特征方程组与与的基础解系共包含的基础解系共包含1+1=2个解，小于个解，小于 A 的阶的阶数数3，因此，因此 A 不可对角化。不可对角化。)1(0IA X=)0(0IA X=情况三情况三、若、若，则，则。此时，。此时，A 有有 3 个互异的特征值，故个互异的特征值，故 A 可对角化。可对角化。0,ai 210,1a+22|(1)(1)IAa=例例 已知已知问问 a,b,c 满足什么条件时，满足什么条件时，A可对角化？可对角化？解解2=|()()IAac所以，所以，A 的特征值为的特征值为 a 和和 c。首先首先=cbaaA00000(1)a=c分情况讨论：分情况讨论：A 有有 3 重特征值重特征值 a,对方程组对方程组(aI-A)X=0，当且，当且仅当仅当 秩秩(aI-A)=0 时，才能使基础解系含时，才能使基础解系含3个解。个解。又又00000000=aIAb故故。0=b例例 已知已知问问 a,b,c 满足什么条件时，满足什么条件时，A可对角化？可对角化？=cbaaA00000(2)acA 有特征值有特征值 a(二重二重)和和 c,对特征值对特征值 a，仅当秩，仅当秩(aI-A)=1 时，才能使方程组时，才能使方程组(aI-A)X=0的基础解系含的基础解系含2个个解。解。又又0000000=aIAbac因因 a-c 0，故秩，故秩(aI-A)=1，此时，此时 b 任意。任意。结论：当结论：当 a=c,b=0 或或 ac,b 任意时，任意时，A可对角化。可对角化。例例 已知已知问问 a,b,c 满足什么条件时，满足什么条件时，A可对角化？可对角化？=cbaaA00000例例设矩阵设矩阵已知矩阵已知矩阵 A 有有3 3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，是是 A 的的2 2重特征值，求可逆矩阵重特征值，求可逆矩阵使使为对角矩阵。为对角矩阵。P1PAP2=1114335Axy=11112102,20136PP AP=111111222023330002,2IAxyxyxy=例例已知矩阵已知矩阵求求。解解首先求特征多项式首先求特征多项式1111111111111111A=nA3|(2)(2)0IA=+=+=有特征值有特征值-2 和和 2（三重根）。（三重根）。A对于特征值对于特征值，解方程组，解方程组得基础解系得基础解系对于特征值对于特征值，解，解得基础得基础解系解系(2)0IA X=2=1231,1,0,01,0,1,01,0,0,1TTT=2=(2)0IA X=41,1,1,1T=因为因为的所有特征方程组基础解系包含的解向量的所有特征方程组基础解系包含的解向量个数之和个数之和 3+1 等于等于 A 的级数的级数4，所以可对角化。，所以可对角化。A令令则则123411111001,01010011P =由此可得。于是n 为偶数;n 为奇数;
