(7.3.2)--6.3.2正定二次型与正定矩阵-2.pdf

正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵性质性质设设是正定矩阵，则是正定矩阵，则（1）；（2）。ij n nAa=0,1,2,iiain=|0A 取取(0,0,1,0,0)TiiX第 个=正定正定.证：证：(1)(1)若若A正定正定，则二次型，则二次型12(,)Tnf x xxX AX=()0,1,2,Tiiiiif XX AXain=则则20.TAC CC=(2)(2)若若A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵C，使，使,TAC C=从而从而定理定理元实二次型元实二次型正定的充要条件为正定的充要条件为12(,)Tnf xxxX AX=n 1,2,0,1,2,1,2,kAknk=12(,)kkfx xx1212(,)kkkxxx xxAx=证证:必要性必要性.设设正定，对每一个正定，对每一个k12(,)nf x xx(1),kkn令令112,kTABABB=1,2,det()1,2,kkAAk=则则考虑二次型考虑二次型是正定的是正定的，12(,)knfxxx对任意一不全为零的数对任意一不全为零的数有有12,kc cc1212(,)(,0,0)0kkkfc ccf c cc=()()1,2,det0,1,2,.1,2,kAknk=kA从而从而正定正定.充分性充分性：对对n作数学归纳法作数学归纳法.n1时时，正定正定.结论成立结论成立.2111111110.()aaf xa x=假设对于假设对于n1元二次型结论成立，下证元二次型结论成立，下证n元的情形元的情形.令令1111,1211,11,11,=nnnnnnnnaaaaAaaa=则则1TnnAAa=.ijn nAa=设设又又A的顺序主子式全大于零，所以的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式的顺序主子式也全大于零也全大于零.由归纳假设，由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵正定，即存在可逆矩阵G，使使11.TnG AGI=则则令令10,0 1GC=再令再令12,01TnIGC =则则1111000 1011TTTnTTnnAIGGGC ACGa=11121120()101TTTTnnnTTnnIIGEGCC AC CGGa=100nTTnnIaGG=从而从而，A正定正定，所以所以正定正定.TX AX再令再令12,TTnnCC CaaGG=则有则有100TnIC ACa=两边取行列式，得两边取行列式，得2CAa=又又0a0,A 即即为正对角矩阵为正对角矩阵.1nIa 定理定理元实二次型元实二次型正定的充要条件为正定的充要条件为的所有主子式均大于零：的所有主子式均大于零：12(,)Tnf xxxX AX=nA1 11 212 12 22120.kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaQaaa=例例 用顺序主子式判断下面二次型的定性用顺序主子式判断下面二次型的定性(,)2221231231 2232322f xxxxxxx xx x=+=+110121013A=解解的矩阵为的矩阵为(,)123f xxx其各阶顺序主子式其各阶顺序主子式 1|1|10,1A=1,21110,1,212A=1,2,3|201,2,3AA=所以所以正定。正定。(,)123f xxx定理定理已知已知元实二次型元实二次型则下列叙述等价则下列叙述等价（1 1）是半正定的二次型；是半正定的二次型；（2 2）的正惯性指数的正惯性指数等于等于此二次型的秩此二次型的秩，且，且；（3 3）存在秩为）存在秩为的实方阵的实方阵使得使得12(,)Tnf xxxX AX=n12(,)nf xxxp.TAB B=12(,)nf xxxprn=Brr（4 4）的特征值的特征值全非负，且其中至少有一个等于零；全非负，且其中至少有一个等于零；（5 5）的各阶主子式全非负，且其中至少有一个等于零。的各阶主子式全非负，且其中至少有一个等于零。AA