(6.7.2)--5.7.2实对称矩阵的相似对角化-2.pdf
实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化Diagonalization Theorem例例 已知矩阵已知矩阵求正交矩阵，使得求正交矩阵，使得为对角矩阵。为对角矩阵。解解有特征值有特征值 1(二重二重)和和 3，对应的特征向量为，对应的特征向量为不难看出不难看出是正交向量组，令是正交向量组，令100021012A=1TAT A 3121,0,00,10,1,1,1,TTT=321,112333212111,|=则则即为所求的正交单位的特征向量。即为所求的正交单位的特征向量。于是，令于是，令312,123100110,2211022,T =则则 T 是正交矩阵，且是正交矩阵，且1311TAT=例例 已知矩阵已知矩阵求正交矩阵，使得求正交矩阵，使得为对角矩阵。为对角矩阵。解解有特征值有特征值 2(二重二重)和和-7，对应的特征，对应的特征向量分别为向量分别为对对与与进行进行Schmidt正交化正交化:122224242A=1TAT A 312 2,1,02,01,1,1,12TTT =1 2 则则与与也是也是A对应特征值对应特征值2的特征向量。这的特征向量。这样，样，是两两正交的特征向量。是两两正交的特征向量。再令再令 2121112(,)24,1(,)55T=1 2 3123,()=112333212111,|=312 2,1,02,01,1,1,12TTT =11=则则即为所求的正交单位的特征向量。即为所求的正交单位的特征向量。于是，令于是，令312,123221353 5142,353 552033 5,T =则则 T 是正交矩阵，且是正交矩阵，且1722TAT=例例 已知矩阵已知矩阵求正交矩阵，使得求正交矩阵，使得为对角矩阵。为对角矩阵。122224242A=1TAT 例例 已知矩阵已知矩阵求正交矩阵，使得求正交矩阵，使得为对角矩阵。为对角矩阵。解解由于由于，所以，所以有特征值有特征值 2(三重三重)和和-2，对特征值，对特征值1111111111111111A=1TAT A)2()2(|3+=+=AI2=解方程组解方程组得基础解系得基础解系(2)0IA X=解方程组解方程组得基础解系得基础解系正交化正交化(2)0IA X=1231,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1TTT=0 1 121211131323121122123(,)1 1,1,(,)2 2(,)(,)1 11,(,)(,)3 33TTX =单位化单位化对特征值对特征值，解方程组，解方程组 ,1231122331110 02211120|66611113|2 32 32 32 3TTT,|=(2)0IA X=2=得基础解系得基础解系令令41,1,1,1T=44411111,|2222TX=取取则则。123411112262 311112262 3,211026,2 3310022 3,T =diag 12,2,2,2TAT =A例例已知已知1,1,-1是是3阶实对称矩阵阶实对称矩阵的特征值，的特征值，向量向量分别为对应于特征值分别为对应于特征值的特征向量，的特征向量，求矩阵求矩阵。121,1,1,2,2,1TT=121=A解解 主体思路主体思路331231,Tx x x=1323(,)0,(,)0 =31231,1,0,TQ =例例 设设A是是3阶实对称矩阵，特征值为阶实对称矩阵，特征值为1(二重二重)和和2，且已知且已知 A属于属于2的一个特征向量的一个特征向量。求。求A。T)4 ,2 ,1 (解解 设设是是A属于属于1的特征向量，的特征向量，则则，即，即TxxxX),(321=TX)4 ,2 ,1 (0 4 2 321=+=+xxx解出它的一组基础解系为解出它的一组基础解系为TTXX)1 ,0 ,4(,)0 ,1 ,2(21=可证，可证，恰为恰为A属于属于1的两个线性无关的特征向的两个线性无关的特征向量。令量。令，则，则线性无关。线性无关。21 ,XXTX)4 ,2 ,1 (3=321 ,XXX取取=410201142321XXXP则则=2111APP例例 设设A是是3阶实对称矩阵，特征值为阶实对称矩阵，特征值为1(二重二重)和和2，且已知且已知 A属于属于2的一个特征向量的一个特征向量。求。求A。T)4 ,2 ,1 (由此得由此得=3784825242222112111PPA例例 设设A是是3阶实对称矩阵，特征值为阶实对称矩阵，特征值为1(二重二重)和和2，且已知且已知 A属于属于2的一个特征向量的一个特征向量。求。求A。T)4 ,2 ,1 (110101,1001001Q AQA=A例例已知已知1,1,-1是是3阶实对称矩阵阶实对称矩阵的特征值，的特征值，向量向量分别为对应于特征值分别为对应于特征值的特征向量，的特征向量，求矩阵求矩阵。121,1,1,2,2,1TT=121=A31231,1,0,TQ =小结：小结：1特征值与特征向量特征值与特征向量计算特征值与特征向量，特征值与特征向量的性质计算特征值与特征向量，特征值与特征向量的性质2矩阵的对角化矩阵的对角化可对角化的判别，对角化的具体实施过程可对角化的判别，对角化的具体实施过程3实对称矩阵通过正交矩阵的对角化实对称矩阵通过正交矩阵的对角化4相抵与广义逆相抵与广义逆
