通信原理通信原理通信原理 (122).pdf
6.12 M进制调制的最佳接收进制调制的最佳接收通信原理通信原理第第6章章问题：问题：发送M进制数字调制信号波形1,2,()中的某一个发送的信号受到了加性高斯白噪声（AWGN）干扰，接收端收到r(t)接收端需要根据收到的r(t)，最佳地猜测（判决）发送端发送的究竟是1,2,()中的哪一个？2在通信中，最佳的含义是猜错的概率最小。也就是：收到()的条件下，猜1,2,()中最有可能的那个。“收到()的条件下，()的可能性”就是后验概率后验概率Pr|()MAPMAP接收机接收机接收端判决是将收到的()映射到1,2,()中的某一个。如果接收端的设计总能映射到()条件下可能性最高（后验概率最大）者，则称该接收机为MAP接收机，或称该接收机的设计遵循了MAP准则。借助对有用信号完备的归一化正交基，可将问题转到信号空间：按 MAP 准 则 将 接 收 信 号 向 量 映 射 到 星 座 图1,2,中的某个点。3MAP：最大后验概率Maximum a posteriori probabilitya posteriori:拉丁文后验的意思4示例：示例：4ASK系统系统作 为 一 维 调 制，4ASK 的 星 座 图 是 直 线 上 的 四 个 点（1,2,3,4）。接收信号在该信号空间中也是落在这个直线上的点（图中黑点）。MAP接收机是一个算法，该算法告诉我们一个结果例如3，表示：它认为该黑点最有可能是因3而来。该算法的内部很可能是这样的：将直线分割成许多区间（判决域），按这些区间的边界（判决门限）识别黑点落在哪个区间中。判决域O判决门限1 12 23 34 4好像是好像是35最最佳佳接收问题接收问题S rn判决规则判决规则判决空间观察空间噪声空间消息空间信号空间判决空间观察空间噪声空间消息空间信号空间观察到某个现象现象，有多种互斥的假说假说（hypothesis）都可以解释该现象，我们对每个假说逐一检验检验（Test），以决定采信哪一个？此类问题称为Hypothesis Testing（中文叫假说检验假说检验或假设检验假设检验）通信中：观察到的现象是，第个假说是：因为因为发发送端发送了送端发送了，所以你才看到这个所以你才看到这个。需要设计一个算法，其输入是，输出是星座图中的某个点（判决结果判决结果）6接收端拥有的已知条件：已知星座图 1,2,已知先验概率 1,2,已知信道转移概率 1,2,(|)注：信道转移概率也叫似然概率。如果接收信号的元素是连续随机变量（本章中就是这个情况），可将概率改成概率密度，此时称 1,2,(|)为似然函数。7示示例：一维似然函数例：一维似然函数对于一维调制，若发送星座点为的信号=1()，则接收信号是投影到信号空间后是其中是高斯白噪声的投影，是均值为零，方差为02的高斯随机变量。似然函数是()()()1wir ts ftnt=+irsn=+()()2001|eir sNip r sN=8示示例：二维似然函数例：二维似然函数对于二维调制，若发送星座点为=1,2的信号=11+22()，则接收信号是投影到信号空间后得到()在该空间中的坐标向量为=(1,2)，其中其中1,2是高斯白噪声的投影，它们是独立同分布的零均值高斯随机变量，方差均为02。似然函数是()()()wir tstnt=+111222iirsnrsn=+=+()()()2221122000000111|eeeiiirsrsNNNipNNN=rsr s9是维空间的一个点，对任意输入的向量，判决器必须回答（判决）发送的是1,2,中的哪一个。判决这个操作是确定性的：相同的输入一定产生相同的输出。判决器是一个函数映射，它将中的点映射到集合1,2,。反过来看，集合 1,2,中的每个点对应中的一个子集，这样的子集叫判决域。判决判决域域判决器的工作是：如果接收向量落在星座点的判决域内，则判定发送的是。设计接收机的问题变成：如何将空间分成份，才能使判决错误率最小？10MAP判决域：判决域的划分满足，若落入判决域，则后验概率Pr|一定是最大的，即Pr|Pr|,。ML决域：判决域的划分满足，若落入判决域，则似然概率Pr|一定是最大的，即Pr|Pr|,。对于连续随机变量，可将概率Pr|换成概率密度|。贝叶斯公式：后验概率Pr|、似然概率Pr|、先验概率Pr 三者之间的关系是：注：ML是Maximum Likelihood的缩写，即最大似然 Pr,Pr|PrPr|Priiii=s rsrrr ss Pr|PrPr|Priii=r sssrr11先验等概时，MAP=ML：如果Pr=1与无关，则 Pr|Pr|PriiM=r ssrr此时若Pr|Pr|，必有Pr|Pr|，反之亦然。因此，在先验等概的情况下，按MAP准则设计ML判决域就是MAP判决域。注：给定信道条件就是给定了似然函数，似然函数是已知条件，大部分情况下都有简洁的表达式。而后验概率不是算法的已知条件，大部分情况下，后验概率的表达式比较复杂。所以，问题从MAP演变到ML，是题目得到了大大的简化。MAP判决规则:s2s1D1D212举例，二进制系统举例，二进制系统后验概率后验概率ML判决规则:112212,(|)(|)argmax(|),(|)(|)iissp r sp r ssp r ssp r sp r s=()()221121,(|)|argmax(|),(|)|iissP srsP srsPP srssrPr=似然函数似然函数所有满足 1 (2|)的构成1所有满足 1(|2)的构成1在在AWGNAWGN信道条件下，信道条件下，()()()()1r sNikikkpp r s=()()2200r-s1expiNNN=对于AWGN信道，基于ML准则的判决规则等价等价于寻求在距离上最接近于接收信号矢量于寻求在距离上最接近于接收信号矢量r的信号的信号si13AWGN信道信道对于给定的，如果某个在所有1,2,中对应有最小的|，则该也一定对应最小的 。MAPMAP准则准则MLML准则准则最小距离检测最小距离检测先验等概先验等概AWGNAWGN信道信道AWGN下最佳下最佳接收接收14AWGN下下M进进制确定信号的最佳接收过程：制确定信号的最佳接收过程：()()r t12r,.,Nr rr=投投影影检测器检测器()()s0dTkkrr t ftt=用相关解调器实现：用相关解调器实现：基于基于MAP或或ML准则准则检测检测15用匹配滤波器等效实现：用匹配滤波器等效实现：()()()()()()sss0dddTkkkt Tkst Ttrr t fttrhrfTt=+最佳接收准则最佳接收准则最小误码率最小误码率MAPMAP准则准则MLML准则准则最小距离检测最小距离检测先验等概先验等概AWGNAWGN信道信道
