(6.10.1)--5.10相似矩阵及二次型习题选讲.pdf
Fifth Chapter第5章-相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型习题选讲X定义=(1,1,-1)T21 2=5312abA例1 已知是的一个特征向量，（1）试确定a，b的值及特征向量对应的特征值；（2）A是否与对角矩阵相似？解:（1）设特征向量所对应的特征值为，则 )=即得2120530,12+0 ab1,3,0ab。解得（2）由得，3,0ab21 2=5331 02A可知，A 只有三重特征值，但，从而只对应一个线性无关的特征向量，所以 A 不能化为对角矩阵。=1R(+)=2A E=13(1)A从而可得特征多项式为例2 求一个3阶实对称矩阵，它的特征值为3，0，0，且特征值3对应的特征向量为。1(1,1,1)p T123111=(,)110101PpppT上述方程的基础解系为A的特征值0对应的特征向量，令2=1,1,0,3=1,0,1解：设特征值0对应的特征向量为，因A为实对称矩阵，故123(,)x Tx x x1123,0 xxxp x实对称矩阵性质则，其中1=(3,0,0)diagP AP111111213112P11 1 1=1 1 11 1 1A P P。故123111=(,)110101Pppp例3 判别方阵是否与对角矩阵相似，若相似，求变换阵 P，1=P AP211020413 解：A 的特征多项式为2211|020(2)(1)413AE 当时，由1234114110()000=0000=04110000 xx xEAxx1=2=2故由特征方程 22+1)=0123=2,=-1。可得特征值为12(140)(104)xxTT，。解得基础解系使得为对角矩阵。当时，由3-11231111010()030=0010=04140000 xx xEAxx3(101)x T，解得基础解系即矩阵A有3个线性无关的特征向量：故A与对角矩阵相似,变换矩阵为111400041P。=(2,2,1)diag123xxx，例4 求正交变换将二次型化为标准形。xy P22212312233,5222f x x xxxx xx解：二次型的矩阵为，500021012A由特征多项式500|021012AE123135,，(1)(3)(5)=0，可得特征方程从而特征值为当时，由解得基础解系，单位化为()0 xA E(01 1)T1111(01 1)2Tp 21(01 1)2Tp 当时，23(3)0 xAE(0 1 1)T由解得基础解系，单位化为当时，35(5)0 xAE(1 00)T3(100)Tp 由解得基础解系，单位化为所以正交变换为，0011102211022xy22212335fyyy。标准形为例5 已知二次型，（1）用配方法化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；（2）判断其是否为正定二次型。22123131 21 3222f x x xxxx xx x(,)解：（1）2222112323233222123233222fxx xxxxxxxxxxxxx（）（）（）（）（）333223211xyxxyxxxy令，33322211yxyyxyyx即,2221232fyyy故其标准形为，所用变换矩阵为110011,=10001CC。(2)由以上结果可知，该二次型标准形的3个系数不全大于0，所以该二次型不是正定二次型。谢谢，再见！
