通信原理通信原理通信原理 (37).pdf
1/5 例 1 已知实信号()的功率谱密度是()，求解析信号()=()+j ()的功率谱密度。解：关系式()=()+j ()给定了一个线性时不变系统，其冲激响应是()=()+j 1，其中是希尔伯特变换器的冲激响应。传递函数是()=1+j j sgn()=1+sgn()=2,00,=+=+=+3/5()cj2Mff的 傅 氏 反 变 换 是()cj2je2f tm t，()cj2Mff+的 傅 氏 反 变 换 是()cj2je2f tm t，因此()()ccos 2m tf t的希尔伯特变换是()()()ccj2j2cjjeesin222f tf tm tm tm tf t+=(4)()()ccos 2m tf t+是()()()()()()cj 2ccecos 2jsin 2f tm tm tf tm tf t+=+的实部。()()()ccj 2j2jeeef tf tm tm t+=的傅氏变换是()jce Mff，由于()是基带信号且c充分大，故()jce Mff在 0处是零，即()()cj 2ef tm t+只有正频率没有负频率，即()()cj 2ef tm t+是 解 析 信 号。解 析 信 号 的 虚部 是 实部的 希 尔 伯特 变 换，因 此()()ccos 2m tf t+的希尔伯特变换是()()csin 2m tf t+。(5)1()cos(2c+)的希尔伯特变换是1()sin(2c+)，2()sin(2c+)=2()cos2c+2 的 希 尔 伯 特 变 换 是 2()sin2c+2=2()cos(2c+)，因此1()cos(2c+)2()sin(2c+)的希尔伯特变换是1()sin(2c+)+2()cos(2c+)。例 4：设()m t的功率是mP，()m t的希尔伯特变换是()m t，求（1）()()m tm t+的功率；（2）()()jm tm t+的功率。解：希尔伯特变换不改变功率，故()m t的功率依然是mP。（1）()m t与()m t正交，故()()m tm t+的功率是2mP。（2）复信号的功率定义为实部虚部功率之和，故()()jm tm t+的功率是2mP。例 5：设()是解析信号，求()与其共轭()的互相关函数()。解：任意复信号(),()的互相关函数定义为()()()*dxyRx tytt=+时域内积等于频域内积，因此()()()()()j2*j2ededfxyfRXfYffXf Yff =最后一个式子表示：互相关函数是互能量谱密度的傅氏反变换。4/5 本题中，设()的傅氏变换为()Zf，则其共轭()的傅氏变换是()*Zf。()z t与()*zt的互能量谱密度是()()()()*=ZfZfZf Zf。()z t是解析信号，()Zf在0f 处为零。因此()z t与()*zt的互能量谱密度是零，由此退出它们的互相关函数为零。注 1：解析信号只有正频率分量，解析信号的共轭只有负频率分量。注 2：解析信号与其共轭互相关函数为零，这一点也叫做：共轭不相关。例 6：证明：实信号()与其希尔伯特变换 ()的互相关函数()是奇函数。证：()与 ()都是实信号，它们的互相关函数是(+)与 ()的内积：()()()dxxRx tx tt=+时域内积等于频域内积，若()的傅氏变换是()，则(+)的傅氏变换是()ej2，希尔伯特变换 ()的傅氏变换是j sgn()()，因此 ()()()()()*j22j2edjsgn()ejdsgnfxyfRXffXffXfff =(1)在最后一个积分中做变量代换=，注意|()|2是偶函数、sgn()是奇函数：()()()()()()()()()()2j22j22j22j2jsgn()edjsgn()edjsgn()edjsgn()eduxyuufxyRXuuuX uuuX uuuXfffR=例 7：设()cos20 x tt=、()()cos 30y tt=，求()()()(),x ty tx t y t的希尔伯特变换。解：()x t的希尔伯特变换是sin20 t，()cos30y tt=的希尔伯特变换是()sin 30 t。()()11=cos10cos5022x t y ttt+的希尔伯特变换是()()11sin10sin50=cos 20sin 3022tttt+5/5 注意：乘积的希尔伯特变换不等于希尔伯特变换的乘积，再比如例 2 中的(3)(4)。
