(2.2.2)--2.1.2解析函数.pdf

教学目的：教学目的：理解并掌握解析函数的定义；了解点解析和点可导的关系；了解区域解析和区域可导的关系；掌握解析函数的性质.知识梳理：知识梳理：一、解析函数的定义 1.一点处的解析性与奇点 如果函数()f z在0z点及0z点的某个邻域内处处可导，则称()f z在0z点解析.如果()f z在0z点不解析，则称0z为()f z的奇点.2.区域内的解析性与解析函数 如果函数()f z在区域 D 内的每一点都解析，则称()f z在区域 D 内解析，或称()f z是区域 D 内的解析函数.二、解析与可导的关系 1.一点处解析在该点必可导，反之未必.2.区域内解析必在该区域内可导，区域内可导必在该区域内解析.三、解析函数的性质 1.两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是解析函数.2.所有多项式函数在复平面内是处处解析的.3.任何一个有理分式函数在分母不为零的点的区域内是解析的.4.解析函数的复合函数仍是解析函数.例题讲解：例题讲解：例例 1 研究函数2()|f zz的解析性.解解 由于 22()()zzzf zzf zzz=()()zz zzzzzzzzzz.如果0z，则当0z 时，上式极限为零；如果0z，此时 0()()limzf zzf zz=0limzzzzz，令zz沿直线yk x 趋于z，得到 000001 ii1ilimlimlimi1i1 izxxyyyzxykxyzxykx .随着k的不同，上式趋于一个不确定的值，即当0z 时，上式极限不存在.因此，2()|f zz仅在点0z 可导，在其它点都不可导，由定义知，它在复平面内处处不解析.例例 2 研究函数1wz的解析性.解解 因为1wz在复平面内除0z 外处处可导，由解析函数的定义，得1wz在复平面内除0z 外处处解析.重难点注记：重难点注记：重点：解析函数的定义，解析和可导的关系.难点：利用解析函数的定义判定复变函数的解析性.知识点知识点总结：总结：1.点解析和点可导是不等价的；区域解析和区域可导是等价的.2.两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是解析函数.3.所有多项式函数在复平面内是处处解析的.4.任何一个有理分式函数在分母不为零的点的区域内是解析的.5.解析函数的复合函数仍是解析函数.