(4.2.2)--4.1.2复数项级数.pdf

教学目的：教学目的：掌握复数项级数收敛的定义；掌握复数项级数收敛的充要条件、必要条件；掌握复数项级数绝对收敛和条件收敛的概念；掌握复数项级数绝对收敛和收敛的关系.知识梳理：知识梳理：一、复数项级数的定义 (1)设(1,2,)nzn 为一复数列，则称表达式121nnnzzzz为复数项 无穷级数，简称级数(2)称级数1nnz的前n项的和12nzzz为级数的部分和，记作ns 注：部分和的本质是一个数列.(3)如果级数1nnz的部分和数列 ns有极限s，即limnnss，则称级数1nnz收敛，并称s为这级数的和，记作1nnsz.二、复数项级数收敛性判定的方法 1.充要条件 定理 设i(1,2,)nnnzxyn，则级数1nnz收敛的充要条件是1nnx和1nny都收敛 注：复数项级数的收敛性的判定问题转化为实数项级数的收敛性的判定问题.2.必要条件 定理 如果复数项级数1nnz收敛，那么lim0nnz 注：定理反过来不成立.3.绝对收敛与条件收敛 定义 设有复数项级数1nnz若正项级数1|nnz收敛，则称级数1nnz为绝对收敛；若级数1nnz收敛，而正项级数1|nnz发散，则称级数1nnz为条件收敛 定理 如果级数1nnz绝对收敛，那么该级数必收敛 注：定理反过来不成立.定理 级数1nnz绝对收敛的充分必要条件是级数1nnx和1nny都绝对收敛 例题讲例题讲解：解：例例1 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)211i)nnn（；(2)1innn；(3)111i3nnnnn；(4)134i)8nnn（.解解 (1)因 11nn发散，故原级数发散 (2)因为级数1innn11111()i(1)24635-的实部和虚部都是收敛的交 错级数，所以级数1innn收敛而级数1innn11nn是发散的，故原级数为条件收敛(3)因为111nnn是收敛的交错级数，由正项级数的比值审敛法知，级数13nnn收敛，所以111i3nnnnn收敛而111nnn为条件收敛，故原级数为条件收敛(4)因为134i)8nnn（15()8nn是收敛的等比级数，故原级数收敛，且为绝对收敛 重难点注记：重难点注记：重点：复数项级数收敛性的判定.难点：绝对收敛和条件收敛的判定.知识点总结：知识点总结：1.级数1nnz收敛的充分必要条件是级数1nnx和1nny都收敛 2.如果级数1nnz收敛，那么lim0nnz 3.如果级数1nnz绝对收敛，那么该级数必收敛 4.级数1nnz绝对收敛的充分必要条件是级数1nnx和1nny都绝对收敛 5.判定复数项级数收敛性的步骤：第一步：考察是否满足必要条件lim0nnz.若不满足，则级数发散；若满足，进一步判断.第二步：用充要条件或绝对收敛进行判定.总之，都是转化为实数项级数收敛性的讨论.