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第 7 章 常微分方程数值解法 7.1 引言 单摆运动：图 8-1 中一根长l的（无弹性）细线，一端固定，另一端悬挂一个质量为m的小球，在重力作用下小球处于竖直的平衡位置.若使小球偏离平衡位置一个小的角度，然后让它自由，它就会沿圆弧摆动.在不考虑空气阻力的情况下，小球将作周期一定的简谐运动.图 8-1 单摆运动 以0为平衡位置，以右边为正方向建立摆角的坐标系.在小球摆动过程中的任一位置，小球所受重力沿运动轨迹方向的分力为sinmg（负号表示力的方向与的正向相反），利用牛顿第二定律得到如下的微分方程 0)0(,)0(,sin0 mgml，（8.1）其中表示单摆在任意时刻t的位置（与铅垂方向的夹角），l为单摆的长度，0为小球初始偏离角度，且小球无初速.对于较小的0值，可以使用近似sin将问题简化为线性常系数微分方程 0)0(,)0(,00 lg.（8.2）容易计算得到方程（8.2）的解析解为lgtt,cos)(0.显然，简谐运动的周期为glT2.对于较大的0值，若用近似sin误差太大，必须使用近似方法.而方程（8.1）没有解析解.因此，这类问题必须利用数值方法求解.常微分方程(Ordinary Differential Equations)是描述确定性现象的常用数学工具.然而，由科学技术和工程实际问题所提出的数学模型，因其问题的复杂性，只有很少的方程能解析求解.实际问题所提炼出的微分方程，很多情况下，求出数值规律就能满足要求.因此，研究常微分方程定解问题的数值解法就显得十分必要了.本章首先考察一阶方程的初值问题(First-order Initial-value problem)000)(),(yxyxxyxfy.(8.3)lmg 假设定解问题是适定的，即方程(8.3)的解)(xyy 存在、唯一且足够光滑，而且)(xy连续地依赖于初始值及右端函数.事实上，只要函数),(yxf适当光滑例如满足对y的李普希茨条件（Lipschitz Condition）.即存在常数0L（称为李氏常数（Lipschitz Constant），使得对一切,bax及Ryy21,，满足 2121),(),(yyLyxfyxf.则对任意Rybax00,，初值问题(8.3)存在唯一的连续可微解)(xy.对于一个存在唯一解的初值问题，还要注意方程的条件.描述初值问题的条件，关键在于：如果在包含解曲线的区域中，yf（正的小量），那么初始条件的微小误差（摄动）对解的摄动随x的增加而消失或增长不大，这种问题称为好条件的(Well-posed Problem).若yf（正的小量），随x的增加，摄动后的解曲线)(xy离)(xy越来越远，这种问题是坏条件的.例如，对于初值问题,)0(,0yyyeyx易求得方程有唯一解xeyxxy)()(0.若初值有微小摄动0)0(yy，摄动后的解为xeyxxy)()(0，则有 0,)()(xexyxyx.其中，1yf（正的小量），从而的系数是xe.这说明初始条件的微小摄动对解的影响随x的增加而减小，所以这个问题是好条件的.又如，对于初值问题,)0(,1000100yyeyyx易求得方程有唯一解xxeeyxy1000101100)101100()(.若初值有微小摄动0)0(yy，摄动后的解为xxeeyxy1000101100)101100()(，则有 0,)()(xexyxyx.其中，1yf（正的小量），从而的系数是xe，解对初值非常灵敏.初始条件的微小摄动对解的影响随x的增加不是消失，而是迅速增加，所以这个问题是坏条件的.所谓数值解法，就是用计算机求解微分方程近似解的方法，即寻求定解问题在一系列离散点bxxxxan210上的近似值nyyy,10的方法.为求)(xy在离散点上的近似值，将区间,baxn等分，即令 1,1,0,1ninabxxhihaxiii,称h为步长，ix为节点.初值问题(8.3)的数值解法一般都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息,1kkyy计算1ky的递推公式.单步法是常用的“步进式”方法，它是指利用节点1,kkxx及)(kxy的近似值ky，直接计算)(1kxy的近似值1ky的各种算法.另一类方法称为l步法(l-step Multistep Methods)，是指计算1ky时用到前面l点的值11,lkkkyyy.本章研究常微分方程初值问题、边值问题的数值方法及方法的可靠性理论.基本问题为 （1）如何将定解问题数值离散化？（2）数值方法的局部截断误差和方法的阶.（3）数值解的误差估计、收敛性及算法的数值稳定性问题.
