(6.6.1)--5.6-拉伸网格方法讲义.pdf

计算流体力学基础讲义-1-第五章 网格与相应变换 5.6 拉伸网格方法 首先看一个例题，考虑平板表面的黏性流动问题，物理平面和计算平面如图 5.4 所示。边界层流动的速度在平板表面附近变化较为剧烈，呈抛物型速度型，如物理平面左侧的速度分布示意图所示。为了合理捕捉平板流动的速度型，在 y 方向上需要一个空间上分布合理的网格，如物理平面中所示的网格，在边界层区域网格较密，而在远离边界层的区域，网格逐渐变稀疏。而另一方面，为了方便使用有限差分法求解流动控制方程，我们需要一个在计算平面中的均匀网格，如图 5.4b 所示。从图中物理平面的网格可以看出，该网格好像是画在一张橡胶上的均匀网格，而橡胶的上部被沿着 y 方向拉伸了，或者是下部被压缩了，因此形象地被称为拉伸(或压缩)网格。(a)物理平面(b)计算平面 图 5.4 网格拉伸示例 能够实现这样的拉伸网格的一个简单的解析变换关系为式(5.50)和(5.51)。其中式(5.50)表示的是从物理平面到计算平面的正变换，而式(5.51)表示的是从计算平面到物理平面的反变换。在整个物理平面，x都是一样的。在整个计算平面，都是一样的。x=，即在 x 方向上网格并没有拉伸。正变换 ln(1)xy=+(5.50a)(5.50b)反变换 1xye=(5.51a)(5.51b)但是，y 方向上的网格不是这样的情况。整个计算平面中，都是一样的，那么，在物理平面上的相应的y是怎样的呢？下面从变换关系来详细分析。将反变换关系式(5.51)对求偏导数，可以得到：dyed=(A5.6.1)进一步得到：计算流体力学基础讲义-2-dye d=(A5.6.2)用有限增量形式代替dy和d，可得：ye=(5.52)从而可以看出，对于同样的，当逐渐增加时，y的值是逐渐增大的。换句话说，网格在沿竖直方向远离平面时，尽管在计算平面上是均匀的，但是物理平面上y是逐渐增大的，即物理平面上的网格在竖直方向被拉伸了。这就是拉伸网格的含义。注意到，式(5.50)给出的是正变换关系式，式(5.51)给出的反变换关系式，它们都说明了拉伸网格的生成机制。下面例 5.3 接着考察控制方程从物理平面到计算平面的变换。为简单起见，假设流动是定常的，并且以连续方程为例，其在笛卡尔坐标系中的形式为：()()0 uvxy+=(5.53)然后通过使用由式(5.2)和式(5.3)给出的偏导数变换公式正变换到计算平面，可以得到：()()()()()()()()0 uuvvxxyy+=(5.54)式中的变换系数为正变换系数，可以通过式(5.50a)和(5.50b)得到式(5.55)，即：111,0,0,1xyxyye=+(5.55)将这些正变换系数代入式(5.54)，可以得到计算平面中的连续方程：()1()0uve+=(5.56)或：0(u)(v)e+=(5.57)例 5.4 进一步考察连续方程的变换，只是这一次是通过式(5.51a)和(5.51b)的反变换来实现。直接使用由式(5.24a)和(5.24b)给出的通用反变换偏导数变换公式，可以得到：()()()()+=11()()()()()()()()0uuvvyyxxJJ(5.58)然后由式(5.51a)和(5.51b)可以得到反变换系数分别为：1,0,0,xxyye=(5.59)将反变换系数的值代入式(5.58)，便可以得到计算平面中连续方程：()()0 uve+=(5.60)可以看到，本例用反变换系数得到的连续方程与用正变换系数得到的式(5.57)是完全一计算流体力学基础讲义-3-致的。由以上两个例题可以看出，正变换结果(5.54)和反变换结果(5.58)仍是一般的变换形式，只有将特定变换中特定的变换系数代入以后，才能得到特定的变换后的方程。对于控制方程的任何变换应该有这样的认识，即，控制方程的变换是由变换系数将特定的信息带入到某一特定的变换当中去的。此外，获得流动解有两个基本条件：一是网格变换系数要在网格生成时确定好，二是需要知道物理平面中每个网格点与计算平面中网格点的一一对应关系，这样就可以将计算结果转化到物理平面上了。下面的例 5.5 给出了一个更加复杂的网格拉伸示例，后台阶钝体的超声速黏性流动。为了合理捕捉此类流动的细节，网格在 x 和 y 两个方向上都要进行拉伸。图 5.5 后台阶流动的拉伸网格 图 5.5 给出了物理平面的网格情况和相应的计算平面网格。沿流向 x 方向的拉伸变换公式为：计算流体力学基础讲义-4-00sinh()xxxAA=+(5.61)其中参数 A 和0 x的表达式为：0sinhxAx=（）(5.62)0001(1)1ln21(1)xxxexe+=+(5.63)其中0表示的是网格密集处的一点在计算平面中的对应位置，0值越大表示对应的加密区的网格越密。y 方向的拉伸变换通过将物理平面分成两个部分来实现，一是台阶后面，二是台阶上方(包括台阶前面和后面部分)。拉伸变换的公式为：()()(1)/(1)(1)/(1)11(21)(1)cyyceye +=+(5.64)其中 1ln1yyc+=其中，y为一个适当的常数，其值越小，则表示加密区网格越密。这里，公式(5.61)至(5.64)只是网格生成公式中的一个例子，这并不意味着它们比别的网格生成方案更好。具体采用什么样的拉伸网格由实际情况决定，最重要的是，它必须适用于所要解决的特定问题。