复变函数复变函数复变函数 (56).pdf
教育教学论坛E D U C A T I O NT E A C H I N GF O R U M2 0 1 8 年 9 月第 3 9 期S e p t.2 0 1 8N O.3 9复变函数中孤立奇点的判别收稿日期：2018-01-15基金项目：西安理工大学教育教学改革研究项目（109-251041607）作者简介：苗保山，男，讲师，硕士，研究方向：计算数学。一、引言在复变函数1中，把孤立奇点分成三种类型：可去奇点、极点和本性奇点.教材中给出了两种判别孤立奇点类型的方法，一种是在奇点的去心邻域内将函数展开成罗伦阶数，根据负幂项的有无及多少来判断，但是要将有些函数展开成罗伦阶数比较困难；另外一种是对函数求极限，根据极限值来判断，此种方法可以求出孤立奇点是函数的哪一类奇点，但若是函数的极点，却不能判断出极点的阶数.一些文章2-6也给出了求孤立奇点类型的方法.本文先求出函数分母的零点，再根据零点和孤立奇点的关系，最后给出判断复变函数孤立奇点类型的方法.二、函数的零点（一）没有因子表达式的零点1.定义：若不恒等于零的函数f（z）可表示成f（z）=（z-z0）m（z），其中函数（z）在z0解析，且（z0）0（m1）且为正整数，那么z0称为函数f（z）的m阶零点.例1：求函数z3-z2-z+1的零点及阶数.因为z3-z2-z+1=（z-1）2（z+1），所以z=1是2阶零点；z=-1是1阶零点.例2：证明z=0是函数z-sinz的3阶零点.证明：将sinz在0点展开成泰勒级数，然后得z-sinz=z-z-13!z3+15!z5-17!z7+!=z313!-15!z2+17!z4+!而13!-15!z2+17!z4+!在0解析，且在0点的值不等于0，0是函数z-sinz的3阶零点.若函数f（z）不易表示成（z-z0）m（z）的形式，则可用定理11判定.2.定理1：若函数f（z）在z0解析，则z0是函数f（z）的m（m1）阶零点的充要条件：f（n）（z0）=0，n=0，1，2，m-1，f（m）（z0）0.（二）函数f（z）=P（z）Q（z）的零点推论：若函数f（z）=P（z）Q（z），且z0是函数P（z）的m（m1）阶零点，也是函数Q（z）的n（n0）阶零点，则z0是函数f（z）=P（z）Q（z）的m+n阶零点.根据定义、定理及推论，并结合泰勒展式，得到函数f（z）的零点及其阶数.三、函数f（z）=g（z）h（z）的奇点函数的零点与极点有下面的关系：定理21：如果z0是函数f（z）的m阶极点，那么z0就是函数1f（z）的m阶零点.反之亦然.根据定理2，可得到如下推论：推论2：若函数f（z）=g（z）h（z），点z0是函数h（z）的m（m1）阶零点，也是函数g（z）的n（n0）阶零点，则：（1）当nm时，点z0为函数f（z）的可去奇点；（2）当nm时，点z0为函数f（z）的m-n阶极点.证：点z0是函数h（z）的m（m1）阶零点，h（z）=（z-z0）m（z），其中函数（z）在z0点解析，且（z0）0；又点z0是函数g（z）的n（n0）阶零点，g（z）=（z-z0）n准（z），其中函数准（z）在z0点解析，摘要：先给出复变函数的零点及阶数，再根据零点和孤立奇点的关系，给出判断孤立奇点类型的方法.关键词：零点；阶数；孤立奇点中图分类号：O174.5文献标志码：A文章编号：1674-9324（2018）39-0203-02203-教育教学论坛E D U C A T I O NT E A C H I N GF O R U M2 0 1 8 年 9 月第 3 9 期S e p t.2 0 1 8N O.3 9且准（z0）0.f（z）=g（z）h（z）=（z-z0）n-m准（z）（z），其中函数准（z）（z）在z0点解析，且准（z）（z）0，（1）当nm时，函数f（z）在点z0的去心邻域的洛朗展开式中没有（z-z0）的负幂项，故点z0为函数f（z）的可去奇点.（2）当nm时，f（z）=g（z）h（z）=（z-z0）-（m-n）准（z）（z），点z0为函数f（z）的m-n阶极点.例3：求下列函数的孤立奇点及其类型，如果是极点，并求出极点的阶数.（1）sinzz；（2）sinz3z；（3）sinzz3；（4）1（1+ez）（1+z2）；（5）z（z-1）2（sin（z）3.解：（1）0是分母z的1阶零点，是分子sinz的1阶零点，所以0是函数sinzz的可去奇点.由sinzz=1-13!z2+15!z4-，0 z-0+也可得出此结论.（2）0是分母z的1阶零点，是分子sinz3的3阶零点，所以0是函数sinz3z的可去奇点.由sinz3z=z2-13!z8+15!z14-，0 z-0+可看出洛朗展开式中没有负幂项，所以0是函数sinz3z的可去奇点.（3）0是分母z3的3阶零点，是分子sinz的1阶零点，所以0是函数sinzz3的2阶极点.由sinzz3=z-2-13!+15!z2-，0|z-0|+可得出相同的结论.（4）分母中，z=i（1+2k），k=0，1，2，是因式1+ez的1阶零点，且当k=0，-1时对应的i也是因式1+z2的1阶零点，所以i是分母（1+ez）（1+z2）的2阶零点；z=i（1+2k），k=0，1，2，是分子的0阶零点.所以i是函数1（1+ez）（1+z2）的2阶极点，而z=i（1+2k），k=1，2，是函数1（1+ez）（1+z2）的1阶极点.（5）因为z=0，1，2，是分母（sin（z）3的3阶零点；又因为z=0是分子z（z-1）2的1阶零点，z=1是分子z（z-1）2的2阶零点.所以z=0是函数z（z-1）2（sin（z）3的2阶极点，z=1是z（z-1）2（sin（z）3的2阶极点，z=-1，2，是函数z（z-1）2（sin（z）3的3阶极点.本文所给方法与文章2-6所给方法略有不同，该方法是先得到函数分母的零点及其阶数，再判断该零点是函数分子的几阶零点，从而得到函数孤立奇点的类型，有助于计算复变函数沿封闭曲线的积分.参考文献：1李红,谢松法.复变函数与积分变换M.北京:高等教育出版社,2013.2夏志.一类复变函数极点阶数的确定J.渤海大学学报,2005,26(1):49-51.3喻敏,王文波,马建清,胡佳.一类极点阶数的判断J.高师理科学刊,2016,36(5):18-19.4赵伟舟,景慧丽,张辉.复函数的极点判定问题研究J.赤峰学院学报(自然科学版),2016,32(4):3-4.5胡平.解析函数的m阶极点的一个特征J.青海师范大学学报(自然科学版),2012,3:1-2.6王文琦.确定复杂复变函数极点阶数的一种方法J.山西大同大学学报(自然科学版),2012,28(1):19-20.The Method toDetermine Isolated Singular Point for the ComplexFunctionMIAOBao-shan1,ZHANGWen-ying2,XIE Ni1,TONG Xiao-hong1(1.School ofScience,Xian UniversityofTechnology,Xian,Shaanxi 710048,China)(2.Academic Affairs Office,Xian Universityof Technology,Xian,Shaanxi 710048,China)Abstract:Firstly,the zero point and order of complex function be presented,and then the method be given todetermine the types of the isolated singular point according to the relationship of the zero point and isolatedsingular point.Key words:zero point;order;isolated singular point204-
