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6.5 高斯求积公式 6.5.1 高斯型求积公式 设在,ba上给定了权函数)(x，考虑badxxfxI)()(.利用拉格朗日插值方法，得到插值型求积公式 nkkkbaxfAdxxfxI0)()()(，（7.23）其中求积系数由插值基函数可得 babaknknkknkdxxwxxxwxdxxlxA,1,0)()()()()()(.（7.24）【注】对于牛顿-柯特斯公式，插值节点等距的限制一方面简化了求积公式，但另一方面也限制了求积公式的代数精度.如果我们将求积节点和求积系数都作为参数，是否存在1n个节点和系数，使求积公式的代数精度高于1n？最高是多少？高斯在 1814 年得到了下面结论.【定理 3】插值型求积公式nkkkbaxfAdxxfx0)()()(的代数精度不超过12 n.证 只需证明对22 n次多项式求积公式不能准确成立.取20)()(nkkxxxf，则0)(kxf且为22 n次多项式，此时 babankkdxxxxdxxfx0)()()()(20.而另一方面，nkkkxfA00)(.因此，结论成立.【定义 2】具有12 n次代数精度的插值型求积公式nkkkbaxfAdxxfx0)()()(称为高斯型求积公式(Gauss Quadrature)，相应的求积节点),1,0(nkxk称为高斯点.【定理 4】设)(xw为1n次多项式，它与所有次数不超过n的多项式关于权函数)(x都正交，则节点),1,0(nkxk为高斯点的充要条件是，kx是)(xw的根.证 必要性：若节点),1,0(nkxk是高斯点，则kx是与所有次数不超过n的关于权函数)(x都正交的1n次多项式的根.令)()()(10nxxxxxxxw，并设)(xQ为次数小于等于n的任意多项式，记)()()(xwxQxf，则)(xf是次数小于等于12 n的多项式.因为节点),1,0(nkxk是高斯点，则有精确的等式 bankkkxfAdxxfx0)()()(.上式右端因0)(kxf而等于零，即有badxxwxQx0)()()(，因此)(xQ与)(xw正交.充分性：设),1,0(nkxk是,ba上关于权)(x正交的1n次多项式)(xw的零点，)(xf是任意不超过12 n次的多项式，用)(xw除)(xf，记商为)(xM，余式为)(xN，则)()()()(xNxwxMxf.由于)(xM，)(xN的次数都小于等于n，而,0)(kxw则nkxNxfkk,1,0),()(，从而得到 bababadxxNxdxxwxMxdxxfx)()()()()()()(nkkkbankkkxfAxNAdxxNx00)()()()(，即kx是高斯点.【注】（1）高斯点与正交多项式的联系.定理 4 表明，若要求积分公式达到12 n次代数精度，只要把节点取为,ba上与小于等于n次多项式都正交的1n次多项式的零点，即高斯点为,ba上带权)(x的1n次正交多项式的零点.（2）有了求积节点),1,0(nkxk，再根据代数精度的定义，得到一组关于求积系数),1,0(nkAk的线性方程组，解方程组得),1,0(nkAk.或者利用插值基函数带权积分公式（7.24）求出求积系数.6.5.2 高斯型求积公式的截断误差及稳定性、收敛性 1、高斯型求积公式的截断误差 设kx),1,0(nk是高斯点，对)(xf在这些节点上做埃尔米特插值，得到)()!22()()()(2)22(12xwnfxHxfnn.（7.25）其中),(,babax且依赖于x，而)(12xHn满足插值条件 nkmxHxfxHkknkkn,1,0,)(),()(1212.对（7.25）式乘)(x并积分，得 babannbadxxxwnfdxxHxdxxfx)()()!22()()()()()(2)22(12.由于kx是高斯点，且)(12xHn满足插值条件，则有 nkkknkknkbanxfAxHAdxxHx001212)()()()(.而由)()(2xwx在),(ba上不变号，当,)()22(baCxfn时，有,)()()!22()()()!22()()(2)22(2)22(badxxwxnfdxxwnfxbanban.因此，高斯型求积公式的截断误差为 babanknkkndxxwxnfxfAdxxfxfR)()()!22()()()()(20)22(.（7.26）2、高斯型求积公式的稳定性【定理 5】高斯求积公式的系数),1,0(nkAk全为正，且bankkdxxA)(0.证 对高斯点kx，令nixxxnijjji,2,1,0,)()(02，显然)(xi是n2次多项式，因而 0)()()()(0iiinkkikbaixAxAdxxx.而0)(iix，因此必须nkAk,1,0,0.当取1)(xf时，显然nkkbaAdxx0)(.由bankknkkdxxAA)(00，则有如下的数值稳定性.当节点处函数值带有舍入误差，其值记为)(kxf，准确值为)(kxf，利用高斯型求积公式则有 bakknknkkkknkkknkkkdxxxfxfxfxfAxfAxfA)()()(max)()()()(0000，即数值求积计算的误差不超过原始函数值最大误差的badxx)(倍.因此，高斯型求积公式是数值稳定的.3、高斯型求积公式的收敛性【定理 6】设任意,)(baCxf，则高斯型求积公式都收敛，即有 baknkkndxxfxxfA)()()(lim0.证 因为,)(baCxf，对任给0，由第 6 章的 Weierstrass 定理，存在多项式)(xp，使得 1)(2)()(badxxxpxf.（7.27）令nkkknxfAfQ0)()(，则有)()()()()()()()()()()()(fQpQpQdxxpxdxxpxdxxfxfQdxxfxnnbanbababan 由（27）式，则有 2)()()()(babadxxpxdxxfx.（7.28）而由高斯积分公式，对)(xp为小于等于12 n次多项式，有 0)()()(pQdxxpxnba.（7.29）再根据0kA，得 2)()()()(0nkkkknnxfxpAfQpQ.（7.30）由（7.28）、（7.29）、（7.30）式，则有 banfQdxxxf)()()(.6.5.3 常用的高斯型求积公式 1、高斯-勒让德公式 勒让德多项式0)(nnxP是区间-1，1上权函数1)(x的正交多项式.在-1，1上，若取权函数1)(x，取高斯点为勒让德多项式的零点，则得高斯-勒让德求积公式 110)()(nkkkxfAdxxf.（7.31）（1）单点公式（0n）.取xxP)(1的零点00 x为节点构造求积公式 110)0()(fAdxxf，令它对1)(xf准确成立，可求出20A.这样构造的高斯-勒让德单点公式即为中矩形公式)0(2)(11fdxxf.（2）两点公式（1n）.取)13(21)(22xxP的两个零点31为节点构造求积公式)31()31()(1011fAfAdxxf.令它对xxf,1)(都准确成立，则,0)31()31(,21010AAAA 解得110 AA，因此得到两点高斯-勒让德求积公式)31()31()(11ffdxxf.同理可得三点高斯-勒让德求积公式)515(95)0(98)515(95)(11fffdxxf.一般地，对应不同的n值，可以构造不同的求积公式.高斯-勒让德求积节点和系数见表7-6.表 7-6 高斯-勒让德求积节点和求积系数 n kx kA n kx kA 0 0.0000000000 2.0000000000 1 0.5773502692 1.0000000000 2 0.7745966692 0.0000000000 0.5555555556 0.8888888889 4 0.9061798459 0.5384693101 0.0000000000 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 3 0.8611363116 0.3399810436 0.3478548451 0.6521451549 5 0.9324695142 0.6612093865 0.2386191861 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 高斯-勒让德求积公式（7.31）的余项为)1,1()()!22)(32()!12(2)22(3432nnnfnnnfR.当1n时，有)(1351)4(1ffR，它比辛普森公式的余项)(901)4(1ffR（区间为-1，1）还小，且比辛普森公式少算一个函数值.【注】如果积分区间是,ba，则可经过变换22batabx转化为区间-1,1，此时有 dtabtabfabdxxfba)22(2)(11.对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.例 8 用高斯-勒让德求积公式计算积分10sindxxxI（准确值94608307.0I）.解 令)1(21tx，则有1110)1()1(21sinsindtttdxxx，被积函数)1()1(21sin)(tttf.利用高斯两点公式，)31()31(ffI9460411.044975435.049628678.0.利用高斯三点公式，9460831.0)515(95)0(98)515(95fffI.下面用牛顿-柯特斯公式计算.被积函数xxxfsin)(，利用两点梯形公式计算，)1()0(21ffTI9207355.0.利用三点辛普森公式计算，9461459.0)1()21(4)0(61fffSI.对比可知，高斯两点公式比三点辛普森公式精度还要高，且比辛普森公式少算一个函数值.2、高斯-切比雪夫公式 切比雪夫多项式0)(nnxT是区间-1，1上权函数211)(xx的正交多项式.在-1，1上，取高斯点为切比雪夫多项式的零点，则得高斯-切比雪夫求积公式 1102)(1)(nkkkxfAdxxxf.使用时，将1n个节点的公式改为n个节点.n次切比雪夫多项式)(xTn的零点为nknkxk,1,212cos，求积系数为nAk，则高斯-切比雪夫求积公式写成 1112)(1)(nkkxfndxxxf，nkxk212cos.（7.32）它的余项为)1,1(),()!2(22)2(2nnnfnfR.3、高斯-拉盖尔公式),0上关于权函数xex)(的高斯公式nkkkxxfAdxxfe00)()(，对应的高斯点和求积系数见表 7-7.表 7-7 高斯-拉盖尔求积节点和求积系数 n kx kA n kx kA 0 1 1 1 0.5857864376 3.4142135624 0.8535533906 0.1464466094 2 0.4157745568 2.2942803603 6.2899450829 0.7110930099 0.2785177336 0.0103892565 3 0.3225476896 1.7457611012 4.5366202969 9.3950709123 0.6031541043 0.3574186924 0.0388879085 0.0005392947 4、高斯-埃尔米特公式),(上关于权函数2)(xex的高斯公式nkkkxxfAdxxfe0)()(2，对应的高斯点和求积系数见表 7-8.表 7-8 高斯-埃尔米特求积节点和求积系数 n kx kA n kx kA 0 0 1.7724538509 1 0.707167812 0.8862269255 2 1.2247448714 0 0.2954089752 1.1816359006 4 2.0201828705 0.9585724646 0 0.01995324206 0.3936193232 0.9453087205 3 1.6506801239 0.5246476233 0.08131283545 0.8049140900 5 2.3506049737 1.3358490740 0.4360774119 0.0045300099 0.1570673203 0.7246295952 【注】高斯型求积方法具有代数精度高的优点，带权的高斯求积方法，能把复杂积分化简，还可以直接计算无界函数的广义积分、无穷限的广义积分.为了满足精度要求，工程计算中可采用复化高斯求积方法.复化高斯-勒让德积分的计算机算法：令nabh，nkkhaxk,1,0,，则有 nkknknkxxbadttFhdthkathfhdxxfdxxfkk1111111)(2)21(2(2)()(1,其中，)21(2()(hkathftFk.如果子区间上取高斯-勒让德两点公式计算，则得到复化两点高斯公式 nkkkbaFFhdxxf1)31()31(2)(.如果子区间上取高斯-勒让德三点公式计算，则得到复化三点高斯公式 nkkkkbaFFFhdxxf1)53(95)0(98)53(952)(.复化两点（或三点）高斯-勒让德公式的MATLAB程序：Gauss_Legendre.m function quad=Gauss_Legendre(f,a,b,n)%求积分的复化高斯-勒让德算法，其中，%f 为被积函数；%a 和 b 为积分区间的下限、上限；%n 为复化区间个数；%输出项 quad 为变复化高斯-勒让德计算值.h=(b-a)/n;quad=0;for k=1:n t=-1/sqrt(3),1/sqrt(3);A=1,1;%t=-sqrt(3/5),0,sqrt(3/5);A=5/9,8/9,5/9;F=feval(f,h/2*t+a+(k-1/2)*h);quad=quad+sum(A.*F);end quad=h/2*quad;例 9 利用复化两点高斯公式计算1121dxx.（准确值)1ln()3ln(098612289.1）利用复化两点高斯-勒让德公式的计算程序 Gauss_Legendre.m f=inline(1./(x+2);a=-1;b=1;n=10;quad=Gauss_Legendre(f,a,b,n);quad=vpa(quad,7)得积分近似值为 quad=1.098610.
