复变函数复变函数复变函数 (17).pdf

收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；吉林省教育厅项目（）；四平市科技局项目（）作者简介：冯志新（），女，吉林双辽人副教授，硕士，主要从事函数论研究初等解析函数教学探析摘要：针对初等解析函数教学的重点难点，分析教学环节中值得注意的问题，阐述如何突破教学重点难点，使学生深入透彻地掌握相关概念、性质和结论关键词：解析函数；初等单值解析函数；初等多值解析函数 中图分类号 文献标志码 （，）：，：；复变函数课程是数学专业以及工科专业的必修课程，是微积分理论从实数域到复数域上的推广和延续解析函数是复变函数的主要研究对象，本文只针对初等解析函数这部分教学内容，结合教学实践，总结知识脉络，阐述如何突破教学重点难点，使学生深入透彻地掌握相关概念、性质和结论 初等函数在实数域和复数域中的对比定义设是一个非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种对应法则，都有唯一确定的实数和它对应，那么就称：为定义在集合上的一个函数，记作（）其中，叫自变量，叫因变量的取值范围叫做函数的定义域 函数值的集合叫做函数的值域定义设为一非空复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称 在上 确 定 了 一 个 单 值 函 数（）（）；如对内每一复数，有两个或两个以上与之对应，则称在上确定了一个多DOI:10.13815/ki.jmtc(ns).2017.04.019值函数（）（）其中，叫自变量，叫因变量叫做函数的定义域，函数值的集合（）叫做函数的值域定义和定义分别是实数域和复数域上函数的定义，都是从映射的角度给出 本科阶段的教学目的之一是希望学生学会利用单值函数研究多值函数复变函数课程中，初等解析函数这部分的教学内容分为单值和多值前后两部分，交代了复变函数定义之后，一定要强调“不加多值二字，一律指单值复变函数”复变函数中初等函数延用了实数域内的定义，也是由常数和基本初等函数经过有限次四则或复合而成的函数 基本初等函数中的幂函数、指数函数和三角函数推广到复数域中仍为单值函数，但是幂函数的反函数根式函数、指数函数的反函数对数函数和反三角函数在复数域内为多值函数，这几类函数有的形式与实数域内相同（如幂函数），有的重新定义，但是和实数域内并不矛盾初等单值解析函数教学分析这部分教学重点是几个函数定义的形式、解析性质和初等性质，尤其强调定义和性质中与实变函数（）的不同之处幂函数（），已知其在整个平面上解析，且（）幂函数的定义形式上和实数域内一致，导数公式也一致这里的也可以推广到负指数，但当不是整数，而是分数、无理数或虚数时称为一般幂函数，是多值的情况，在多值函数部分介绍指数函数 （），为任意复数是一个记号，不同于 ，但当（）时，此时就是实变函数；（）时，是欧拉公式，因此指数函数看做是欧拉公式的推广，讲解这个定义形式时，要紧密联系复数的指数形式在复数域上指数函数的定义相比实数域上复杂得多，因此派生出丰富多样的性质，尤其特别注意和实指数函数的几点不同，如周期性：是以 为周期的周期函数 指数函数在课程中出现的频率是最高的，特别在根式函数部分还要利用复合指数函数三角 函 数 部 分 重 点 讲 解 正 余 弦 ，它们的导数公式、三角恒等式、奇偶性、周期性、零点都与实数域内结论一致，但这些不是巧合，老师在讲解唯一性定理之后应给予说明特别地，正余弦不再是有界函数，日后用刘维尔定理说明从这些函数的定义和性质看出，虽然数域扩大了，定义推广了，但是函数并没有和原有实数域内相悖，且性质又推广了，可以理解为在更广阔的数域回过头来看待实数域上函数初等多值解析函数教学分析多值函数部分重点是函数的定义及单值分支问题，主要用两种方法把初等多值函数化为单值分支，即限制辐角法和连续变化法 基本初等多值函数 限制辐角法基本初等多值函数主要介绍根式函数槡和对数函数 根 式 函 数槡槡 槡 ，（或 ）槡是定义在 上的值函数，多值性是由辐角 的多值性引起的 如果限制主辐角，令 （或 ），对于一个固定的（，），所对应的函数槡（）槡 是 上的单值函数，并称其为槡的一个单值分支 年牡丹江师范学院学报（自然科学版）第期用限制主辐角的范围和固定值两部分解这个值函数，简称限制辐角法它适合解析式比较简单的多值函数每一个分支都是单值函数，就可以利用解析函数的相关判定定理研究这些单值分支的解析性得出结论：单值分支槡（）槡 ，（，）在区域：内解析，且 槡（）一般初等多值函数 连续变化法一般初等多值函数部分主要讲解一般根式函数（）槡（）槡 烄烆烌烎和一般对数函数 （）（）（），其中，（）（）（）（）（）式中，（），（）是 互不相等的复常数，（），（）为正整数教材 中仍利用限制辐角法研究其单值分支，教材 中虽然利用了连续变化法，但解释得不够详尽，学生不易理解为此要把难点分解，教材 首先讲基本理论，介绍连续变化法的概念和思想，其次以辐角函数为例讲解连续变化法的具体步骤，最后由浅显的辐角函数过渡到复杂的根式和对数函数在文献 中第二章第节的“一、基本理论”中，首先介绍了多值函数沿曲线连续变化的改变量（）的定义、性质，再根据多值函数在区域内的改变量定义可单值分支区域、支点、正常点，讨论支割线的做法从而确定可单值分支区域 这组定义密切相关，环环相扣，是用连续变化法研究多值函数的理论基础，但是非常抽象，不易理解，是这部分的一个教学难点 在文献 中第二章第节“二、辐角函数”中，把这些概念具体应用到辐角函数 （）中，才能使学生深入理解这些定义结语在复数域中推广得到的初等解析函数既自成体系，同时又与实数域内的可微函数有着密切的联系和明显的区别，这些函数在工程科技等相关领域应用广泛，尤其多值函数在力学等相关学科使用频繁，因此，这部分内容对后继专业课程意义重大，教师应该深入研究其教学参考文献 冯志新，沈永祥复变函数论 北京：北京大学出版社，钟玉泉复变函数论 北京：高等教育出版社，余家荣 复变函数 北京：高等教育出版社，路见可复变函数 武汉：武汉大学出版社，郑建华复变函数北京：清华大学出版社，年冯志新：初等解析函数教学探析第期