(3.5.1)--2.5逆矩阵.pdf
第2章-矩阵及其运算SecondChapterV逆矩阵1.逆矩阵的概念和性质概念的引入:111aaa a,在数的运算中，当数时，0a 有11aa 其中为的倒数，a（或称的逆）.a在矩阵的乘法运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1.那么，是否存在矩阵B使得AB=E？定义:对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，nABn使得例设111 21 2111 21 2AB,ABBAE,因此，是的一个逆矩阵.AB因为的逆矩阵记作.A1A则称矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.BAAABBAE 分析:设和是的逆矩阵，BCA则有ABBAEACCAE,可得BEBCA BC AB.CEC所以的逆矩阵是唯一的,即A1.BCA结论:若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.AA定理:若矩阵可逆，则.A0A 11AAA 证矩阵可逆，即有，使得从而有1A A1AAE ,11=A AE,故0.A *A其中为矩阵的伴随矩阵.A定理:如果，则矩阵可逆，且有0A A证 根据，以及，可得AAA AA E0A 11AAA AEAA 由逆矩阵的定义，可知 A 可逆且有11.AAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义由此可得是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵.AA推论若(或),则.ABEBAE1BAA|0A 当时，称为奇异矩阵，A|0A 当时，称为非奇异矩阵.证 由，可得，故 A 可逆1A BE|0A 且有1111.BEBA A BAABA EAB(1)如果 A 可逆，则也可逆，且有1A11.AA111.AA(2)如果 A 可逆，数，则可逆且有0A 1AB1 1 A(3)如果 A,B 为同阶方阵且均可逆，则 AB 可逆且有 1122.AA1AmA1 mA1 1A对于多个矩阵，有2.逆矩阵的运算111.AAA(5)如果可逆，则有A(4)如果 A 可逆，则也可逆，且有TA11.TTAA 01,.kkAEAA另外，当且 k 为正整数时，定义0A klklA AA,.lkklAA 当且 k,l 为整数时,有0A 3.逆矩阵的计算方法(1)伴随矩阵法解123212133A,231135.153B?.A B下列矩阵是否可逆若可逆 求出其逆矩阵 ,例123212133A 40,.A故可逆111 233 3A ,122 241 3A ,1321513A ,2131223223333 10 41 3.AAAAAA ,同理可得(2)初等变换法（将在下一章介绍）故不可逆.231135153B 0,B由于11213111222321323331AAAAAAAAAAAAA 3311404.4513故谢谢，再见！
