复变函数复变函数复变函数 (59).pdf

基金项目教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目（ZG0464）；四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目（O1247）收稿日期2017-04-01作者简介王凡彬，教授，主要从事偏微分方程及其应用研究.众所周知，复变函数f(z)的孤立奇点分为3类：可去奇点，极点，本质奇点。一般来说，可去奇点较易求得。如果z0是f(z)的孤立奇点，而limzz0f(z)=a，a，为复常数，则z0就是f(z)的可去奇点。但是极点、本质奇点的求得就较为困难。现行的教材1也给出了一些方法，但在具体的求解过程中，往往比较麻烦。已有学者对求复函数的极点及其阶数的新方法进行了探讨，得到了相关的一些结果2-6；而对求复函数的本质奇点新方法的探讨，并不多见，甚至可以说是一个空白。笔者通过研究复函数极点、本质奇点的相关性质，得出了求f(z)的极点及其阶数，求其本质奇点的新方法。这些新方法较之现有的结果，更加方便、快捷。1求极点及其阶数的新方法定理1设f(z)=(z)(z)，并且z=z0(z0)是(z)的m阶极点，而(z)在z=z0解析，则z=z0也是f(z)的m阶极点。证明：因为z=z0是(z)的m阶极点，则(z)=h(z)(z-z0)m，（1）其中h(z)在z=z0解析，且h(z0)0。则f(z)=h(z)(z-z0)m(z)=h(z)(z-z0)m(z)(z-z0)m。（2）令k(z)=h(z)(z-z0)m(z)，显然k(z)在z=z0解析，且k(z0)=h(z0)(z0-z0)m(z0)=h(z0)0，（3）从而z=z0是f(z)的m阶极点。定理 2设f(z)=(z)(z)，g(z)=(z)(z)，并且z=z0(z0)是(z)的m阶极点，而(z)在z=z0解析，且(z0)0，则z=z0也是f(z)，g(z)的m阶极点。证明：因为z=z0是(z)的m阶极点，则(z)=h(z)(z-z0)m，其中h(z)在z=z0解析，且h(z0)0。则f(z)=h(z)(z)(z-z0)m。（4）显然，h(z)(z)在z=z0解析，又由(z0)0，知h(z0)(z0)0，从而z=z0也是f(z)的m阶极点。设(z)=1(z)，则g(z)=(z)(z)=(z)(z)。由已知条件知(z)在z=z0解析，且(z0)=1(z0)0，由前求复函数极点、本质奇点的新方法摘要结合解析函数的特性，对复函数中孤立奇点的极点、本质奇点，探讨了其相关性质。得到了求复函数极点及其阶数、求复函数本质奇点的新方法，并对新方法进行了应用。实践表明，新方法方便、快捷，比之原来的方法，节省了很多工作量，值得推广。关键词 复函数；极点；本质奇点；新方法中图分类号O172.52文献标志码A文章编号2096-2266（2017）12-0001-041大理大学学报总第24期自然科学面所证结果知z=z0也是g(z)的m阶极点。对z0=，也有相应的结果。定理3设f(z)=(z)(z)，并且z0=是(z)的m阶极点，而(z)在z0=解析，即limz(z)=()()存在，则z0=也是f(z)的m阶极点。证明：因为z0=是(z)的m阶极点，则(z)=zmh(z)，（5）其中h(z)在z0=解析，limzh(z)=h()=a，a为有限数，a0，那么f(z)=zmh(z)(z)=zm(h(z)(z)zm)。（6）注意limz(h(z)(z)zm)=limzh(z)limz(z)zm=h()=a0，（7）故z0=是f(z)的m阶极点。定理4设f(z)=(z)(z)，g(z)=(z)(z)，并且z0=是(z)的 m 阶 极 点，而(z)在z0=解 析，即limz(z)=()=a存在，且a0，则z0=也是f(z)，g(z)的m阶极点。证明：因为z0=是(z)的m阶极点，则(z)=zmh(z)，其中h(z)在z0=解析，limzh(z)=h()=b，b为有限数，b0，则f(z)=zmh(z)(z)。（8）根 据 条 件，可 知h(z)(z)在z0=解 析，而limzh(z)(z)=h()()=ab0，说明z0=也是f(z)的m阶极点。设(z)=1(z)，则g(z)=(z)(z)=(z)(z)。由已知条件知(z)在z0=解析，且()=1()=1a0，由前面所得结果知z0=也是g(z)的m阶极点。定理1，定理2，定理3，定理4的优点在于，在满足一定的条件下，我们可以只求出(z)的极点及其阶数，就可以求出f(z)的极点及其阶数，简化了工作过程，提高了效率。2求本质奇点的新方法定理 5设f(z)=(z)(z)，并且z=z0(z0)是(z)的本质奇点，而(z)在z=z0解析，则z=z0也是f(z)的本质奇点。证明：因为z=z0是(z)的本质奇点，所以limzz0(z)不存在。但(z)在z=z0解析，所以limzz0(z)存在。故limzz0f(z)=limzz0(z)(z)不存在，这说明z=z0也是f(z)的本质奇点。定理6设f(z)=(z)(z)，g(z)=(z)(z)，并且z=z0(z0)是(z)的本质奇点，而(z)在z=z0解析，且(z0)0，则z=z0也是f(z)，g(z)的本质奇点。证明：因为z=z0是(z)的本质奇点，所以limzz0(z)不存在。而(z)在z=z0解析，所以limzz0(z)=(z0)0。故limzz0f(z)=limzz0(z)(z)不存在，所以z=z0也是f(z)的本质奇点。设(z)=1(z)，则g(z)=(z)(z)=(z)(z)。由已知条件知(z)在z=z0解析，且(z0)=1(z0)0，由前面所证结果即知z=z0也是g(z)的本质奇点。对z0=，我们也有如下相应的结果。定理7设f(z)=(z)(z)，并且z0=是(z)的本质奇点，而(z)在z0=解析，()，则z0=也是f(z)的本质奇点。证明：因为z0=是(z)的本质奇点，所以limz(z)不存在。而(z)在z0=解析，所以limz(z)=()存在。故limzf(z)=limz(z)(z)不存在，所以z0=也是f(z)的本质奇点。定理8设f(z)=(z)(z)，g(z)=(z)(z)，z0=是(z)的本质奇点，而(z)在z0=解析，且()=2总第24期第2卷王凡彬求复函数极点、本质奇点的新方法a0，a为有限数，则z0=也是f(z)，g(z)的本质奇点。证明：因为z0=是(z)的本质奇点，则limz(z)不存在。而(z)在z0=解析，()=a0，则limzf(z)=limz(z)(z)也不存在，即z0=也是f(z)的本质奇点。设(z)=1(z)，则g(z)=(z)(z)=(z)(z)。由已知条件知(z)在z0=解析，且()=1()=1a0，由前面所证结果知z0=也是g(z)的本质奇点。定理5，定理6，定理7，定理8的优点在于，在满足一定的条件下，我们可以只求出(z)的本质奇点，就可以求出f(z)的本质奇点。抛掉了(z)，“轻装前进”，提高了工作效率。3新方法的应用对于上述8个定理的优越性，我们通过例题可以看得更清楚。例判断下列函数的奇点及其类别（包括无穷远点）。（1）f(z)=1ez-1-1z；（2）f(z)=ez-1z；（3）sinz+cos1z。解：（1）f(z)=z-ez+1(ez-1)z，而limz0z-ez+1(ez-1)z=-12，故z=0为f(z)可去奇点。对zk=2ki,k=1,2,取(z)=1z，(z)在zk显然是解析的。取(z)=1ez-1，而ez-1=ez-zk+zk-1=ezkez-zk-1=ez-zk-1=(1+(z-zk)+(z-zk)22！+(z-zk)nn！+)-1=(z-zk)(1+(z-zk)2！+(z-zk)23！+)=(z-zk)k(z),|z-zk，（9）其中k(z)=1+(z-zk)2！+(z-zk)23！+，显然k(z)在zk解析，且k(zk)=10。故zk为ez-1的一阶零点，从而为(z)=1ez-1的一阶极点。根据定理 1，zk=2ki，k=1，2，就是f(z)=1ez-1-1z的一阶极点。而zk(k)，故为非孤立奇点。（2）f(z)=ez-1z=eze-1z。对z=0，取(z)=ez。(z)在z=0解析，且(0)=10。取(z)=e-1z，(z)=1+12！(-1z)2+13！(-1z)3+=1+12！z2-13！z3+,0|z +,（10）说明z=0为(z)=e-1z的本质奇点。根据定理6，z=0也是f(z)=ez-1z的本质奇点。对z=，取(z)=e-1z。(z)在z=解析，且()=1。取(z)=ez，(z)=1+z+z22！+,|z+。（11）说明z=是(z)的本质奇点。按定理8，z=是f(z)=ez-1z的本质奇点。（3）对z=0，sinz在z=0解析。而cos1z=1-12！(1z)2+14！(1z)4-=1-12！z2+14！z4-,0|z。（12）z=0为cos1z的本质奇点。根据定理5，z=0也是f(z)的本质奇点。对z=，cos1z在z=解析，limzcos1z=1。而sinz=1-z33！+z55！-,|z+。（13）故z=为sinz的本质奇点。根据定理7，z=是f(z)的本质奇点。3大理大学学报总第24期自然科学上述例题如果不用新方法处理，而按教材的方法做的话，相当繁杂。因此可见，新方法是值得推广的。参考文献1钟玉泉.复变函数论 M .4版.北京：高等教育出版社，2015.2刘国忠.关于极点级数的判定及其留数计算的两个问题 J.北京师范学院学报（自然科学版），1990，11（4）：80-84.3王文琦.确定复杂复变函数极点阶数的一种方法 J.山西大同大学学报（自然科学版），2012，28（1）：19-20.4申卯兴.一类复变函数极点的判定 J.工科数学，1992，2（8）：97-98.5杨艳红.复变函数零点与孤立奇点探析 J.甘肃联合大学学报（自然科学版），2012，26（4）：23-25.6赵伟舟，景慧丽，张辉.复函数的极点判定问题研究 J.赤峰学院学报（自然科学版），2016，32（4）：3-4.A New Solution for Poles and Essential Singularity of Complex FunctionsWang Fanbin1,2（1.College of Mathematics and Information Science，Neijiang Normal University，Neijiang,Sichuan 641110,China;2.Data RecoveryKey Laboratory of Sichuan Province，Neijiang,Sichuan 641110,China）AbstractConsidering the features of analytic functions,the properties of poles and essential singularity in solitary singularities ofthe complex functions are discussed.A new method for finding the poles,orders,and the essential singularity of complex functions isobtained and put into application.Practice shows that the new solution is more convenient and efficient than the original method,whichsaves a lot of work and is worthy of promotion.Key wordscomplex function;pole;essential singularity;new method4