(7.6.4)--6.8Jameson中心有限体积法(4)-讲义.pdf
计算流体力学基础讲义 1 第六章 简单的计算流体力学技术入门知识 本次课我们学习 6.8 节的第四部分，包括 6.8.6 小节 时间推进格式和 6.8.7 小节加速收敛技术。我们主要介绍三种加速收敛措施，当地时间步长、焓阻尼和残值光顺。图 6.8.1 有限体积方法的路线图 6.8.6 时间推进 积分形式的 Euler 方程通过半离散方法，即空间离散并加入人工粘性项后，可以写为常微分方程（6.8.48）式：(),0Ui ji jdPdt+=（6.8.48）其中,1()i ji ji ji jPQDV=（6.8.49）我们称,i jP为残值。将（6.8.48）式的残值项移到方程右端，得到（6.8.50）式：(),-U=i ji jdPdt （6.8.50）方程(6.8.50)是一个关于时间的常微分方程，可以采用多种时间积分方法。标准的四步 Runge-Kutta 法可写为（6.8.51）式：计算流体力学基础讲义 2 由这个式子我们可以看出，从 n 时间步推进到 n+1 时间步被分为 4 步。第一步，已知初值(0),Ui j，可以计算出残值0,i jP（），推进2t，得(1),Ui j，第二步，由(1),Ui j计算出残值,i jP（1），推进2t，得(2),Ui j，第三步，由(2),Ui j计算出残值,i jP（2），推进t，得(3),Ui j，第四步，由(3),Ui j计算出残值,i jP（3）后，对 4 个残值进行加权平均，推进t 得到(4),Ui j，即(1),Uni j+。标准 Runge-Kutta 格式中，需要多次计算(),mi jP即,mi jQ（）和,mi jD（），效率较低，而且中间结果(),mi jP需要保存，占用内存空间，因此 Jameson 等人又采用了简化的多步 Runge-Kutta 法，如（6.8.52）式所示：这样做的好处是，中间结果(),mi jP不需要保存，节省了内存，提高了效率。对于四步龙格-库塔时间推进格式（r=4），系数1到4分别为：12341111432,=对于五步龙格-库塔时间推进格式（r=5），系数1到5分别为：(6.8.51）（6.8.52）()(0)(1),UUrri ji jri ji jt P=1(),UUnri ji j+=.(0),UUni ji j=(1)(0)(0),1,UUi ji ji ji jt P=计算流体力学基础讲义 3 123451131,14682=根据稳定性分析，推进步长由（6.8.53）式确定，为当地时间步长：,/i ji jtCFL VB （6.8.53）其中 B 如（6.8.54）式表示：11112222i,ji,ji,ji,ji,ji,ji,jBqSqSaSS+=+（6.8.54）新出现的符号i,ja为当地声速。对于显式多步龙格-库塔推进格式，若求解非定常问题，必须采用全流场一致的时间步长，即最小的时间步长，如（6.8.55）式所示：(),mini jtt=（6.8.55）6.8.7 常用的加速收敛技术 下面，我们介绍一些常用的定常问题求解的加速收敛措施。1.当地时间步长法当地时间步长法 采用当地时间步长，即对不同有限体积单元根据（6.8.53）式采用不同的时间推进步长，这相当于求解 modified Euler 方程（6.8.56）式：()0UFGtxy+=（6.8.56）这样可以加速收敛，为一标量因子。和原始 Euler 方程相比，我们可以看出，当地时间步长只能在定常问题求解时使用。2.焓阻尼（只能在对焓阻尼（只能在对 Euler 方程求解时应用）方程求解时应用）对于绝热、无粘、忽略体积力的定常流动，总焓保持不变。由于焓阻尼利用的原理（6.8.57）式源于无粘假设：22.2uvHHhconst+=+=（6.8.57）因此，焓阻尼措施只能用于 Euler 方程求解。可将原 Euler 方程修改为（6.8.58）式：计算流体力学基础讲义 4 由（6.8.58）式可以看出，当达到定常状态时，H-H等于零，因此，修改后的方程达到定常解时等价于原 Euler 方程定常解。在实际计算中，不用修改原 Euler 方程，在每一个完整时间推进步后引入焓阻尼，除能量方程外，焓阻尼公式为（6.8.59）式：()()()1,11UUrni ji jri jHH+=+（6.8.59）能量方程的焓阻尼用（6.8.60）式实现：()()()()()1,11nrri ji ji jEEp+=+（6.8.60）为阻尼因子，是根据数值试验确定的一小量。下图是本节参考文献 2 中，针对 NACA0012 翼型典型跨声速绕流的 Euler 方程求解问题，有无焓阻尼时的收敛曲线和超声速点数收敛曲线对比，有焓阻尼情况阻尼系数为 0.01。可以看出，焓阻尼有很明显的加速收敛效果。图 6.8.6 有无焓阻尼的收敛历程对比（NACA0012 翼型，Mach=0.8，=1.25 度，O 网格 16032）2lnt（6.8.58）0(0(0(0(22=+=+=+=+)H-H)vH(y)uH(xt)E()H-Hv)pv(y)uv(xt)v()H-Hu)v(y)pu(xt)u()H-H)u(y)u(xt计算流体力学基础讲义 5 3.残值光顺残值光顺 第三个加速收敛措施是残值光顺。将当地残值与相邻点残值做加权平均，被称为残值光顺。其原理是，残值光顺相当于增大时间推进的 CFL 数，因此可以加速收敛。以一维模型方程为例，显式残值光顺为，j 点的残值用其本身和相邻两点残值的加权平均值重新计算，如（6.8.61）所示：211(1 2)(1)jjjjjxPPPPP+=+=+（6.8.61）1jP和1jP+的权重系数，也叫光顺系数，取大于零小于 0.25 的常数（00.25）。为消除对残值光顺系数 的限制，实际中常采用隐式残值光顺，即将光顺残值作为关于所有光顺残值的联立方程的未知数，如（6.8.62）式所示：111 2jjjjP()PPP+=（6.8.62）或：21jxj()PP=（6.8.63）当前计算得到的未光顺残值jP在方程的右端，通过解三对角线性方程组，一次求出所有光顺残值，采用隐式残值光顺，只需大于零就可以（0）。对于二维问题，隐式残值光顺如（6.8.64）式所示，通过解两个三对角线性方程组得到。()()22,11i jxxyyi jPP =（6.8.64）xy，为光顺系数，常取 0.8 左右。为减少计算量，在五步 Runge-Kutta 时间推进中，一般只在第一、三、五步进行隐式残值光顺，完整的简化混合五步 Runge-Kutta 法加隐式残值光顺可写为（6.8.65）式。（6.8.65）()()()()()10,022,1114UUi jxxyyi ji ji ji ji jtPV =()()()20,1,16UUi ji ji ji ji ji jtPV=()()()()()30,222,3118UUi jxxyyi ji ji ji ji jtPV =()()()40,3,12UUi ji ji ji ji ji jtPV=()()()()()50,422,11UUi jxxyyi ji ji ji ji jtPV =()51,UUni ji j+=计算流体力学基础讲义 6 人工耗散项只在五步 Runge-Kutta 时间推进的第一和第二步计算：()0(0)(0),1()i ji ji ji jPQDV=(6.8.66）()()(1),1()kki ji ji ji jPQDV=1,2,3,4k=（）(6.8.67）下图是本节参考文献 2 中，针对 NACA0012 翼型典型跨声速绕流的 Euler 方程求解问题，各种加速收敛措施的收敛曲线对比，由曲线 5 可以看出，隐式残值光顺可以进一步加速收敛。图 6.8.7 各种加速收敛技术的效果 NACA0012 翼型（Mach=0.8，=1.25 度）4.收敛判断收敛判断标准标准 下面我们介绍一下常用的收敛判断标准。第一种是根据（6.8.68）式表示的连续方程的平均残值Res 小于某一小量（RHS 代表连续方程的残值）：2totalRHSResN=（6.8.68）第二种是根据平均残值的下降量阶判断收敛：0mmResRes=（6.8.68）一般的经验是，二维问题下降 5 个量阶就认为计算收敛了，三维问题下降 4 个量阶就认为计算收敛了。CFL=4.0case(1):without acceleration techniquescase(2):local time steppingcase(3):case(2)plus enthalpy dampingcase(4):case(3)plus successive grid refinementcase(5):case(4)plus implicit residual averaging计算流体力学基础讲义 7 讨论：有限差分法和有限体积法的异同 在介绍完有限体积法的基本思想后，我们讨论一下有限差分法和有限体积法的异同。在矩形网格上，两者可以做到完全等价。在适度处理几何变换关系（Metrics）的条件下，在一般曲线坐标系下（结构化网格）的有限体积法可以和曲线坐标系下的有限差分方法相当。两者的不同是：(1)有限体积中控制体几何量和物理量的计算是相互独立的，有限差分法对几何量（几何变换关系Metrics）和物理量的组合进行差分运算；(2)用有限差分计算得到的是网格点上的物理量，有限体积法得到的物理量是网格单元的平均值。有限体积法的特点：有限体积法的特点：（1）网格尺度有限时，更容易保证满足三大定律的守恒性；（2）复杂区域更容易实施应用(可以采用非结构化网格）；（3）对于多维问题，高精度（高于二阶）有限体积法的构造和实施困难。有限有限差分差分法的特点法的特点：(1)只需构造偏导数的离散方法，更容易推广到高阶精度，特别是对于多维问题；(2)对于网格拓扑奇点，有限差分法更容易取得更高的精度；(3)在曲线坐标下，有限差分要对几何量和物理量的确定组合进行差分离散，可能产生所谓的“几何诱导误差”（geometry induced error）。总之，有限体积法和有限差分法作为 CFD 的两大主流方法，各有优缺点。本次课就到这里，谢谢大家。
