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    全国高中数学联赛江西省预赛试题解答.doc

    • 资源ID:67741822       资源大小:802.50KB        全文页数:6页
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    全国高中数学联赛江西省预赛试题解答.doc

    2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题(每题分)、若的每个质因子都是某个正整数等差数列中的项,则的最大值是 答案:解:,若皆是某正整数等差数列中的项,则公差应是与的公因数,为使取得最大,则其首项和公差都应取尽可能大的数,于是,所以的最大值是、若,则的最小值为 答案:解:据柯西不等式,、若,则 答案:解:因,则所以,故、如果一个正方体与一个正四面体的表面面积(各面面积之和)相等,则其体积之比 答案:解:记表面面积为(平方单位),则正方体每个面的面积为,其边长为,所以;正四面体每个面的面积为,设其边长为,则由,得;于是,因此、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距离之和的最小值是 答案:解:设椭圆方程为,椭圆中心到长、短轴端点距离为,到焦点距离满足:,到准线距离满足:,由于组成勾股数,满足的勾股数组有以及,其中只有与,而使得的值为最小,这时有、函数的值域是 答案:解:的定义域为,故可设,则,而,这时,因此、设合数满足:,而的数字和为质数,就称合数为“山寨质数”,则这种“山寨质数”的个数是 答案:个解:用表示的数字和;而表示山寨为质数的合数的集合当时,不大于的质数共有个,它们是:,山寨为的合数有,而;,;共得个山寨质数、将集合中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对于其余的每个数,在的左边某个位置上总有一个数与之差的绝对值为,那么,满足条件的排列个数为 答案:(即个)解:设对于适合条件的某一排列,排在左边的第一个元素为,则在其余个数中,大于的个数,必定按递增的顺序排列;而小于的个数,必定按递降的顺序排列(位置不一定相邻)事实上,对于任一个大于的数,设,如果排在的左边,则与相差的另一数就必须排在的左边;同样,与相差的另一数又必须排在的左边;,那么,该排列的第二个数不可能与相差,矛盾!因此必定排在的右边用类似的说法可得,小于的个数,必定按递降的顺序排列;由于当排在左边的第一个元素确定后,右边还有个空位,从中任选个位置填写大于的数,(其余个位置则填写小于的数),选法种数为;而当位置选定后,则填数方法随之唯一确定,因此所有排法种数为二、解答题、(20分)设直线与抛物线交于点,若,求抛物线方程以及的面积解:设交点,由与,得,故有,以及因,即,所以,即,化简得,因此抛物线方程为,从而交点坐标为:,因此、(20分)如图,四边形中,分别是的中点,是对角线上的一点;直线分别交的延长线于证明:线段被直线所平分证:设交于,直线截,则;为证是线段的中点,只要证, ,直线截,得,即 ,直线截,则有,即 ,相加得,即,也即,因此结论得证、(20分)在非钝角三角形中,证明:证一:这里用到,在非钝角三角形中,任两个内角之和不小于,所以由,得,因此,同理而,不能同时为从而结论得证证二:;(这是由于,锐角三角形中,任两个内角之和大于,而任一个半角小于;)所以 证三:令,则,且;即要证 ,因为 ,故式即,也即,即 而因 ,故,所以,即 此式即为 由立知式成立(式强于式),因此命题得证、(26分)试确定,是否存在这样的正整数数列,满足:,且对每个,皆有或;而其各项的值恰好构成的一个排列?证明你的结论解:存在由于,而,(即有);我们注意到,“差”运算具有“平移性”,即是说,如果或,那么,对任何整数,也有或;为此,先将集合中的数排成一个圈,使得圈上任何相邻两数之差皆为或,如图所示将此圈从任一间隙处剪开,铺成的线状排列,都满足或,为将数列锁定,在前面添加一项,使数列也满足条件,我们可选择与数相邻的一个间隙剪开;例如从右侧间隙剪开,并按顺时针排列,就成为:;,;若从左侧间隙剪开,并按逆时针排列,则成为:;这两种排列都满足或;记分段数列,而分段数列,将这些段作如下连接:,所得到的数列满足条件因为,;对其中任意两个邻项,若属于同一个分段,显然有或;若相邻项属于两个相邻段与,则是的首项:即,而是的末项,即,这时有,并且,因此,数列满足条件

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