七年级数学专题二：绝对值-相反数-倒数华东师大版知识精讲.doc

初一数学专题二：绝对值 相反数 倒数华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题二：绝对值 相反数 倒数二、知识要点1. 知识点概要了解有理数的绝对值、相反数、倒数的意义；会求一个有理数的相反数、绝对值、倒数；能借助数轴理解一个数的绝对值、相反数、倒数及完成相关计算2. 重点难点有理数（特别是负数）绝对值、相反数的意义；数形结合的思想方法三、考点分析（一）借助于数轴学习有理数的概念数轴不但是研究数形结合的典型的思想方法，而且是学习有理数的重要工具借助于数轴可以加深对有理数的有关概念的理解和运用1. 借助于数轴理解正负数数轴的建立，可以将所有的有理数在数轴上表示出来即零可以用原点表示，正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示出来如，0.1，1，2，100等等只能在数轴的左边表示出来，0在数轴的原点表示出来，0. 1，1，2，100等等只能在数轴的右边表示出来2. 借助于数轴理解绝对值数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值绝对值的几何意义可以由数轴直接知道：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离a的绝对值记作|a|由数轴我们同样可以知道绝对值的代数意义：一个正数的绝对值就是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零用数学式子表示为绝对值的主要性质：若为有理数，则| 0；绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等； 若|=¸则 0；若|+|b|=0¸则=b=0；绝对值没有最大的数，但有绝对值最小的数：03. 借助于数轴理解相反数我们知道，只有符号不同的两个数，我们称它们互为相反数如2与2互为相反数，即2是2的相反数，2是2的相反数零的相反数是零由此可知，互为相反数的两个数表示在数轴上分别在原点的两旁，并且这两个数到原点的距离相等事实上，我们可以借助于数轴来这样理解相反数的概念，在数轴上，位于原点两旁，且到原点的距离相等的两个点表示的两个数即为互为相反数如3与2就不是互为相反数要注意概念中的“只有”这个字眼，就是说在两个数中，只是符号不同，一个是正号，另一个是负号，其余什么都相同另外，由数轴上原点两旁，且到原点的距离相等的两个数总是成对出现的，单独一个数或三个数等都不能说成是互为相反数符号不同的两个数也不能说成是互为相反数，相反数的表示方法：一般地，数的相反数是，这里表示任意的一个数，可以是正数、0、负数，还可以代表任意一个代数式一般地，在一个数前面添加一个“”号，就成为原数的相反数相反数的重要性质：如果a、b互为相反数，则a+b0，反之，若a+b0，则a、b互为相反数；如果a、b互为相反数，则a、b在数轴上对应的点到原点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等4. 借助于数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大由此，利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的方法，简单、直观，同学们也一定易于掌握（二）倒数倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数即当ab=1时，则a、b互为倒数；反之，当a、b互为倒数时，则ab=1倒数与相反数的区别：互为倒数的两个数的积为1，而互为相反数的两个数的和为0；0的相反数是0，而0没有倒数；互为倒数的两个数同号，而互为相反数的两个数（0除外）异号倒数的求解方法：求一个整数的倒数时，直接写成这个数分之一即可如 3的倒数是 ；求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换一下即可如 的倒数是 ；若求小数的倒数时，先将小数化成分数再求如求0.5的倒数，由0.5 = ，的倒数是2，则0.5的倒数是2。特别注意：0没有倒数【典型例题】例1. （2008. 资阳市）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（ ）A. D点 B. A点C. A点和D点D. B点和C点分析：根据数轴可知：到原点的距离为3个单位的点所表示的数是3、3，表示3的点是D点，表示3的点是A点解：C. 例2. （2008. 太原市）下列四个数的绝对值比2大的是（ ）A. B. C. 1D. 2分析：3的绝对值是3，0的绝对值是0，1的绝对值是1，2的绝对值是2，绝对值比2大的是3解：A例3. （2008，江西省）的相反数是（ ）A. 5 B. C. D. 分析：与只有符号不同的数是解：D例4. （2008，遵义市）的倒数是（ ）A. B. C. D. 分析：可写成的形式，再将分子与分母颠倒，可得出的倒数是解：B例5. 在数轴上表示下列各数：2 的相反数，绝对值是的数，1的倒数分析：2 的相反数是2，绝对值是的数是，1的倒数是解：如图所示：例6. （2008，广州市）若实数、互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 分析：互为相反数的两个数和为0，商为1，积为其中一数的平方的相反数，差为被减数的2倍解：B. 例7. （2008，芜湖市）若，则的值为（ ）A. B. C. 0 D. 4分析：由绝对值、平方的意义可知是两个非负数的和，故所以，故的值为. 解：B例8. 已知| x |3，| y |7，且 x0，则 的值等于（）A. 10 B. 4 C. ±10 D. 10或4. 分析：由| x |3，| y |7，可得，由x0，得所以3+74，或3+（7）10解：D. 例9. 若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于3，且ca，c236，求代数式 2 （a2b2）5c 的值分析：正数1的倒数等于其本身，3的绝对值等于3，=36，又ca，所以a1，b3，c6解：2 （a2b2）5c212×（3）25×（6）=2（118）3034304例10. 比较大小：若解析：因为所以可以取， 则有，这样就可以很容易的比较 即说明：类似本题的已知字母取值范围，比较关于此字母的代数式值的大小常采用特殊值和作差法（作差法在下面讲过有理数的运算以后再作详细讲解）例11. 如图是一个正方体盒子的展开图，请把10，8，10，2，8，2分别填入六个小正方形中，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数分析：10与10，8与8，2与2互为相反数，六个小正方形中A与C、B与D、E与F相对解：填法多样，只要将互为相反数的两数填在两个相对的面即可如：A填10，C填10，B填8，D填8，E填2，F填2例12. 在数轴上a、b、c、d对应的点如图所示，化简|ab|+|cb|+|ca | +|db|分析：由数轴可知：，所以解：原式=例13. 已知a、b、c都不等于0，求的值分析：根据a、b、c的符号的所有可能情况进行讨论，再去掉绝对值符号，这是解本题的关键简解：因a、b、c的符号没有明确，因此需对a、b、c的符号进行讨论：（1）若a、b、c均为正数，原式=1+1+1+1=4（2）若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设a0、b0、c0，原式=1+111=0（3）、若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设a0、b0、c0，原式=111+1=0（4）、若a、b、c均为负数，原式=1111=4综上知：=±4或0说明：本题运用了分类讨论的数学思想方法，所谓分类讨论就是根据问题的特点和要求，将同一条件下的所研究的问题分成若干情况，然后再逐一进行研究和求解的思想方法注意分类时需做到不重不漏，否则会出现漏解或错解例14. 若的倒数与互为相反数，则a等于（ ）分析：先求的倒数，再根据互为相反数的两数和为零列出关于a的简易方程，可求出a解：由题意可知：，则，所以例15. 已知a与b互为倒数，c和d互为相反数，且|x|=6，求式子的值分析：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数和为0，绝对值为6的两个数是±6解：=3×10+（±6）2=3+36=39例16. （2008，南平市）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 分析：，由此可以看出，每3个为一周期，2009÷36692，故解：五、本讲数学思想方法的学习1、关于分类的思想方法分类就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”在研究有理数的绝对值、相反数时，都是将有理数分成正数、零、负数等三类来研究的2、数形结合将抽象问题形象化数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想在本章学习中，绝对值、相反数的学习都是借助于数轴，其实就是数形结合思想在我们学习中的应用3、关于解决概念型的问题的解题策略回到定义中去；从简单的情况入手；一有可能就画图【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题（每小题3分，计30分）1. 2的绝对值是（）（A）2. （B）2. （C）. （D）. 2. 的相反数是（） （A）. （B）. （C）. （D）. 3. 下列说法错误的是（）（A）的相反数是. （B）正数的相反数是负数. （C）一个数的相反数必是正数. （D）互为相反数的两个数到原点的距离相等. 4. 若，则a的值为（）（A）. （B）. （C）或. （D）或. *5. 绝对值等于本身的有理数共有（）（A）1个. （B）2个. （C）0个. （D）无数个. 6. 下列各组数中，互为相反数的有（） 3. 2 与 2. 3 （ 4）与 8 （ 8）与 8 与（） （A）1组. （B）2组. （C）3组. （D）4组. 7. 下列式子正确的是（）（A）. （B）0. （C）. （D）. *8. 下列说法正确的个数有（）所有的有理数都能在数轴上找到唯一的一点数轴上每一点都表示有理数是最小的有理数 因为负数小于零，所以（A）1个. （B）2个. （C）3个. （D）个. 9. 以下是关于这个数在数轴上的位置的描述，其中正确的描述是（ ） （A）在左边. （B）在0. 1右边. （C）在原点与之间. （D）在左边. *10. 在数轴上与2之间的有理数有（）（A）5个. （B）4个. （C）3个. （D）无数个. 二、填空题（每小题3分，计30分）11. 最大的负整数是_，最小的正整数是_. 12. 2在原点_边，距原点_个单位长度，数5在数轴上距原点_个单位，5距5_个单位. 13. _的相反数是本身. 14. 是_的相反数. 是_的相反数. 15. 在数轴上表示离开原点的距离是3，那么a=_. 16. 2的相反数的绝对值是_. *17. 绝对值不大于2的整数是_. *18. 如果与互为相反数，那么_. 19. 若，则. *20. 若. 三、解答题（计40分）21. 计算下列各题（8分） （1） （2） （3） （4）22. 把在数轴上表示出来. （3分）23. 某城市早上测得的温度是3，中午测量时发现温度上升了5，晚上测量时比中午下降了6，问晚上的气温比早上气温变化了多少?记作什么?借助数轴加以分析. （3分）24. 化简下列各数：（6分） （1） （2） （3） （4） （5） （6）25. 已知互为相反数，m、n互为倒数，求. （4分）26. 已知的值. （4分）*27. 已知. （5分）*28. 在数轴上有三个点A、B、C，如图所示：（7分） 将B点向左移动4个单位，此时该点表示的数是多少？ 将C点向左移动6个单位得到数x1，再向右移2个单位得到x2，x1，x2分别是多少？用“”把B，x1，x2连接起来 怎样移动A、B、C中的两点，才能使3个点表示的数相同？有几种方法？【试题答案】一、选择题1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B 8. A 9. D 10. D二、填空题 11. 1，1；12. 左，2，5，10；13. 0；14. 8，2；15. ±3；16. 2；17. ±1，±2，0；18. 1；19. 2，3；20. 1或5；三、解答题21. 13 16 105；22. 略. 23. 晚上的气温是2，晚上的气温比早上气温低1，记作1；24. 2 2. 6 3. 5 8 （5）4 （6）6；25. ；26. 5或19；27. 20； 28. 5 ，012；略。三种方法.