向量与三角形四心的关系.doc
三角形中的“四心”的向量表示安徽省合肥168中学 卢业照向量既反映数量关系,又体现位置关系,从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题,即把几何代数化,从而用代数运算解几何问题。作为处理几何问题的一种工具,向量方法兼有几何的直观性,表述的简洁性和方法的一般性。使用向量的第一步,是要在图中指定基向量(基底),这组基底一般是线性无关的。一旦确定了基向量,在整个问题的解决过程中,以此为依据而进行计算。在确定点的位置时,经常用向量的线性关系(这是向量的重要性质,贯穿在整个向量法中)来解决;在处理垂直关系,长度关系及交角等问题时,一般用向量的数量积来解决。一、线共点问题。解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。=例1、用向量法求证:ABC的三条高共点.分析:得BC与AC边上的高AD与BE交于H,连接CH,只要证明CHAB即可。因此,关键是选好基向量.设,则由,得,同理,得证。类似方法,还可以证明:(1)三角形的三条内角平分线交于一点。(2)三角形的三条中线交与一点。二、三角形的四心重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O是ABC所在平面内一点,若,则点O是ABC的重心。分析:利用及加法的平行四边形法则可证。拓展:若,(0,+),则点P的的轨迹一定是ABC的_心。(重心)例3、已知O是ABC所在平面内一点,若·=·=·,则点O是ABC的垂心。分析:·=·得·=0,OBAC同理,可证。拓展1:已知O是ABC平面上一定点,若=+,(0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的_心。分析:=,由于·=0,动点P一定过ABC的垂心。拓展2:点O是ABC所在平面内一点,满足,则点O是ABC的_心。分析:得·2=0,即·=0,同理可证:,故O为垂心。【例4】已知O是ABC所在平面上一点,若a、b、c是角A、B、C的所对边的边长,且,则O是ABC的_心。分析:联系重心向量式的证明方式,取、为基向量,则=,=,故=+,=+,将其代入中得到(a+b+c)+b+c=,即=又,故由和分别是与,同向的单位向量和,则(+),故AO平分BAC,同量,BO平分ABC,CO平分ACB,故O是ABC的内心。点评:从向量角度给出ABC中,BAC的角平分线的表达式,即:OA平分BAC=拓展:点O是ABC平面上一定点,动点P满足=+,0,+,则P的轨迹一定通过ABC的_心。分析:由=知,其中AO平分BAC,故P点的轨迹一定通过ABC的内心。【例5】已知点O是ABC所在平面上一点,若,则点O是ABC的_心。分析:由已知知是外心.三、三角形“四心”的统一表达式定理:如图,点M是ABC所在平面内任一点,总有.特别地,当点M是重心G时,有当点M是垂心H时,有当点M是外心O时,有当点M是内心I时,有. 下面证明这个定理:设则有平面向量的平行四边形法则知,作,同理,.同理,.易证:当点M是重心G时,.当点M是垂心H时, 当点M是外心O时,当点M是内心I时,故定理得证.四、三角形“四心”的综合问题例6、已知点O是ABC所在平面内一定点,且+=,当点P在何位置时,的值最小。分析:=·=,故当点P是ABC的重心O时,所求值最小。例7.已知O为ABC的外心,H为垂心,求证:分析:如图,作直径BD,连DA、DC,有拓展:1.求证:ABC的外心O,垂心H,重心G三点共线,且OG:GH=1:2.分析:有上题知拓展2. .已知ABC不是直角三角形,点O为ABC的外心,H为ABC的垂心. ABC满足什么条件,有AH=OA.分析:由于AH=OA,则AH=OA=R,当A是锐角时,<>=2A,当A为钝角时,上面每一步可以逆推,以上从三角形“四心”方面体现了向量与几何的密切联系,即向量概念引入后,全等、平行(平移)、相似和垂直等几何关系就可转化为向量的加(减)法,数乘向量,数量积的运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。理解平面向量及其运算的定义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,从而发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。