江苏高三数学导数复习资料.doc
导数复习资料一、切线问题例1（1）曲线在点处的切线方程是_.（2）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程是_.（3）过点且与抛物线相切的一条切线是_.（4）在函数的图象上，切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数_个.（5）过点且与抛物线在点处的切线平行的直线方程是 （6）若曲线在点处的切线的倾斜角为，则切点的横坐标为 （7）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .7【答案】解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或.解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得例2（1）已知直线、分别是抛物线在点、处的切线，且，求直线的方程（2）已知函数在点处的切线为，求函数的解析式（3）求曲线与在交点处的切线的两切线方程说明：1。考查导数的几何意义利用导数求曲线的切线斜率，切点坐标，曲线方程中的待定系数2已知曲线上一点的坐标，求曲线在这点处的切线方程的一般步骤：（1）根据导数的几何意义，求出曲线在一点处的切线斜率；（2）利用直线的点斜式方程，写出切线方程3已知曲线在一点处切线的斜率，求切点坐标的一般步骤：（1）设切点坐标；（2）根据导数的几何意义，求出曲线在这点处切线斜率关于切点坐标的表达式；（2）列关于切点坐标的方程，求出切点坐标二、单调性例3（1）若在区间上，在区间上，则有A B C D （2）函数是增函数的区间为_.（3）是函数在区间上为减函数的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分且不必要条件（4）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_.（5）若函数在上是减函数，在上是增函数，则的取值为 （6）函数在区间 上是增函数，在区间上是减函数例4（1）已知函数在R上是增函数，求的取值范围（2）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围（3）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围说明：1。考查利用导数研究函数的单调性的方法，已知函数的单调性求参数的取值或取值范围2多项式函数在一个区间上是增函数的充要条件是：；多项式函数在一个区间上是减函数的充要条件是：3已知函数解析式求函数单调区间的一般步骤：（1）求导数；（2）解不等式，求出的单调递增区间，解不等式，求出的单调递减区间注：根据教材利用导数求函数的单调区间，所求单调区间一般是开区间4已知三次函数的单调性求参数的取值范围一般步骤：（1）求二次导函数；（2）根据多项式函数单调性的充要条件，利用二次导函数的特征列出关于参数的方程或不等式；（3）解方程或不等式得所求 三、最值与极值例5（1）函数的极小值是_.（2）已知函数，且，则的极大值为_.（3）函数在上的最大值、最小值分别是_.（4）函数在闭区间上的最大值，则=_.（5）若函数在处的极值为，则 ， （6）函数的最大值为 11当时，恒成立，则实数的取值范围是例6（1）已知R上的奇函数，在时取得极值，求的极大值（2）已知函数，若的图象与轴有且只有一个公共点，求的取值范围（3）已知函数，若对任意都有，求的取值范围说明：1。考查利用导数研究函数的极大值、极小值，最大值、最小值的方法，已知函数的极值求参数的值或参数的取值范围2多项式函数函数在点处取极值的必要条件是；3多项式函数函数在点处取极值的充分条件是：存在以为端点的两个相邻开区间，使得在这两个区间上的符号不同4已知函数解析式求函数极值的一般步骤：（1）求导数；（2）求出的零点；（3）考察在以零点为端点的相邻开区间上的符号，若左正右负，则在公共端点处有极大值，若左负右正，则在公共端点处有极小值，若左右相同，则在公共端点处没有极值5求函数在闭区间上最值的一般步骤：（1）求在开区间上极值；（2）比较极值与、的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值四、最优化问题例7为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格（）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费（）试将每天的销售利润表示为价格变化值的函数；（）试问如何定价才能使产品销售利润最大？解：（1）当降价时，则多卖产品，由已知得：，所以 （3分）当提价时， （2分）所以 （6分）（2）当降价销售时，所以有1220极大值极小值即在处取得唯一极大值， （9分）当提价销售时， 所以当定价18元时，销售额最大 例8要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度），总费用为（元）.（1）写出的取值范围；（2）将表示成的函数关系式；（3）当为何值时，总费用最小?解：设圆锥的高为米，母线长为米,圆柱的高为米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4元. .1分（1） .3分（2）圆锥的侧面用料费用为,圆柱的侧面费用为,圆柱的地面费用为, 则 =,=. （3）设,其中则， 当时，当时，当时，则当时，取得最小值，则当时，费用最小. 例9某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（）试写出关于的函数关系式；（）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？（16分）解：（）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知，令，得，所以=64当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。五、综合题选讲例10已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.解：（1）当时，=，其对称轴为直线，当 ，解得，当，无解，所以的的取值范围为4分（2）因为，法一：当时，适合题意6分当时，令，则，令，因为，当时，所以在内有零点当时，所以在（内有零点因此，当时，在内至少有一个零点综上可知，函数在内至少有一个零点10分法二：，由于不同时为零，所以，故结论成立(3)因为=为奇函数，所以, 所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即因为所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，当时，即，解得；yO1x-1当时， ，解得；当时，显然不成立；当时，即，解得；当时，故所以所求的取值范围是或例11已知函数（x0）（1）若a1，f(x)在（0，）上是单调增函数，求b的取值范围；（2）若a2，b1，求方程在（0，1上解的个数解：（1） 当0x2时，由条件，得恒成立，即bx恒成立b2 当x2时，由条件，得恒成立，即bx恒成立b2 综合，得b的取值范围是b2（2）令，即当时，则0即，在（0，）上是递增函数 7分当时，0在（，）上是递增函数 9分g(x)的图象在（0，）上不间断，在（0，）上是递增函数，而a2，则0 12分a2，当a3时，0，g(x)0在上有惟一解当时，<0，g(x)0在上无解例12已知函数，且）（1）讨论函数的单调性；（2）若，关于的方程有唯一解，求a的值.解：（1）由已知得x0且当k是奇数时，则f(x)在(0,+)上是增函数; 3分当k是偶数时，则. 5分所以当x时，当x时，. 故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数7分（2）若，则.记g (x) = f (x) 2ax = x 2 2 a xlnx 2ax, ,若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 9分令,得.因为，所以（舍去），. 11分当时，在是单调递减函数；当时，在上是单调递增函数当x=x2时, ，. 12分因为有唯一解，所以.则 即 13分两式相减得因为a>0，所以. 14分设函数，因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解例13已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）若a0，求函数的单调区间；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.解：（），由导数的几何意义得，于是 2分由切点在直线上可得，解得所以函数的解析式为 4分（）当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在，是增函数，在，内是减函数 9分（）由（）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是 16分例14已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。解： 因 2分而函数在处取得极值2 所以 所以 为所求 4分负正负（2）由（1）知可知，的单调增区间是所以， 所以当时，函数在区间上单调递增 9分（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为： 令，则, 此时 ，根据二次函数的图象性质知：当时， 当时，所以，直线的斜率的取值范围是 14分
