专题10 简单几何体的表面积与体积（核心素养练习）（原卷版）附答案.docx

专题十简单几何体的表面积与体积 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一数学抽象-与球有关的切、接问题例题8.（1）一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为.（2）正方体的全面积是层，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是.考点二数学运算-棱台与棱锥之间关系的综合问题例题9、已知正四棱台（上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为6,高和 下底面边长都是12,求它的侧面积.考点三直观想象一组合体的表面积与体积 例题10.如图，梯形ABCD中,4。5。,乙46。=90。/。=&8。=2凡/。8=60。,在平面ABCD内过点C作/J_C3,以/为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.二、学业质量测评一、选择题1 .半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）冬& B.冬KC.杀后.在梯形A38中,ZABC = 90°,AD/BC,BC = 2AD = 2AB = 2.将梯形ABCDAD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A.A.47 B.3D. 2万A.a，(XsB.123.在棱长为的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）YE-AGHD = SaghD X 21 c 3 c c= -x3x x2 = 3,32VgH-FBC = 'beghVgH-FBC = 'begh=3VC rh乜一' V = Veaghd + Vegh-fbc=3 x 耳 x VE_GBCH = 3 + 2 = 2= -VE ACHD2 匕一33 二 2,22解法三：如图，延长EF至点M使EM = AB = 3，连接BM,CM,AF,DF,则多面体BCM - ADE为斜三棱柱,其直截面面积S = 3,则VBCm-ade =SAB = 9.an又平面BCM与平面ADE平行产为EM的中点, V =V vF-ADE yF-BCM， ?V +V =V 乙V FBCM t y F-ABCD丫 BCM-ADE，=9 x3x3x2 = 3, 31523-V- v F-BCM-V- v F-BCM= V = V -V2 ， v BCM-ADE y F-BCM故选：D6.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是（）.A. 130B. 140C. 150D. 160【参考答案】D【解析】设直四棱柱ABC。44G2中,对角线4。= 9,8口 =15,因为平面ABCQACi ,平面ABC。,所以AA_LAC,在放AA/C 中，4A = 5,可得，4。2一442 =屈, 同理可得=血血=1 o底，因为四边形ABC。为菱形，可得AC, BD互相垂直平分，所以 AB = J(- AC)2 + (- BD)2 = V14 + 50 = 8,即菱形 ABCD 的边长为 8, V2因此,这个棱柱的侧面积为S = (AB + BC + CQ + D4)xA4 =4x8x5 = 160,故选D.7.（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为2兀曰B.圆锥的侧面积为2兀rC.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3： 1： 2【参考答案】CD【解析】依题意得球的半径为尺则圆柱的侧面积为2%/?、2/? = 4%/?2,24错误；圆锥的侧面积为兀Rx旧R = &R2,.b错误;球面面积为4不7?2,圆柱的侧面积为4万R2,0正确.柱=7rR2 . 2R = 24代、%雌二上2.2r =，求号兀网24%柱：/锥：匕求=2兀K :-7rR3 :-7rR3 = 3:1:2,，。正确.故选：CD.8.（多选题）已知AABC的三边长分别是AC = 3,BC = 4,AB = 5.下列说法正确的是（）A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15万B.以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36万C.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25乃D.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16【参考答案】AD【解析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥，其侧面积为 1 9 4x3x5 = 15%,体积为一x»x3" x4 = 12，故A正确,B错误； 3以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥，侧面积为万x4x5 = 20兀,1 9体积为一X»x42 X3 = 16万，故C错误,D正确. 3故选：AD.二、填空题.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为一.97r【参考答案】 2【解析】设正方体边长为。，则6.2 =18 = 2=3 ,l44279外接球直径为2尺=6 = 3,丫 =兀3=兀又一=兀. 33829 .如图，在长方体ABC。AAG，中,45 = 4） = 35,44, =2。帆,则四棱锥A BgDQ的体积为cm3.【解析】如图，过A作AO，于。；长方体底面ABC。是正方形,AABD中,3。= 3 JL AO = 逑2又由 AO_L84，AO_L5。,，4。_1平面84。.，匕_%乌。=：3五2乎=6.H.如图，在圆柱。/。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱。/。2的体积为V/,、，K ，球0的体积为V2，则 的值是【解析】乂 _ nr2 x2r _ 33设球半径为心则正=4 3 =，故参考答案为二.2 7ir2312 .如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分当以直径A3所在直线为轴旋转一周时,得到一几何体，则该几何体的表面积是，体积是.(其中NB4C = 30°)AB【参考答案】上正兀If-7TR326【解析】如图所示，过C作C°i _L A3于点由题意得/8CA = 9()Q,ZBAC = 30AB = 2R.AC = 6r，BC = R,C0 =#R圆锥 8。侧=7rx Rx R =S球=4万店、s圆"侧=万 X 4 R X 6H = ； R2, 占3S几何体表=S球+ S圆锥曲侧+ S圆锥8°|侧=4iR2 + 兀R2又 % =%R3,T711馄版 .万T71I圆锥帕=1BO".CO； =%r2 .bo故参考答案为："十拒TlB2 L兀R 26三、解答题.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等方为3C的中点，高为PO,且NOP£ = 30。, 求该四棱锥的侧面积和表面积.【参考答案】32(cm2),48(cm2)OE【解析】如图，OE = 2cm, NOPE = 30°,.在Rt POE中,P£ =- = 4.sin 30尸3 = PC,E为BC的中点， PELBC.S rac=- BC PE = 8(cm2)侧棱长都相等，5侧=4s PBC = 32cm2 j,S全=32 + 16 = 48(cm?).已知一圆锥的母线长为IO。%,底面圆半径为6cM.(1)求圆锥的高；(2)若圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.【参考答案】(1) 8 (2) 36【解析】(1)据题意知，圆锥的高/ = JU62 =8(5)(2)据(1)求解知，圆锥的高为8cm,设圆锥内切球的半径为J则(10-6)2 +/=(8 疗,所以r=3cm 所以所求球的表面积S = 4/=4x32 =36 (cm2).14 . 一个圆锥的底面半径为2c九高为6cm,在其内部有一个高为xcm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.【参考答案】(1) 4VW7r(cm2) (2) x = 3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6cm2【解析】(1)圆锥的母线长为,62+2z =2w(cm)，,圆锥的侧面积S=乃x 2 x 2M = 4V107r(cm2).(2)该几何体的轴截面如图所示.r 6 X6 X设圆柱的底面半径为r5,由题意，知一=，. =. 263圆柱的侧面积 S2 = 2tiyx = (-x2 +6x)=至(x 3)2 9二当x = 3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6cm2 .4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3, 估算出堆放的米约有A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66 斛3.如图所示,多面体A8CQ切中，已知平面是边长为3的正方形,EF/AB, £尸=二,打到平面2的距离为2,则该多面体的体积丫为（）22.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是（）.A. 130B. 140C. 150D. 1605 .（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）XA.圆柱的侧面积为2兀曰B.圆锥的侧面积为2兀HC.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3： 1： 28 .（多选题）已知AA3C的三边长分别是AC = 3,BC = 4,A5 = 5.下列说法正确的是（）A.以3c所在直线为旋转轴咫此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为157rB.以3C所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36万C.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25万D.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16二、填空题9 .已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为一.10 .如图，在长方体ABCD A4G。中,45 = 4/） = 35,44, =2。根,则四棱锥A B耳2。的体积为.如图,在圆柱0/。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0/。2的体积为,球。的体积为丫2,则d 的值是.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴旋转一周时,得到一几何体，则该几何体的表面积是，体积是.(其中N84C = 30°)B三、解答题11 .如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等为为3C的中点，高为P0,且ZOPE = 30°, 求该四棱锥的侧面积和表面积.12 .已知一圆锥的母线长为10cm，底面圆半径为6cm .(1)求圆锥的高；(2)若圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.13 . 一个圆锥的底面半径为2c切,高为在其内部有一个高为的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.专题十简单几何体的表面积与体积核心素养练习一、核心素养聚焦考点一数学抽象-与球有关的切、接问题例题8.(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为.(2)正方体的全面积是片,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是4(1)【参考答案】4【解析】由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1,其体积为夺4*(2)【参考答案】号【解析】正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合.可见，正方体的对角线 是球的直径.设球的半径是八则正方体的对角线长是2心依题意,2/=5、长，即，所以S球=4兀7=4兀考点二 数学运算棱台与棱锥之间关系的综合问题例题9、已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和 下底面边长都是12,求它的侧面积.Di G【解析】如图分别是8C乃1G的中点,0,01分别是下、上底面正方形的中心，则。1。为正四棱台的高,则。=12.连接 OEQiEi,则。片=43=7* 12=6,0昂=3.过E作EHL0E,垂足为H,则 EiH=OQ=l2QH=OiEi = 3,HE=OE-OiEi = 63 = 3.在 RtA Ei HE 中,£1石2 =用"2+”炉=122+32=32x17,所以 EiE=3y/17.所以 S 侧=4x,x(3iG +3C)xE|£=2x(6+ 12)x3行=108师.考点三 直观想象一组合体的表面积与体积例题10.如图，梯形ABCD中,4。8。,乙钻。=90。工。=4乃。=2凡/。3=60。,在平面ABCD内过点C作/ ，。民以/为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.bcad【解析】 如题图，在梯形 ABCD 中,NA3C=90o,AO3CAO=a,8C=2a,NOG5 = 6()o,CQ=77= COS OU2a,AB=CDsin 600=小a,，DDf=AAf-2AD=2BC- 2Ao=2a,D0=DD'=a'由于以/为轴将梯形ABC。旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.由上述计算知，圆柱母线长小，底面半径2,圆锥的母线长2,底面半径a. /.圆柱的侧面积S=2兀.2a.小a=4小兀/,圆锥的侧面积S2 = 7V42q = 2兀居，圆柱的底面积S3 = 7l(2a)2 = 4兀 2,圆锥的底面积54 =兀42,组合体上底面积S5 = S3 §4 = 3兀/,旋转体的表面积S=5i + S2+53+55=(45 + 9)兀/.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.V柱= S=兀，(2。)2.小=4小兀"，4"B.3D. 2乃【参考答案】C- v锥=R5兀/卓兀/ = uf二、学业质量测评一、选择题1 .半径为火的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A.叵兀R?B.旦兀R3C.2兀ND.旦兀N248248【参考答案】C【解析】设底面半径为匕则24厂=万尺,所以r=勺. 2所以圆锥的高/z =正户力R. 2所以体积V =,乃r2 x/z = X避R = g7lN.33。224故选：C.2 .在梯形A3C。中,ZABC = 90°,A£>/BC,BC = 2AD = 2AB = 2.将梯形ABCDAD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）271 A. 3由题意可知旋转后的几何体如图: 直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2 的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为(2c1(2.5= 71X1 X 2 x 7T X r X 1 = -71故选c.3 .在棱长为。的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A.a，B. D.12【参考答案】c/、2【解析】此八面体可以分割成两个正四棱锥，且正四棱锥的底面是一个边长为J -（1 1形，则该八面体的体积为：213 22 a、,2 J=64 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3, 估算出堆放的米约有A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66 斛【参考答案】B【解析】设圆锥底面半径为I，则；x2x3r = 8,所以r 弋，所以米堆的体积为：x；x3x（守><5 =呼, 320故堆放的米约为+1.62=22,故选B.9一35.如图所示,多面体ABCDE尸中，已知平面ABC。是边长为3的正方形,= /到平面ABCD2的距离为2,则该多面体的体积V为（）A.C. 6D.15T【参考答案】D【解析】解法一：如图，连接E民AB = 2EF,EF/ABAB = 2EF,EF/AB°AEAB 一 2"EF Vf-eBC = VjefB = C-ABE_lv _1 lv _一 / VE-ABC 一耳又耳 E-ABCD y = V + v-yvE-ABCD 丁 y F-EBC= 6 + 33 22解法二：如图，设G,H分别为AB,DC的中点，连接EG,EH,GH,则 EG/FB, EH / /FC,GH /BC,得三棱柱 EGH- FBC,由题意得