专题11.4 随机事件的概率与古典概型（含答案解析）.docx

专题11.4随机事件的概率与古典概型（讲）-2021年新高考数学一轮复习讲练测专题U.4随机事件的概率与古典概型【考纲解读与核心素养】I.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的 计算.了解条件概率的概念.2 .了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.3 .培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.4 .高考预测：（1）考查互斥事件、对立事件；（2）考查古典概型概率的计算.（3）以互斥事件、对立事件的概率为主.客观题与大题都有可能考杳，在大题中更加 注重实际背景，考查分析、推理能力.近几年浙江省考查较少.5 .备考重点：（1）掌握互斥事件、对立事件等概念：（2）掌握古典概型概率的计算方法.【知识清单】知识点1.随机事件的概率.随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.（1）在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件.（2）在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件.（3）必然事件与不可能事件统称为确定事件.（4）在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母ARC,表示.1 .频率与概率（1）在相同的条件S下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数%为事件A出现的频数，称事件A出现的比例力（4）=区为事件A出现的频 n率.（2）对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率力（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率，简称为A的概率.:判断事件A的概率计算是否适合用间接;-1 :法，而判断的标准是正向思考时分类较; 7一'一;多，而其对立面的分类较少，此时应用间:接法 ：,:前而互诉事存最相互哀主事祥篇版率用 第二步：_ :算公式计算事件A的对立事件A的概率:y第三步|一；运用公E p（A） = l-P（A）求融 ：高频考点四：简单的古典概型 【典例7】（2019全国高考真题（文）.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为【典例8】（2017课标0,文11）13 .从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的 第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. -C. D.-105105【总结提升】1 .计算古典概型事件的概率可分三步（1）判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为4 （2）分别计算基本事件的总个数和所求的事件A所包含的基本事件个数相；（3）利用古典概型的概率公m式P（4）='求出事件A的概率.2 .解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.【变式探究】（2017全国高考真题（文）15 .从分别写有123,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的 第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（浙江高考真题（文）16 .从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女 同学的概率等于.【特别提醒】.古典概型中基本事件的探求方法（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时 （x, y）可以看成是有序的，如（1, 2）与（2, 1）不同.有时也可以看成是无序的,如（1, 2）（2, 1湘同.（3）排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识.1 .古典概型中的基本事件都是互斥的高频考点五：复杂的古典概型【典例9】.通过手机验证码登录哈喽单车Ap,验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码（4,生，4）满足。心电<用 <4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个递增型验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为【典例10（浙江高考真题（文）. 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球.已知袋中共有10个球，从中任意摸27出I个球，得到黑球的概率是5 ,从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是9 求：（1）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（2）袋中白球的个数【特别提醒】.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率 模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而 再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.1 .注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.【变式探究】（2020.浙江高三月考）19 .在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作 为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科 目，则不同的选报方案有 种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为（2019甘肃兰州一中高三期中（理）.甲、乙两校各有3名教师报名支教.若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师 来自同一学校的概率为.高频考点六：古典概型的交汇问题【典例1120 .设连续掷两次骰子得到的点数分别为J ，令平面向量工= （?,）， = （1,-3）, 则事件发生的概率为；事件“Bkw”发生的概率为.【典例12（2019上海市建平中学高三）.己知方程工+炉=1表示的曲线为C,任取、8el,2,3,4,5,则曲线C表示焦距 a b等于2的椭圆的概率等于.【特别提醒】求解占典概型的交汇问题，关键是把相关的知识（平面向量、直线与圆、函数、统计等） 转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：化事件|一博窥目一案库一中谣"目不章携霜花药事择： 辨概型|一寓甑事祥是A英标型还是具危概型：列事件|一连而吝界的于洛列库墓禾事祥：求概率|一；衣入相应的标率公£莱解：【变式探究】.若随机事件A、8互斥，A、8发生的概率均不等于0,且分别为P（A） = 2-a, P=3-4,则实数。的取值范围为.（2019上海市控江中学高三）.甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗微子，设甲的两颗骰子的点数分别为。与方，乙 的骰子的点数为C，则掷出的点数满足la-M=c的概率为（用最简分数表示）.参考答案：1. B【解析】根据对立事件的定义，结合选项可求得事件M的对立事件.【详解】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然 事件，事件”至多抽到2件正品”、”至多抽到5件正品”、“至多抽到3件正品”与“至少抽到3件次 品”能同时发生，不是对立事件；只有事件“至多2件次品”与“至少抽到3件次品”不能同时发生且他们的和事件为必然事件, 是M的对立事件，故选：B.2. B【分析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一向两 黑和全是黑球，进而可分析四个事件的关系；【详解】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两 黑和全是黑球，故恰有I个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，至少有I个白球和全是黑球是对立事件；至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，至少有1个白球和至少有I个黑球不是互斥事件，故选8.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件 之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题.3. A【分析】需从互斥事件和对立事件的概念加以区分，结合具体选项对应的事件加以辨别【详解】对于A,事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，A正确：对于B,事件：”至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，这两个事件不是互斥事件，B不正确；时于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误； 对于D, “至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选A.【点睛】本题考杳互斥事件与对立事件的区别与联系，事件互斥不一定对立，事件对立一定 互斥，属于基础题B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A,事件：”至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对 立，故A错误；对于B,事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个 球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确：对于C,事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是 互斥的，故C错误；对于D,事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球， 一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.4. AB【解析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A,试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确对于B,如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚 骰子质地不均匀，故B正确.对于C,中奖概率为焉是指买一次彩票，可能中奖的概率为焉，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误.对于D, “明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7,故D错.故选：AB.【点睛】本题考杳频率与概率的关系、概率的定义，注意两者之间的关系是概率是频率的稳 定值，本题属于基础题.5. (1) 0.55； (2) 0.3.【解析】(1)求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数.即可求P(A)的估计值；(2)求出8为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人 数.然后求P(8)的估计值；【详解】(I)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知，一年内险次数小 于2的频率为整鬻= 0.55,20()所以P(A)的估计值为0.55(2)事件8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数 大于1且小于4的频率为嚅5 = 0.3 ,故P (8)的估计值为0.3.【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力，属于基础题.6. B【解析】事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频 率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率, 据此可得解答.【详解】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计 它的概率，投篮3()次，次数太少，不可用于估计概率，故推断不合理；随着投篮次数增加，4运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故推 断合理；频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而 不能确定一定是160次，故不合理；故选：B.【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题.7. ( I ) 0.2； (II) 0.3； (III)同时购买丙的可能性最大.【详解】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题 的能力、转化能力、计算能力.(I)由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200,计算 出概率；(H)先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100 + 200, 再计算概率：(川)由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200,顾客同时购买甲和丙 的人数为HX)+2(X)+3(X),顾客同时购买甲和丁的人数为1(X),分别计算出概率，再通过比较 大小得出结论.试题解析：(I )从统计表可以看出，在这KXX)位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙,70()所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为诲 = 0.2.(II)从统计表可以看出，在在这MXX)位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、 丁中同时购买3种商品的概率可以估计为嘤羿= 0.3.(III)与(I)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为9* = 0-2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为3°° =06,1 ()001 00顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为亚=0，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.考点：统计表、概率.8. B【详解】设事件4为不用现金支付，贝 |JP(A)= 1-0.450.15 = 0.4故选：B.9. D【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事 件的和即可求解.【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,所以摸出黑球的概率是1 - (。45 + 0.25) = 0.3,因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率P = 0.3+0.45 = 0.75,故选D.【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式P(AUB) = P(4)+P(8),属于 中档题.10. C【分析】根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小.【详解】由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为0.1+0.2 = 0.3, 故选:C.【点睛】本题考查概率加法公式及互斥事件，是道基础题.11. 得到黑球、黄球、绿球的概率分别是!4 6 4【分析】记“得到红球''、"得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为事件4, B，C, D, 则事件 A, B, C,。两两互斥，有尸（A）=g, P（BuC） = P（B）+ P（C） = -j1, P（CuQ） = P（C） + P（。）*,求解即可得出答案.【详解】从袋中任取一球，记“得到红球''、"得到黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为事 件A, B, C, D,则事件A, B, C,。两两互斥.根据题意有 P（A）=g, P（BuC） = P（B）+ P（C） = , P（CuD）= P（C）+P（D） = -1,i 2P（fiuCuD） = P（B）+P（C） + P（D）= l-P（A）= l- = -.p(b)+p(c)=AP（B）联立方程，得,p(c)+p(d)=A ,解得P(C)./ ?P（B）+P（C）+P（O）= §尸（。）所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是找小【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率问题，运用互斥事件的公式是解题的关键，属于基 础题.12. B【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典 概率的计算公式求解.【详解】设其中做过测试的3只兔子为。力,。，剩余的2只为A8,则从这5只中任取3只 的所有取法有/c,aMA）,4,b,3,a,c,A,a,c,3,4,AB,g,c,A,反6国,出,人,同,化,人团共10种.其中恰有2只做过测试的取法有4,"A,aAB,m，c,A,4,G8,他c,A,8,c,K共 6 种，所以恰有2只做过测试的概率为K =选B.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.应3.互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即AcB为 不可能事件（AC|8 = 0）,则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件3在任何 一次试验中不会同时发生.一般地，如果事件4,，4中的任何两个都是互斥的，那么就说事件AM?,A“彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即Ac8为不 可能事件，而为必然事件，那么事件A与事件8互为对立事件，其含义是：事件 A与事件8在任何一次试验中有且仅有一个发生.互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立 事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件8一定发生，这时称事件8包含事件A （或称事件A包含于事件8）B良A （或相等关系若8£A且那么称事件A与事件相等A = B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件8发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）Au3（或A+B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件8发生，则称此事件为事件A与事件4的交事件（或积事件）Ac'（或AB）互斥事件若4cB为不可能事件，那么称事件A与事件“互斥8 =。对立事件若4c8为不可能事件，AuB为必然事件，那么称事件A与事件9互为对立事件Afi且4U8 = C5.随机事件的概率事件A的概率：在大量重复进行同试验时，事件A发生的频率上总接近于某个常数,n用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”, 可最大限度的避免出错.14. D【详解】从分别写有1, 2, 3, 4, 5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张, 基本事件总数n=5x5=25,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, I), (5, 2), (5, 3), (5, 4),共有m=10个基本事件，10 2抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = 1.故答案为D.15. D【详解】从分别写有1, 2, 3, 4, 5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张, 基本事件总数n=5x5=25,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2, 1), (3, I), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),共有m=10个基本事件，10 2，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = j.故答案为D.16. 15【分析】利用组合知识求出基本事件总数以及符合条件的基本事件，再由古典概型可得结果.【详解】从3男3女共6名同学中任选2名，有15种基本事件=15,2名都是女同学有C； =3种基本事件，故其概率为11c.【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次 求出概率事件中含有多少个基本事件”，然后根据公式P ='求得概率.n【分析】利用概率的定义进行求解即可.【详解】：4=2, 2<%</<卬，%、%、%从中39选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应生%即可，？=2. cio 6故答案为：6【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题2(1) ； (2) 5 个.210x4 = 4【详解】(1)由题意知，袋中黑球的个数为 5记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球''为事件4,则既嘴哈(2)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件从设袋中白球的个数为，则 c* 款项=1-软约=1-骨得到片518. 625125【分析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的 选报方案有54=625种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程，按两种情况讨论： 1 + 3或者2+2,再利用分类计算原理计算，得出概率即可.【详解】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的 选报方案有54=625种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程， 其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案C；C：A； =80种,A；其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为"普=匕 625125故答案为：625,【点睛】本题考查排列组合的应用，考查分类计数原理，考杳分组分配问题，考查古典概型 公式，考查学生分类讨论思想，属于中档题.19. |【分析】先求出从这6名教师中任选2名的基本事件的个数，再求出选出的2名教师来自同 一学校的基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解即可.【详解】解：从这6名教师中任选2名，共有C；=?不=15种不同取法，选出的2名教师来自同一学校共有=3 + 3 = 6种不同取法，设“从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校”为事件A,则”:H，2故答案为【点睛】本题考查了排列组合的有关知识，重点考查了古典概型的概率公式，属基础题.20. 11186【分析】 由题意,得到小的取值集合，可得点的总取法有36种,当M时, 解得，与”的关系，即可得满足条件的（?，）的个数，代入概率公式，即可得答案.（2）当时，解得，与的关系，即可得满足条件的（?，）的个数，代入概率公式，即可得答案.【详解】（1）由题意知，/£"2,3,4.5.6、£1,2,3,4,5,6,故（用，）所有可能的取法共36种.当注时,得加3=0,即加=3，满足条件共有2种：（3, 1）, （6, 2）,21所以事件一的概率夕= / = 77.36 18（2）当问W4时，可得利2+/S0,共有（,1）,（1, 2）, （1, 3）, （2, 1）, （2, 2）, （3, 1）6种情况，其概率P = 236 6故答案为：；1 o o【点睛】本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题.【解析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线C表示焦距等于2的椭圆”所包含的基 本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】所有可能的(。力)的组数为：5x5 = 25,又因为焦距2r = 2,所以c = l,所以。-力=±1,则满足条件的有:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,4)、(4,3)、(3,2)、(2,1),共8 组，Q所以概率为：p=.Q故答案为：趣.【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：(1)列举法；(2)数状图法;(3)列表法；(4)排列、组合数的应用.23.弱【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出 实数。的取值范围.【详解】因为随机事件A、8互斥，A、A发生的概率均不等于0,所以有：0<P(A)<l0<2-a<l430<P(B)<l,即<0<3«-4<1,解得一<二，320<P(A) + P(B)<l 0<2-a + 3a-4<、故答案为：(g，；l24. 4【分析】分析可知，基本事件总数 = 6x6x6 = 216,利用列举法表示掷出的点数满足对应的基本事件(力G有30个，进而求得1-川=。的概率【详解】由题可知，基本事件总数 = 6x6x6 = 216,掷出的点数满足1。-6=。包含的基本事件(0有：当 c = l 时，有：(1,2, I), (2, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 2, I), (3, 4, D,(4, 3, 1), (4, 5, 1), (5, 4, 1), (5, 6, D, (6, 5, D,共 10 个；当c = 2时，有：(1, 3, 2), (3, |, 2), (2, 4, 2), (4, 2, 2), (3, 5, 2),(5, 3, 2), (6, 4, 2), (4, 6, 2),共 8 个；当 c = 3 时，有(1,4,3),(4,1,3),(2,5,3),(5,2,3),(3, 6,3), (6, 3, 3),共6个；当 C = 4时,有(1,5,4),(5,1,4),(2,6,4),(6,2,4),共 4 个；当 c = 5 时,有(1,6,5),(6,1,5),共 2个；合计共30个，305掷出的点数满足的概率为=弓=2.216 36故答案为 36【点睛】本题考查古典概型的基本求法、列举法表示概率事件，属于基础题在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作（4）.由定义可知OKp（A）l,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.5.概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：OW（A）WI.（2）必然事件的概率：P（A）= 1.（3）不可能事件的概率：P（A）= 0.（4）互斥事件的概率加法公式：p（AU8） = p（A）+p（8）（4B互斥）,且有"（A + A）= （A）+ "（A）= 1.MAU4UUA）=（A）+p（4）+0（4） （4，&，4彼此互斥）.（5）对立事件的概率：P（A）= 1-P（A）.知识点2.古典概型1 . 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一 事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有个，即此试验由个£基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是7.m如果某个事件A包含的结果有机个，那么事件A的概率P （A） =7.基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件都可以表示成基本事件的和（除不可能事件）.2 .古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.4包含的基本事件的个数概率公式：PW= 基本事件的总数 .常用结论1 .频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机 事件发生的可能性的大小.2 .互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立.3 .概率加法公式的注意点（1）要确定A, 8互斥方可运用公式.（2）44为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即尸（A）=P（8）可能不成立.【典例剖析】高频考点一：随机事件间的关系【典例I （2020云南丽江第一高级中学高二期中）1 .抽查8件产品，设“至少抽到3件次品”为事件M,则M的对立事件是（）A.至多抽到2件正品B.至多抽到2件次品C.至多抽到5件正品D.至多抽到3件正品【典例2】（2019.四川高二期中）2 .袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是A.恰有1个白球和全是白球B.至少有1个白球和全是黑球C.至少有1个白球和至少有2个白球 D.至少有1个白球和至少有1个黑球【总结提升】事件间的关系的判断方法1 .判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果, 从而断定所给事件间的关系.2 .对立事件一定是互斥事件、也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了 两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事 件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是 对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.3 .判断互斥、对立事件的2种方法：（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件 为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定 是互斥事件（2）集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥. 事件4的对立事件T所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的 集合的补集即：事件A, 8对应的基本事件构成了集合A, B,则4, 8互斥时，An8=0； A, B对 立时，且为全集）.两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件.【变式探究】（2019湖南长郡中学高二期中）3 .从装有2个向球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立 的事件是（）A. “恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C. “都是白球”与“至少有一个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”（2020云南高二月考）4 .从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球高频考点二：随机事件的频率与概率【典例3】（2020.湖南高一期末）5 .下列说法正确的是（）A.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率8 .连续1。次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C.某种福利彩票的中奖概率为焉，那么买1000张这种彩票一定能中奖（）0（）D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70% 认为明天会降水，30%认为不降水【典例4 （2016高考新课标2文选）6.某险种的基本保费为。（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人 本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234N5保费0.85a1.25a15a1.75a随机调查了该险种的20（）名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数01234>5频数605030302010（1）记人为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值;（2）记4为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P（8）的估计值；【总结提升】1 .概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的.而概率是一个确定的值，通 常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估 计值.2 .随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋 近于某个常数，这个常数就是概率.3 .求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所 求随机事件出现的频数.【变式探究】（2020黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）7 .将A, B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：投篮次 数1()2030405060708090100A投 中 次 数7152330384553606875投 中 频 率0.7(X)0.7500.7670.7500.7600.750().7570.7500.7560.750B投 中 次 数8142332354352617080投中频率().8(X)0.7000.7670.8000.7000.7170.7430.7630.7780.800下面有三个推断：当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750 ；当投篮达到200次时，8运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（）.A.B.C.D.（2019沈阳模拟）.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整 理成如下统计表，其中“才表示购买，“x”表示未购买.商顾品 人、数甲乙丙T1007XV4217X7XV2(X)77VX3007XqX85XXX98X7XX（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？高频考点三：互斥事件与对立事件的概率【典例5】（2018全国高考真题（文）8 .若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概 率为（）.15,则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【典例6】（2019辽宁高一期末）9 . 一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红 球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是A. 0.3B. 0.55C. 0.7D. 0.75【规律方法】1 .概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大 小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多， 所得频率就近似地当作随机事件的概率.2 .判断事件关系时要注意（1）利用集合观点判断事件关系；（2）可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的 关系.3 .时于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4 .对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个 事件，事件A的对立事件记作N，从集合的角度来看，事件N所含结果的集合正是全集 U中由事件A所含结果组成集合的补集，即AU = U, 4（1 =。，对立事件一定是互 斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件48的和记作八+8,表示事件A 8至少有一个发生.当A 8为互斥事件时，事件4 + 8是由“ A发生而B不发生”以及“ B发生而A不发生”构成的.当计算事件A的概率p（A）比较困难时，有时计算它的对立事件N的概率则要容易此， 为此有。（可=1 - P（ A）.这不仅体现逆向思维，同时对培养