正多边形和圆(教案、教学反思、导学案).docx

24.3正多边形和?教学目标【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心 角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和 直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用 圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于 生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关 系.输教学过程一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形 得到的物体.（1）你能从图案中找出多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创第二层次学习1 .自学指导：(1)自学内容：教材第1。7页的内容.(2)自学时间:4分钟.(3)自学要求：阅读并画图，推理以强化理解.(4)自学参考提纲：两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是作相等的圆心角；第二种方法的依 据是在圆上作相等的弧.分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.2 .自学：学生结合自学指导进行自学.3 .助学：(1)师助生：明了学情：明了学生是否明白画图的依据.差异指导：根据学情进行指导.(2)生助生：生生互动，交流、研讨.4 .强化：正多边形的画法.三、评价L学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2 .教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问 题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到 一般,符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化 为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边 形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想, 极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在 高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.评价作业（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1 .（10分）下列说法中正确的是（C ）A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C各边都相等的圆内接多边形是正多边形D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形2 .（10分）如果一个正多边形的每个外角都等于36。，则这个多边形的中心角等于（A）A.36°A.36°B.18°C.72°D.54°3.（10分）如图，点。是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角, 借助点O（使直角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那 么n的所有可能取值的个数是（A）3.（10分）如图，点。是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角, 借助点O（使直角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那 么n的所有可能取值的个数是（A）A.4B.5A.4B.5C.6D.74 .（20分）如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口 b至少为 多少？解：如图，NABC=12(T.AB = a,AC = b.过 B 作 BDLAC 于点 D,则AD=DCb.2在 RtAABD 中，NBAC=30。，1BD= AB=3mm.2A AD = yIaB2-BD2 =a/62-32 =373 (mm)./. b=2AD=63mm.即扳手张开的开口 b至少要6石mm.5 .（20分）如图，正方形的边长为4cm,剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：设正八边形的边长为xcm,.BP 4-8%-16=0.BP 4-8%-16=0.解得毛=4吸一4, x2=-4a/2-4 （舍去）.，剪去的四个小三角形的面积为4 4/2 4)2X x42=(48-32V2)cm2,正八边形的边长为（4VJ-4）cm,面积为4*4-（48 32后）=（32后一32）0妨2.二、综合应用（20分）6 .（20分）如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P, CF=DM.(1)求证：ZXBCF也CDM；(2)求NBPM的度数.(1)证明：TABCDE是正五边形，BC=CD,NBCD=NCDM,又 CF=DM,AABCFACDM.(2)解：由(1)知NFBONMCD,，NBPM=NFBC+NBCM=NMCD+NBCM=NBCF=3xl8()o=108。.三、拓展延伸(105分)7.（10分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”, 封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为山，a2, a3,初，则下列关系中正确的是（B） 设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生 积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.A.a4>a2>a)C.ai>a2>a3B.a4>a3>a2二、思考探究，获取新知1 .正多边形和圆的关系问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一 定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.已知：如图，在。O中，A、B、C、D、E是。O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.证明：在。0 中，V AB = BC = CD = DE = EA,，AB=BC=CD=DE=EA,BCE = CDA = 3AB , AZA=ZB；同理NB=NC=ND=NE, .五边形 ABCDE 是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边 都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定 是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五 边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般, 这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形 是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边 形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多 边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可. 同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.2 .正多边形的有关概念综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360° n；内角的度数为：180° （n-2） n3 .正多边形和圆有关的计算问题例1 （课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.二六边形ABCDEF是正六边形，.ZBOC=360° /6=60° .A ABOC是等边三角形二BC=4m,这个亭子地基的周长为:4X6=24 (m).过 O 点作 OP_LBC,垂足为 P在 RtaOCP 中，OC=R=4, CP=1/2BC=2./. OP =- CP2 = V42 -22 =2 3( m)./. Swoe BC OP = x4 x2 8 =4 J3(m).这个亭子地基的面积为：6 x4 8 = 24 ”41. 6( m2).例2填空.正多边 形边数内角中心半径360°120。2 B490。90。旦6120。60。2边长边心距周长面积23621842126 6【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计 算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角 形来解决例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合 的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.4 .画正多边形画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式:（1）用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心 角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360° /n的圆心角，这个圆心角所对的弧就 是圆的1/n,然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差.（2）用尺规等分圆正方形的作法:如图（1）在。中，尺规作两条垂直的直径，把。四等分, 从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形 等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图(2)任意作一条直径AB,再分别以A、B 为圆心，以。0的半径为半径作弧，与。交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D为。的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图(3)由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于 半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限 性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1 .如图，圆内接正五边形ABCDE,对角线AC与BD相交于点P,贝U/APB 的度数为.2 .边长为2/ Ji的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为.3 .如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三 角形的内切圆的半径之比.4 .如图，点M、N分别是。的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五 边形ABCDE, 正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN,连接OM、ON.(1)求图1中的NMON的度数；(2)在图2中，ZMON的度数为，在图3中，ZMON的度数为（3）试探索NMON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案） 【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.【答案】1.72。2 .-【解析】设正方形的外接圆半径为七边心 1T（1距为厂,由勾股定理得斤=± 故所求圆环/ 11的面积为kR -宣广二宣（R 尸）=it =.宣3 .解:如图,RR是正六边形4灰力ET的内切圆，0。2是正 三角形GHI的内切圆，设正六边形ABCDEF的 边长为心的半径为K；正三角形H/C的边 长为b,O02的半径为r.连接4。-6。1,修。2, /。,，过点。】作O.M 1 AB于点过点。，作 。2 八HI 于点 N. S六城hbcdef = 6 x 彳 x a x -a =S _HIG，'-斗 2，y = 5,在。1-4”中，由勾股定理，得R勾股定理，得R。/N中，由勾股定理，得J二（2尸64 .解：（1）连接OB、OC.正三角形ABC内接于。O,ZOBM= ZOCN=30° , ZBOC=120° ,XVBM=CN, OB=OC, A ABOMACON, /BOM二ZCON, .*.ZMON=ZBOC=120o .(2)90° 72° (解法与(1)相同) (3)ZMON=360° /n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形 的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补 充和点评.不课后作业1 .布置作业：从教材“习题24.3”中选取.2 .完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.徐数学反思1 .本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形 与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般， 符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问 题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等 分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.2 .等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方 形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极 限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化 趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起 着承上启下的作用.24.3正多边形和圆一、新课导入1 .导入课题：情景：欣赏下面图片.问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系?2 .学习目标：(1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.(2)会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.3,学习重、难点：重点：正多边形的有关概念与计算.难点：正多边形的有关计算.二、分层学习第一层次学习1 .自学指导:(1)自学内容：教材第105页至第106页的内容.(2)自学时间：6分钟.自学方法：完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲：什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形和菱形不是正多边形，正方形是正 多边形.正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗?是轴对称图形，不一定是中心对称图形.以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边 心距.中心：点。.半径：OC、OE、OF.中心角：NEOF,边心距：0M.正n边形的每个内角都为5-2)480。,每个外角都为幽，中心角为幽. nnn有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).解：作OMLBC于M.连接OB、OCABCDEF是正六边形,AAOBC 为正三角形,，ZMOC=1 ZBOC=30°, OB=BC=OC.2A1 = 6BC=60B = 6x4 = 24 (m).在 RtAOMC 中，ZMOC=30°， /.MC= 1 OC=2m.2AOM=OC2-MC2=2V3m.ORC=-BC.OM = -x4x273 = 4而m?).Cz/>c 22S正六边形=6s qbc = 246» 41.6(/).即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.2 .自学：学生结合自学指导进行自学.3 .助学：(1)师助生：明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况.差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.生助生：小组内相互交流、研讨.4 .强化:正多边形的相关概念.正n多边形的对称性.填表：正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积360°12()。72 316 33 3490°90°n21846120°60°21口126 3