专题07 圆锥曲线中的定值问题（原卷版）.docx

专题7圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题，也是备受高考关注的一类问题，由于它在解题之前不知道定值的 结果，因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻 求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱,这样可 将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题, 通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍（一）定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数，若要证明一个式子是定值，则意味着参数是不影响结果的，也就是说参数在解 式子的过程中都可以消掉，因此解决定值问题的关键是设参数：（1）在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时，注意横坐标要满足圆锥曲线方程）（2）可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式），也可能是斜率（这个是最常用的，但是既然设斜率了，就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种，但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：（1）设参数；（2）用参数来表示要求定值的式子；（3）消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；（2）求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；（3）求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.9【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆。:二+产=1,6为右焦点，直线 2/:y = «x-1）与椭圆C相交于A, 8两点，取A点关于x轴的对称点S,设线段AS与线段5s的中垂线交于 点。.当，=2时，求|Q制；当，工0时，求铝是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由.AB求椭圆E的标准方程；如果。尸是。加、。的等比中项，那么?是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由. k22【解析】（1）椭圆£:二+与=1的右准线为直线/,动直线> =近+加交椭圆于两点，当A零点分别是 cr ZrZ7 h椭圆E的有顶点和上顶点时，则4（。, 0）1（。,/）, （不R，因为线段A3的中点为射线OW分别角椭圆2 21<2 1 b -a2所以工 a2及直线/与RQ两点，所以。-，由O,",Q三点共线，可得一=W,解得5 = 1,因为0。=石。例，eci cr_2=卮 可得2"耳，又由。=1,解得/=5,/=4,所以椭圆E的标准方程为弓+>2=1.2a - 15c丫2（2）解：把y = "+m代入椭圆E：L + V = i,可得（5/+ 1）工2+1。2辰+ 5m2一5 = 0,可得10km10km5m2 - 5X. +% =-7，入1%2 =一；1-5 公+ 1 ' 25 公+ 12m,则町+/ =左（七+%）+ 22=5公+，所以与 =5 km5 km m5左2+1'5/+1），所以直线aw的方程为y =-X，5k1y =xSk2，可得其X 21+ V =125k251 + 1,因为。P是。15的等比中项，所以OP2=OM.OQ,可得焉=岛|,气25 mk2(5尸+ 1)'又由25k225 mk5k2+1 - 2(5/+1)'解得m = -2Z ,所叫=2此时满足所以誉为常数2所叫=2此时满足所以誉为常数2（六）与定值有关的结论1 .若点48是椭圆C：22上关于原点对称的两点，点尸是椭圆C上与AB不重合的点，则KpA KpB _9a2.若点A乃是双曲线C：22二一二二1（>0力>0）上关于原点对称的两点，点尸是双曲线。上与不重合的 a b点，则 kpA kpB点，则 kpA kpB£a2223.设点P（w）是椭圆C：点+去二八匕。）上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若2bm%幺+ % =。，则直线A3斜率为定值一-（n W 0）； an224.设点P（w）是双曲线C：4.设点P（w）是双曲线C：，我=1（。0/>。）一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若kpA+kpB =0,直线AB斜率为定值-(n W 0)； cm15 .设点P52M是抛物线C： y2=2px（p>0）一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若%+%=0,直线AB斜率为定值-2（ W 0）. n%22.设A民C是椭圆/ + * = 1（。>匕>0）上不同3点,B,C关于x轴对称，直线AC,BC与x轴分别交于点M.N OMON = a2.22- = +0B cr- = +0B cr6 .点48是椭圆C：斗目”,。）上动点Q为坐标原点，若Q4_LOB,则 er b0到直线AB为定值）7 .经过椭圆。2/+Q2y2=。2 （a>b>0）的长轴的两端点Al和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于Pi 和 P2,则 |P4I|P&I=.X2 y2.过椭圆一7 + * = 1 （a>b>0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x cr b轴于R则焉3X2 V28 .点P为椭圆一r +匚=1（。>0/>0）（包括圆在内）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平 a d一b行线，交y轴、x轴于M,N,交直线y =尢于Q,R,记AOA/Q与AONR的面积为，S 一则: a【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数相>0且椭圆:X2m2+ 丁=1,点。是上的动点.（1）若点。的坐标为（2,0）,求的焦点坐标;（2）设/% = 3,若定点A的坐标为（2,0）,求处川的最大值与最小值；（3）设机=；,若上的另一动点。满足（。为坐标原点），求证：。到直线PQ的距离是定值.丫2/、【解析】（1）椭圆： + y2=l,点2的坐标为（2,0）, m: m = 2,c = C,r的焦点坐标为；（2）设尸（x,y）,又A（2,0）,22由题知春+9=1,即y2=l_£_99.,|PA|2=（-2）2 + /=（x-2）2+l-y = -、24J又3<xV3,当x = -3时,取得最大值为25；当x时JB4;取得最小值为; |尸山的最大值为5,最小值为.（3）当z =；时，椭圆： 4%2 + y2 = 1,设（4*）,。（工2，%），当直线PQ斜率存在时设其方程为丁 =丘+乙则%2 + 2kix+/1 = 0,-2kt芭+/ =r124 + /1 24 +公,A =（2）2 -4（4 + 2）（?2 -1） > 0,由OP JL OQ可知加.加=0,即%尢2 + X% =。,X|X2 +（3 +2 + /） = ° ,即（1 + 攵+ 虹（X + x2 ） + /=。,2（1 +k2）.匚二+ ".二 +/=0可得1 +42=5产,满足人>0, ）4 + 224 + 公 0到直线PQ的距离为d = -3= = g为定值;J1 +攵 25当直线PQ斜率不存在时,OP ± OQ,可得直线方程为x = ±半，。到直线PQ的距离为咚.综上,0到直线PQ的距离是定值.三、跟踪检测(2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测)已知椭圆E：，+，= l(a>b>0)的离心率为孝, 短轴长为2.MB _ NBMCNC(1)求E的方程；过点加(T,0)且斜率不为。的直线/与£自左向右依次交于点3, C,点N在线段上，且P为线段3c的中点，记直线。尸，QV的斜率分别为尢，Q 求证：K七为定值.1. (2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线。与双曲线* 4 = 1有相同的渐近线，且过点 JL4 JA(20,-1).求双曲线。的标准方程；已知0(2,0),2月是双曲线。上不同于。的两点，且诙赤= 0,OG_LEb于G,证明：存在定点“，使|G"|为定值.2. (2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C： V =2px(P>0)的焦点为F,过点尸(0,2)的动直线/与抛物线相交于A, 3两点.当/经过点尸时，点A恰好为线段尸尸中点.求p的值；是否存在定点T,使得索.万为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.3. (2023届重庆市2023届高三上学期质量检测)已知抛物线C：f =2py(p>0)的焦点为R斜率不为0的直线/与抛物线C相切，切点为人 当/的斜率为2时，a尸| = 10.求p的值；平行于/的直线交抛物线。于& D两点,且/84。= 90。，点尸到直线BD与到直线/的距离之比是否为 定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.4. (2023届江苏省百校联考高三上学期考试)设尸为椭圆目+ 丁=1的右焦点，过点尸且与x轴不重2合的直线/交椭圆。于A ， B两点.当丽=2两时，求同;在X轴上是否存在异于尸的定点Q,使答为定值（其中qa，Mb分别为直线24,。5的斜率）？若存 Kqb在，求出。的坐标；若不存在，请说明理由.5. （2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线G：V=4x的焦点与椭圆E:+的右焦点尸重合，椭圆£的长轴长为4.求椭圆E的方程；过点/且斜率为左的直线/交椭圆E于A3两点，交抛物线G于M,N两点，请问是否存在实常数人 使2 t西+所为定值？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由.6. （2023届江苏省南京市高三上学期数学大练）已知点B是圆C:（x-l + y2=i6上的任意一点，点F（-l,0）,线段3户的垂直平分线交5C于点P.求动点P的轨迹E的方程；设曲线片与轴的两个交点分别为4,4，Q为直线产4上的动点，且。不在x轴上，QA/与E的另一 个交点为M, Q4与£的另一个交点为N,证明：尸MN的周长为定值.22.（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆"：二+'Mim人,。）的左、右焦点为，F2,且 a" b-左焦点坐标为卜8，。），。为椭圆上的一个动点，4尸8的最大值为千（1）求椭圆M的标准方程； （2）若过点（-2,-4）的直线/与椭圆M交于A 3两点，点N（2,0）,记直线NA的斜率为尢,直线NB的斜率为心，= l（a>b>0）的长轴的两个端点分别为8 .（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆C:（1）求椭圆C的标准方程;为椭圆。上除A, 3外任意一点，直线40交直线x = 4于点N,点。为坐标原点，过点。且与直线3N垂直的直线记为/,直线交y轴于点P,交直线/7点Q,求证:BPPQ为定值.10. （2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考）已知A（-20,O）,3（20,0）,直线的斜率之积3 为-：，记动点P的轨迹为曲线C.4 求。的方程；3直线/与曲线C交于M,N两点，。为坐标原点，若直线OM,ON的斜率之积为证明：MON的面 4积为定值.22（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测）已知点片是椭圆。:二+乙=1的左焦点，Q43（ 是椭圆。上的任意一点，A -,1 .12 7求|。盟+ |。山的最大值；过点片的直线/与椭圆C相交于两点M,N,与y轴相交于点P.若同江=为瓯,两=的，试问丸+ 4 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.=1, A（0），过点A的动直线r2（2023届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试）已知椭圆。：+ 4/与椭圆。交于P、。两点.求线段PQ的中点M的轨迹方程;（2）是否存在常数，使得之新版+加加为定值？若存在，求出4的值；若不存在，说明理由.22（2。23届云南省下关第一中学高三上学期考试）已知椭圆氏靛+叱6。）过点（。，如，离心率为正，直线y = "（ZwO）与椭圆£交于43两点，过点3作垂足为。点，直线AC与椭圆£的另 2一个交点为求椭圆£的方程；试问NA5O是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.14.如图，点m是圆+（ + 1）2=16上任意点，点以0,1）,线段MB的垂直平分线交半径AM于点P,当点M在圆A上运动时，（1）求点P的轨迹E的方程；（2） 8Q/X轴，交轨迹后于。点（Q点在 轴的右侧），直线/：x = U +与E交于（/不过。点）两点, 且直线。与直线DQ关于直线3。对称,则直线I具备以下哪个性质？证明你的结论？ 直线/恒过定点；相为定值；为定值.15. （2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系Oxy中，点M是以原点。为圆心，半径为a的圆上的 一个动点.以原点。为圆心，半径为。（4人。）的圆与线段OM交于点N,作物，x轴于点。，作NQJ_M。于 点。.JT（1）令= 若。=4/ = 1,。=下求点。的坐标；（2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；（3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点与，层，若点反尸分别满足 2通=-3面,4通=3丽;设直线BE和层产的交点为K,设直线/：工=幺及点H（c,0）,（其中c =疝17）， c证明：点K到点H的距离与点K到直线/的距离之比为定值【解析】（1）设4（石方）1（孙），线段河的中点坐标为（如，），联立得<x2+2y2-2 = 0.y = 2(x-l)9消去y可得:16%1 + X2 =,9工2-16冗+ 6 = 0,所以， （oXlX2 二§，Q2所以与二2,代入直线A3方程，求得加=-%， y9因为。为ABS三条中垂线的交点，所以MQ_LA8,91（ Q 有女例。K8 = -1,直线MQ方程为丁 + = -7* X- 4<4 A令 y = O,q=A，所以。,0 .25由椭圆。：3 + 丁=1可得右焦点£（1,0）,故|。耳| 二不 29（2）设AGj）,8%,%），中点M坐标为（为,坨）.上+y2=l< 2。1相减得上* =詈 = 三，Ixf 2 I "X 2 y + % 2yM 一+ W=L又。为 的外心，故 MQ_L45#m（Ab=1，所以心。=2b”=生'直线MQ方程为了一为 令y = 0,q=字=2产，所以。xf),XI +x24T,0j而耳（1,0）,所以|*=12（再+为）,2(% -17 +1=- - 2X + 2 =血X，同理忸耳| =夜一/%2，| A3|=|AK| +忸胤=20 -.(2+/), v2人0）的右焦点为方，圆。:人0）的右焦点为方，圆。:翳与热岑鬻为定畤【例2】（2023届河南省濮阳市高三上学期测试）已知椭圆C：-2,过尸且垂直于，轴的直线被椭圆。和圆。所截得的弦长分别为华和2人（1）求C的方程;过圆。上一点P （不在坐标轴上）作。的两条切线4，2,记心，2的斜率分别为勺，攵2,直线。P的斜率为23,证明：（占+22）匕为定值.【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c（c>o）,过尸且垂直于轴的直线被椭圆C所截得的弦长分别为华， 则至=述；过/且垂直于X轴的直线被圆。所截得的弦长分别为2/，则2/二7 = 20，又4=02, a 3所以C的方程为二十反= 32所以C的方程为二十反= 32（2）设。（%,%）（毛为。0）,则片+ /=3.设过点P与椭圆。相切的直线方程为y-% =攵（工-X。）,联立2x2+3/ =6 y-yk(x-x得（322 +2）/ +6左（凡_而0）工 + 3 （y（） "of-21 = 0,则八=6左（%_4）一一4x（3-+2）x3（y0-2 = 0 ,整理得(片-3*2x°y/ + y；-2 = 0.一火由题意知占'网为方程的两根，由根与系数的关系及可得匕+左2=著=登=-今 又因为看居，胃所以化+3-青/-2,所以化+右用为定值2（二）与线段长度有关的定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式，再对解析式化简, 得出结果为定值22【例3】（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线C:一-1r = 1（0/0）的离心率为夜, 点。（3,1）在双曲线C上.（1）求双曲线。的方程；（2）点A, 3在双曲线。上，直线B4,m与V轴分别相交于M,N两点，点Q在直线A3上，若坐标原点。为 线段MN的中点，PQ±AB9证明：存在定点尺，使得|。用为定值.22【解析】（1）由题意，双曲线。:二-二=1的离心率为且*3,1）在双曲线。上，a b可得/一斤c229一=6 ,解得"=84=8,所以双曲线的方程为土21 = 1.a88二"+"(2)由题意知，直线的的斜率存在，设直线A3的方程为丁 =日+机,联立方程组y = kx-m、 r.22 c，整理得（1 一人）x 2加优加之8 = 0,x y =8则 A = （-2km）2 - 4（1 一公）（-m2 - 8） = 4（苏 一 8左？ + 8） 0 且 1 /工 o,设4%,%),3(%,%)，则%+=言阳X2 直线尸A的方程为k1=若(，-3),-k21 3y, +3_ i 3y+3、令x = 0,可得），二一1一一g|jM（0,-l-）, 玉 一 3Xj -3同理可得N（0,-1一2考）， 3因为。为MN的中点，所以(一1一甯)+(一转)=0,即一1一3（3 + 2）+ 3 1 + 3（&2 + 加）+ 3Xj 3%2 - 3） = 0,可得（6% + 2）% 一（3 + 9攵-3w）（ +尤2） 182 = 0 ,即（相+ 8）（根 + 3左+ 1） = 0 ,所以m=-8或m+34 + 1 = 0,若加+ 3左+ 1 = 0,则直线方程为丁 =依一3Z 1,即y + l = -x 3),此时直线A3过点夕(3,-1),不合题意;若加=-8时,则直线方程为丁 =丘-8,恒过定点。(0,-8), 所以忙q=)32+(-1-8)2 =屈为定值,又由P0D为直角三角形，且为斜边, 所以当H为PD的中点(|,-|)时，囚。|=归必=孚(三)与面积有关的定值问题 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式，再利用题中条件化简.22【例4】(2023届河南省部分学校高三上学期9月联考)已知椭圆C： 1r +六=1(人0)的左焦点为、下顶点分别为A , B, ZAFB = 90°.求椭圆。的方程;若椭圆上有三点p, Q,UUU ULMl UUIUM满足OA/ = OP+OQ，证明：四边形的面积为定值.【解析】（1）依题意c = l,又乙4£8 = 90。，所以2=。=1,所以 Q = yjh2 4-C2 = V2 ，所以椭圆方程为二+ y2=i. 2/、/、/、UUU UUU UUIU（2）证明：设”（x,y）,。（马，为），因为OM = OP+OQ，所以四边形。口必2为平行四边形,皆支+（X+%）2=1，即 乙皆支+（X+%）2=1，即 乙（X2 工+129NJ尤21彳+ %2 +不+2%=1，幺 7 一+= 1，所以 %|%2 + 2，1% = -I，若直线PQ的斜率不存在，M与左顶点或右顶点重合,则|七|=同=4，所以回1=卜。卜4， 乙乙 综上可得，四边形opmq的面积为定值".所以 Sopmq=3X2|%p|x21ypi =4,乙若直线尸。的斜率存在，设直线PQ的方程为丁 =丘+/,若直线尸。的斜率存在，设直线PQ的方程为丁 =丘+/,代入椭圆方程整理得（1 + 2卜2+4笈x+2/2 =。,所以 A = 8（2Z?+1 一产）。,% +w =所以 A = 8（2Z?+1 一产）。,% +w =Akt2产2所以 X% =（" +。（仇 +）=攵2%/2 +"（% +工2）+ /所以 X% =（" +。（仇 +）=攵2%/2 +"（% +工2）+ /二尸.主二 +小1 + 2/2产9所以（2左2 + 1）.77/+2s1十乙K整理得41=1 + 28,+ 2产=一1 ,PQ = 4krlxi-x2PQ = 4krlxi-x2I Js（l-h2k2-t21 + 2女 2t又原点。到PQ的距离d = -=, “2十1t又原点。到PQ的距离d = -=, “2十1所以S,Q=P。|d = aJ1 + 2/2 产,将4产=1 + 242代入得山。所以 SOPMQ = 2S/OQ =半，乙1 + 2公=万叵山=逅4/42（四）与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式, 再利用题中条件或韦达定理化简.29【例5】（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知4,4分别是椭圆0：二+1=1（。人（）的 a-左、右顶点，民厂分别是。的上顶点和左焦点.点P在。上，满足P/FAAABOP,|E4 = 2-VL求。的方程；过点/作直线/ （与X轴不重合）交。于%N两点，设直线4MAN的斜率分别为附，求证："2为定值.【解析】（1）因为P/JLAA,故可设网G%）,因为故2/小即2 = 一比,解得为=". a ca> 2 9（be、叱又P -G 一 在椭圆。上，故P =解得/ =2/=2/一2，故a = 6b = 4ic. a J+ = |a b又|E4 = 2 &，故|尸A| = c =（百l）c = 2 0,故0 =行，a = 2,b =母.故。的方程为二十 £ = 1.4222（2）因为椭圆方程为?十三=1,故网-形,0）山2,0）,当/斜率为。时AM或AN重合，不满足题意，故可设/： x = ty-42.22设"(5，y),%(%2，%)，则 x + % = -2孑 t I 2t I设"(5，y),%(%2，%)，则 x + % = -2孑 t I 2t I联立1十万=可得(r+2)/2啦/> 2 = 0 x = ty-yf2% =一%工2 -2 2 2fy2 /2 2 j% =一%工2 -2 2 2fy2 /2 2 j2t )2 -(2 + a(, + %) +(2 + &)/_(-2+/(江、I X% ).(2 +码 2产+2+ 何/_（2+ 可(+22 1 =I 一2(3 + 2何2故定值为2（五）与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线，写出向量系数的表达式, 再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.【例6】（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线。：±-=1（。0力0）的离心率为如，矿 b-2点4（6,4）在。上.（1）求双曲线。的方程.设过点3（1,0）的直线/与双曲线。交于2E两点，问在x轴上是否存在定点P,使得赤.而为常数？若 存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为双曲线C的离心率为直， 2所以（*=1 + :，化简得储=2".22 R 6将点A（6,4）的坐标代入泉方=1,可得/下=1,解得从=2,22所以。的方程为土-乙=1.42（2）设。（不*）,£（%,%），直线/的方程为1），联立方程组 V ,2 消去y得（1一242»2 匕一昼5MA2/4 = 0，由题可知1 242 wo且A。,4k2 所以2二+4-2k2设存在符合条件的定点P（，。），则丽=（芭-"J,丽=（，）， 所以 PDPE =（A：2-r）（x1 -tyy2 =（公 +1卜%2_, + 攵2）（% +马） +/+.所以而,而=（公+1卜2公-4） + 4公”+，） +02+攵2）（_2用, -1一2左2化简得赤而=（-2r+4-5） + （r4-2k2 +1 _Ot + At_5 t _4I 3因为所而为常数，所以:一,解得仁了.-214此时该常数的值为r-4 =学，16（13 、105所以，在x轴上存在点P -,0 ,使得赤.而为常数，该常数为I 4 ）1622【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知P（0,l）为椭圆C 3 + q = l内一定点，。为直线/： > = 3 上一动点，直线PQ与椭圆。交于43两点（点8位于P、Q两点之间），。为坐标原点.TT（1）当直线PQ的倾斜角为：时,求直线。的斜率;43（2）当aAOB的面积为不时，求点。的横坐标；（3）设衣=4万，= 试问丸-"是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为（，且所以直线PQ的方程为：y = x+i,fy = jc + l/ 、由=3 ，得。（23），所以直线。的斜率是曝=|；（2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为，=丘+ 1,工+匕=1由 43 ，得(3 + 4)f+8日8 =。，y =履 +18k8设 A&,y),8(9,%)，则% + %2 =勺=2,现 2 = 一773 +4k3 +4k所以,一% | = J(V+Z)24x/2 = 9；：?，所以 s AOB = -|OP|-|xl-x9| = 2也+= 2,“A°B 21-3 + 4公 2解得公=;,即女=±1 I,乙所以直线PQ的方程为y = ：x+l或y = -：x+l,由 =5»1,得。(4,3)；y = 3?_1 1由2 ，得 0(-4,3)；y = 3(3)易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为x = m(y-1),22工+乙=1由r 4 3,(4 + 3m2)(y-l)2+8(y-l)-8 = 0,x =QQ设则yt + %t =-/ a -(x-i)(y2T) = / a - 4+ 3根-4 4-5m所以 y T+%T = (y T),(%T)，因为而=4而，砺=刖,iyiy%-X =3 + 3-% = i 3-y3 %'a+1+i,2 _ 1 3 _ %2(1-3) + (1-必)+ 2(1 - x)(lf)(y2 T)(3-%)（六）与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题.一般是依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值22【例8】在平面直角坐标系xOy中，椭圆七：二+与=1（。0）的右准线为直线/,动直线a b） =依+"（左0,加0）交椭圆于AB两点，线段A3的中点为射线OM分别交椭圆及直线/于点P、Q,如图，当A3两点分别是椭圆E的右顶点及上顶点时，点Q的纵坐标为!（其中e为椭圆的离心率），且eOQ =瓜)M .