概(5)——概率论资料文档.docx
习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P 10<X<18.【解】设引表每次掷的点数，则丫=之*： /=1，1 c 1 c 1，1u 1/ I 7E(X J = 1 x F 2 x F 3 x + 4 x - + 5 x - 4- 6 x -=一,f 6666662E(X.2) = 12x1 + 22x1 + 32916 -1 - 6X26+- 6X216-16-从而gi (35Q(XJ = E(X：)-住 &)2=入-%o 2.)12又X|,X2,X3,X4独立同分布.从而 E(X) = E(之 X,) = W&XJ = 4x1 = 14,i=i=l244454sD(X) = D(X)= Z D(Xi) = 4x- = -.i=i=l"J所以35/3P1O<X<18) = P|X-14|<4>1-» 0.271,2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间 的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件？【解】令X1,若第i个产品是合格品, 0,其他情形.而至少要生产件，则=1,2,.,月.Xi，X2，X”独立同分布，p=PXi=)=0.8.现要求，使得nZx,尸 0.76 - 0.8V«x£x,-0.8 i=lx/ 产0.76 < < 0.84 > 0.9.n0.84 - 0.8 0 9由中心极限定理得0.84 一 0.80.84 一 0.80.76/?-0.8/2>0.9,(r整理得中 2 0.95,查表10佗268.96, 故取 “=269.3 .某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不 致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能最，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值?，而 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应 15机单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X8 (200, 0.7),E(X) = 140,D(X) = 42,0.95 = RO<X<m = P(X <m) =(P杳表知杳表知m- 40V42= 1.64,所以供电能151x15=2265 (单位).4 . 一加法器同时收到20个噪声电压匕(仁1, 2,，20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0, 10)上服从均匀分布.记 片之匕，求PV>105的近似值. k=【解】易知怎n)=5,Z)(Vk)= 12由中心极限定理知，随机变量2020V 100尹> 0.3871-(0.387) = 0.348,即有PV>105-0.348.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m,则X/3 (100, 0.2)从而PX 230 = 1 PX <30 t l-0)f 30-100x0.2 "<7100x0.2x0.8 J=I-0(2.5) = 1- 0.9938 = 0.0062.5 .某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员 任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就 拒绝这一断言.(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少？【解】X："' 0,第，人治愈, 其他.z = l,2,.,100.100令 x = Zx;I100X, > 75) = 1 - PX < 75) « 1 -O ?=i'75-100x0.8、<5/100x0.8x0.2 >=1-0(-1.25) = 0(1.25) = 0.8944. X8(100,0.7),100PZXj > 75 = 1 -PX W 75 k 1 -i=f 75-l(X)x0.7= 1-= 1-= 1-0(1.09) = 0.1379.6 .用L叩lace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有 20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X,则p=0.05,n=l 000,X8( 1000,0.05),£(X)=50, D(X)=47.5.20-5030、6.895；故PX =-V4Z5 Ia/475 ) 6.8957 .设有30个电子器件.它们的使用寿命Ti，Ao服从参数为=0.1单位：(小时)-1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推. 令7为30个器件使用的总计时间，求7超过350小时的概率.=0.1单位：(小时)-1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推. 令7为30个器件使用的总计时间，求7超过350小时的概率.【解】Eg) = : =4= 10,X U. 1= 100,E(r)= 10x30 = 300,D(T) = 3000.PT>350l-(l>f 35,-300、I V3000 )= 1-0(0.913) = 0.1814.9.上题中的电子器件若每件为。元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率 保证够用(假定一年有306个工作FI,每个工作日为8小时).【解】设至少需n件才够用.则E(7)=1(), D(7；)=IOO,E(7)=1 On, D(7)=100/7.从而 P£7； N 306X 8 = 0.95,即 0.05 « i=l306x8-101< ioG 0.95 二/1(功-2448)、10 册)244.81.64 =-n x 272.所以需272。元.10 .对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各 学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率？(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】(1)以XM=12.,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为易知 E (X/=l.l) ,D(X)=0.19,f=l,2,.,400.Xi012P0.050.80.15400而X = Z Xj,由中心极限定理得400EXl400x1.1 x-400x11 近似他，/=, N(0,l).V400X0J9 V4xl9于是 PX450 = 1-P(X<450 « 1-0于是 PX450 = 1-P(X<450 « 1-0450-400x1.1J4xl9= 1-0(1.147) = 0.1357.(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则y8(40008)由拉普拉斯中心极限定理得P y W 340 U中1：40-400x0.8 = O(2 5) = 0 9938k 7400x0.8x0.2 J11 .设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X8 (10000, 0.515)要求女孩个数不少于 男孩个数的概率，即求P X<50001.由中心极限定理有PX< 5000 x f ：OOO-1OOOOxO515 = O(_3) =。)=0.00135.<710000x0.515x0.485 ).设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计， 在一次行动中：(1)至少有多少个人能够进入？(2)至多有多少人能够进入？【解】用X表第，个人能够按时进入掩蔽体(/=1,2,.,1000).令SA=Xi +X?+. +Xi 000.(1)设至少有?人能够进入掩蔽体，要求巴WS£1000K).95,事件(l1000x0.9 <S“900m ' -Ui000x0.9x0.1 " 屈；由中心极限定理知：Pm <SJ = 1- PSn < 刈 = 1一.( 7TO00*。> 0 95 171000 x 0.9 x 0.1 J从而从而小-900、回><0.05,所以/2-9OO= -1.65,900-15.65=884.35=884 人 设至多有M人能进入掩蔽体，要求POWSWM*.95.M - 900屈= 0.95.M-900,查表知一=1.65.M=900+15.65=915.65=916 A.V90.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死 亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：(1) 保险公司没有利润的概率为多大；(2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB (10000, 0.006).(1)公司没有利润当且仅当T 000X= lOOOOx 12”即“X= 120”. 于是所求概率为PX = 120)PX = 120)1( 120-1 (XXX) xO.(X)6 )/9 IV10000 x 0.006 x 0.9940000 x 0.006 x 0.994 J 因为“公司利润*0000”当且仅当“0WX560”于是所求概率为PO<X<6()«0PO<X<6()«060-10000 x 0.006V10(XX)x().(X)6x 0.994 > 0-10000x0.006 1U10000 X 0.006 X 0.994 J= 0(0)-O(4=|«0.5.I 159.64 J.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契 比雪夫不等式给出P|X-HN6的估计.(20XX研考)【解】令2:*匕有E(Z) = 0,ZXZ) = D(X-y)= D(X) + D(y)-24屈。(乂)、。(丫) = 3.所以P(|Z-E(Z)|>6 = P|X-r|>6)<D(fy)= = -.14 .某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查 的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.(I)写出X的概率分布；(2)利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值. (1988研考)【解】(1)X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗 户出现的概率是0.2,因此，100,0.2),故X的概率分布是PX=k = Cf(x)O.2AO.8,ot>- Z = 1,2,100.(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件14WXW30的概率.由中心 极限定理，得P14<X<30)«<DP14<X<30)«<D30-100x0.2；'14-100x02、.7100x0.2x0.8 >=(2.5) - 0(-1.5) = 0.994 -9.33 = 0.927.15 . 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差 为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设Xj （i=l,2,簿）是装运i箱的重量（单位：千克），为所求的箱数，由条件知， 可把X，X?,Xn视为独立同分布的随机变量，而箱的总重量XX+X2+.+X“是 独立同分布随机变量之和，由条件知：凤 XJ = 50,x/D(XJ=5,E(G = 50,E(G = 50,依中心极限定理,T 50近似地当较大时，= N（0/）,故箱数取决于条件 5Jn7；, <5()(X) = P7；, <5()(X) = P50-5000 50一吊(1(X)0 1() ccrr 不小、 > 0.977 =. .r. 1000-10/? c / i 因此可从7= > 2解出<98.0199,/«即最多可装98箱.
