实变函数与泛函分析基础课件.ppt

第三节第三节第三节第三节 可测函数的构造可测函数的构造可测函数的构造可测函数的构造第四章第四章 可测函数可测函数可测函数可测函数可测函数可测函数l l简单函数简单函数简单函数简单函数是可测函数。是可测函数。是可测函数。是可测函数。l可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限极限。问：问：可测函数是否可表示成一列连续函数的可测函数是否可表示成一列连续函数的极限极限？l可测集可测集E上的上的连续函数连续函数为可测函数。为可测函数。鲁津定理鲁津定理实变函数的三条原理（）实变函数的三条原理（）（1）任一）任一可测集可测集差不多就是开集（至多可数个差不多就是开集（至多可数个开区间开区间的并）。的并）。设设f(x)为为E上几乎处处有限的可测函数，则上几乎处处有限的可测函数，则 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续。上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数即：可测函数“基本上基本上”是连续函数是连续函数.（2）任一）任一点点收敛点点收敛的可测函数列差不多就是的可测函数列差不多就是一致收敛列。一致收敛列。（3）任一）任一可测函数可测函数差不多就是差不多就是连续函数。连续函数。引理：引理：证明：由于证明：由于mE|f|=+=0，故不妨令，故不妨令f(x)为有限函数为有限函数(1)当当f(x)为为简单函数简单函数时时，当当当当x xE Ei i时，时，时，时，f(x)=cf(x)=ci i，所以，所以，所以，所以f(x)f(x)在在在在F Fi i上连续，而上连续，而上连续，而上连续，而F Fi i为两为两为两为两两不交闭集，故两不交闭集，故两不交闭集，故两不交闭集，故f(x)f(x)在在在在 上连续，显然上连续，显然上连续，显然上连续，显然F F为闭集，为闭集，为闭集，为闭集，且有且有且有且有设设f(x)为为E上几乎处处有限的可测函数，则上几乎处处有限的可测函数，则 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续。上连续。鲁津定理（Lusin）(2)当当f(x)为为有界有界可测函数可测函数时，时，存在存在简单函数简单函数列列n(x)在在E上上一致收敛一致收敛于于f(x)，由由n(x)在在F连续连续及及一致收敛一致收敛于于f(x)(x)，易知易知f(x)f(x)在闭集在闭集在闭集在闭集F F上连续上连续上连续上连续。利用利用(1)的结果知的结果知则则 g(x)为有界可测函数，应用为有界可测函数，应用(2)即得：即得：(3)当当f(x)为一般为一般可测函数可测函数时，作变换时，作变换g(x)为为E上几乎处处有限可测函数上几乎处处有限可测函数,则则使得使得 m(E-F)且且g(x)在在F上连续。上连续。故，故，f(x)在在F上为连续函数。上为连续函数。注注注注1 1：鲁津定理另外一种形式：鲁津定理另外一种形式：鲁津定理另外一种形式：鲁津定理另外一种形式：若若f(x)为为 上几乎处处有限的可测函数，上几乎处处有限的可测函数，使得使得在在F上上g(x)=f(x)且且m(E-F)，且且sup g(x)|xR=sup f(x)|xF；inf g(x)|xR=inf f(x)|xF；（对（对n维空间也成立）维空间也成立）【分】由鲁津定理：【分】由鲁津定理：则 及及R上的上的连续连续函数函数g(x)则 且且f(x)在在F上上连续连续。下面只需将下面只需将f(x)延拓为延拓为R上的上的连续函数连续函数g(x)即可即可。若若f(x)为为 上几乎处处有限可测，上几乎处处有限可测，aibi由于由于FC为为R上的开集，根据上的开集，根据R上开集构造，上开集构造，FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间开区间的并：的并：。b iai则则g(x)满足要求，且在满足要求，且在R上连续上连续.（参见课本（参见课本p91）注注2：鲁津定理的逆定理成立。：鲁津定理的逆定理成立。设设f(x)为为E上几乎处处有限的实函数，若上几乎处处有限的实函数，若 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续，则上连续，则f(x)在在E上为上为可可测函数测函数。例例例例1 1 1 1 对对对对 E R E R E R E R1 1 1 1 上的上的上的上的a.e.a.e.有限的可测函数有限的可测函数有限的可测函数有限的可测函数f(x)f(x)f(x)f(x)，一定存在一定存在一定存在一定存在R R上的连续函数列上的连续函数列上的连续函数列上的连续函数列 使使使使 于于于于E E。从而 令 ，即得我们所要的结果。证明：由鲁津定理另外的形式知再由Riesz定理，存在 的子列使 a.e.于E，习题选讲习题选讲