微积分下第一分册8.72极坐标下计算.ppt
2、二重积分的变量替换公式、二重积分的变量替换公式设设 为一个给定的二重积分，为一个给定的二重积分，其中被积函数其中被积函数在积分区域在积分区域D上连续，上连续，现作变量替换现作变量替换经过此变换后原来的经过此变换后原来的xy平面上的区域平面上的区域D变换为变换为uv平面平面而这个变换的逆变换为而这个变换的逆变换为上的区域上的区域 ，如果这个变换满足：如果这个变换满足：(1)在在上具有一阶连续偏导数；上具有一阶连续偏导数；(2)在在上雅可比式上雅可比式(3)D与与 的点之间有一一对应关系的点之间有一一对应关系;则有则有二重积分的变量替换公式二重积分的变量替换公式面积元素面积元素雅可比行列式雅可比行列式解解例例计算计算其中其中由由轴、轴、轴和轴和所围成的闭区域。所围成的闭区域。则则令令即即故故平面上任意一点的直角坐标平面上任意一点的直角坐标(x,y),极坐标极坐标上式可看成是从极坐标平面上式可看成是从极坐标平面到直角坐标平面到直角坐标平面的一种变换，的一种变换，即对于即对于平面上的一点平面上的一点通过上式变换，通过上式变换，且且这种变换是一对一的。这种变换是一对一的。平面上的一点平面上的一点变成变成3、极坐标下计算二重积分、极坐标下计算二重积分极点极点 原点原点r为点为点(x,y)到原点的距到原点的距离离 为向量为向量(x,y)的倾斜角的倾斜角度度所以由二重积分变量替换公式，可得到极坐标系下所以由二重积分变量替换公式，可得到极坐标系下二重积分变化公式为二重积分变化公式为要计算极坐标系下的二重积分，同样要把二重积分化要计算极坐标系下的二重积分，同样要把二重积分化为极坐标系下关于为极坐标系下关于r和和 的累次积分。的累次积分。二重积分化为累次积分的公式（）二重积分化为累次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图区域特征如图区域特征如图二重积分化为累次积分的公式（）二重积分化为累次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图二重积分化为累次积分的公式（）二重积分化为累次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域，当积分区域为圆域、圆环域或部分圆域，宜采用极坐标。宜采用极坐标。且且被积函数又呈被积函数又呈或或时，时，注注：解解例例1 1 写出积分写出积分的极坐标二次积分形的极坐标二次积分形式，其中积分区域式，其中积分区域 圆方程为圆方程为 直线方程为直线方程为解解例例2 2 计算计算，其中，其中D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域。的圆周所围成的闭区域。.注：注：此积分在直角坐标系下无法计算。此积分在直角坐标系下无法计算。在极坐标系下在极坐标系下.解解例例3 计算计算其其 D为由圆为由圆 及直线及直线 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解例例4 求曲线求曲线 和和所围成的图形的面积所围成的图形的面积.根据对称性可知：所求面积根据对称性可知：所求面积 为第一象限部分面积的为第一象限部分面积的4倍。倍。由由 得交点得交点 在极坐标系下在极坐标系下所求面所求面积积.二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式小结小结计算二重积分的基本步骤计算二重积分的基本步骤总结：总结：1、画出积分区域、画出积分区域D的草图；的草图；2、根据被积函数的特点和积分区域的形状，根据被积函数的特点和积分区域的形状，选取适当的坐标系；选取适当的坐标系；3、选取适当积分次序选取适当积分次序(若不是标准区域若不是标准区域,应先将应先将其分为若干个标准区域其分为若干个标准区域)4、确定积分限确定积分限,从而把二重积分化为累次积从而把二重积分化为累次积分分5、计算累次积分。计算累次积分。练练 习习 题题一、一、填空题填空题:1 1、将将 Ddxdyyxf),(,D为为xyx222+,表示为极坐表示为极坐标形式的累次积分标形式的累次积分,为为_._.2 2、将将 Ddxdyyxf),(,D为为xy-10,10 x,表表示为极坐标形式的累次积分为示为极坐标形式的累次积分为_._.3 3、将将 +xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的化为极坐标形式的累累次积分为次积分为_._.4 4、将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的化为极坐标形式的累累次积分次积分为为_._.5 5、将将 -+xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的化为极坐标形式的累累次积次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、计算下列二重积分计算下列二重积分:1 1、+Ddyxs s)1ln(22,其中其中D是由圆周是由圆周122=+yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2 2、+Ddyxs s)(22其中其中D是由直线是由直线xy=,)0(3,=+=aayayaxy所围成的区域所围成的区域.3 3、-DdyxRs s222,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx=+22所围成的区域所围成的区域.4 4、-+Ddyxs s222,其中其中D:322+yx.练习题答案练习题答案3 333p pR4 4、p p25一、一、1 1、rdrrrfd q qp pp p-q qq qq qcos2022)sin,cos(；2 2、-q q+q qp pq qq qq q1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、q qp pp pq qsec2034)(rdrrfd；4 4、q qq qq qp pq qq qq qsectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、q qq qp pq q2cossin0401rdrrd,12-.二、二、1 1、)12ln2(8-p p；2 2、414a；
