微积分下第一分册课件整理(重修)9.1-9.2.ppt

常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含自变量、未知函数及其导数的方程叫做含自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶.(本章本章内容内容)(n 阶微分方程阶微分方程)微分方程的基本概念一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是分类分类或或微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第一节微分方程微分方程 第九章 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同的阶数相同.特解特解引例引例1 通解通解:特解特解:微分方程的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解定解条件定解条件 转化转化 一阶微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 一、可分离变量方程一、可分离变量方程 分离变量方程的解法:两边积分两边积分,得得 则有则有其中其中C为任意常数为任意常数。例例1.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例2分离变量分离变量即即(C 0 )例例3.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为思考与练习思考与练习 求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)分离变量分离变量(2)方程变形为方程变形为C为任意正数为任意正数C为任意常数为任意常数二、齐次方程二、齐次方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:例例1.解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)例例2.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即(C 为任意常数为任意常数)三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:若若 Q(x)0,若若 Q(x)0,称为一阶称为一阶非齐次线性方程非齐次线性方程.1.解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为称为一阶称为一阶齐次线性方程齐次线性方程;的对应齐次方程的对应齐次方程2.解非齐次方程解非齐次方程(1)变量变换法变量变换法:令令其中其中u,v均为待定的关于均为待定的关于x的函数的函数代入到原方程得，代入到原方程得，整理得，整理得，令令则有则有解解得得代入到代入到中得中得对应齐次方程通解对应齐次方程通解(2)常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解故原方程的通解即即令令两端积分得两端积分得非齐次非齐次（1）变量变换法）变量变换法（2）常数变易法）常数变易法一、一、作变量变换，令作变量变换，令代入原方程。代入原方程。二、二、按按u整理方程左端。整理方程左端。三、三、令令u的系数为的系数为0，求出特定的求出特定的v。四、四、把把v 代入方程，代入方程，求出求出u。五、五、把把u,v代入代入y=uv。一、一、求其对应齐次方程的通解。求其对应齐次方程的通解。二、二、将齐次方程的通解中的常数将齐次方程的通解中的常数C变成函数变成函数C(x),即设出原非齐次方程的通解形式。即设出原非齐次方程的通解形式。三、三、将设出的通解形式代入原非齐次方程确定将设出的通解形式代入原非齐次方程确定C(x)。例例1.解方程解方程 解法一：解法一：设设代入原方程得代入原方程得令令则有则有解上方程得解上方程得代入到方程得代入到方程得即即变量变换法变量变换法C为任意常数。为任意常数。其对应的其对应的齐次齐次方程为方程为：即即积分得积分得即即令令则则代入非齐次方程得代入非齐次方程得即即故原方程通解为故原方程通解为C为任意常数。为任意常数。解法二：常数变易法解法二：常数变易法解得解得内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2.可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分分离变量后积分;根据定解条件定常数根据定解条件定常数.解解;阶阶;通解通解;特解特解4.一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 变量变换法变量变换法方法方法2 常数变易法常数变易法3.齐次方程的求解方法齐次方程的求解方法:作变量替换作变量替换 化为可分离化为可分离变量变量