人教版高中数学 1.2.2 集合的运算 课件一 新人教B必修1.ppt

12.2集合的运算 2021/8/9 星期一1知识整合知识整合2021/8/9 星期一21交集对于两个给定的集合A、B，由属于A又属于B的所有元素所构成的集合，叫做A和B的_，记作_2并集一般地，对于两个给定的集合A、B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的_，记作AB.3全集在研究集合与集合之间的关系时，如果_，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示特别警示：(1)全集决定了我们所研究的其他集合都是它的子集；(2)全集选择的不同，则运算的结果就有可能不同2021/8/9 星期一34补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由_，叫做A在全集U中的补集，记作UA.5交集的运算性质对于任何集合A、B，有(1)ABBA；(2)AA_；(3)A_；(4)AB_A，AB_B；(5)ABA_.2021/8/9 星期一46并集的运算性质(1)ABBA；(2)AA_；(3)A_；(4)AB_A，AB_B；(5)ABB_.7交集、并集、补集的关系A(UA)；A(UA)U.8常见结论(1)ABAAB；ABAAB；(2)A(UA)U；A(UA).2021/8/9 星期一59经验公式(1)U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)；(2)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(其中card(A)表示集合A中的元素的个数)对于(1)可理解：“并之补”等于“补之交”，“交之补”等于“补之并”可通过Venn图加以记忆2021/8/9 星期一6答案：1.交集AB2.并集3所要研究的集合都是某一给定集合的子集4U中不属于A的所有元素构成的集合5AAB6AAAB2021/8/9 星期一7名师解答名师解答2021/8/9 星期一81可否用Venn 图理解A与B的交集及A与B的并集的几种情况？(1)用Venn图表示AB有下列几种情况：(阴影部分为AB)2021/8/9 星期一9A与B相交，有公共元素，但互不包含A与B分离，无公共元素2021/8/9 星期一10(2)用Venn图表示AB有下列几种情况：(阴影部分为AB)2021/8/9 星期一11A与B相交，有公共元素，但互不包含A与B分离，无公共元素2021/8/9 星期一122设集合U为全集，集合A，B是全集U的子集，则有以下两个重要结论：U(AB)UAUBU(AB)UAUB.这两个结论，可否通过Venn图清楚明了地表示出来呢？2021/8/9 星期一13(1)用Venn图表示：U(AB)UAUB.2021/8/9 星期一14(2)用Venn图表示：U(AB)UAUB.2021/8/9 星期一15深入学习深入学习2021/8/9 星期一162021/8/9 星期一17答案：(1)C(2)A分析：注意集合M、P中的元素，确定出M、P，再求MP.2021/8/9 星期一18(1)解法一：M中x10，x1，即Mx|x1P中x30，x3，即Px|x3MPx|1x3，故选C.解法二：MP的元素不是(x，y)，排除A.比较B与C，取x1，1M，1P.1(MP)，排除B.比较C与D，取x2，2M，排除D.故选C.2021/8/9 星期一19评析：解法一是直接法，求交集、并集时一般需先具体确定集合再求；解法二是排除法，即抓住选择项之间的差异，采用取特殊值或举反例等办法排除错选择项，达到去伪存真的目的，此法对求解选择题很有效2021/8/9 星期一202021/8/9 星期一21评析：本节重点是交集、并集的概念，正确理解概念是进行集合间的交、并运算的关键关于定义需注意：AB中“或”的意义与日常用语中的“或”的意义不尽相同，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“xA，或xB”包括下列三种情况：xA，但xB；xB，但xA；xA，且xB.因为并不是任何两个集合总有公共元素，当A与B没有公共元素时，不能说A与B的交集不存在，而应说AB.2021/8/9 星期一22变式训练 1集合Ax|x23x20，Bx|x2ax(a1)0，Cx|x2mx20，已知ABA，ACC，求实数a、m的值解：ABA，BA.又ACC，CA.Ax|x23x201,2，Bx|x2ax(a1)0 x|(xa1)(x1)0，又BA，a12或a11.即a3或a2.当a3时，B1,2；当a2时，B1 2021/8/9 星期一232021/8/9 星期一24题型二 集合的运算【例2】设UR，已知集合Ax|5x5，Bx|0 x7，求(1)AB；(2)AB；(3)A(UB)；(4)B(UA)；(5)(UA)(UB)分析：本题是不等式问题，凡不等式中的交、并、补问题，可以画数轴解决2021/8/9 星期一25解：如下图(1)ABx|0 x5(2)ABx|5x7(3)如下图UBx|x0，或x7，A(UB)x|x5，或x7 2021/8/9 星期一26(4)如下图UAx|x5，或x5，B(UA)x|5x7(5)解法一：UBx|x0，或x7，UAx|x5，或x5如下图(UA)(UB)x|x5，或x7解法二：(UA)(UB)U(AB)x|x5，或x72021/8/9 星期一27评析：(1)数轴法的特点是简单直观，因此，要注意将数轴画出来，只有对数轴的运用达到熟练掌握了，就可以不必画数轴了，但也应在草稿上或自己的头脑中画出数轴，避免出错(2)要注意各个端点的画法：能取到端点的值时，用实心的点在数轴上表示；取不到端点的值时，用空心的圈在数轴上表示(3)一定要注意AUAU，AUA，从而决定端点的去留2021/8/9 星期一282021/8/9 星期一292021/8/9 星期一30题型三 利用韦恩图解题【例3】已知全集U不大于20的质数，M、N是U的子集，且满足M(UN)3,5，(UM)N7,19，(UM)(UN)2,17，求M，N.解：M(UN)3,5，3M,5M,3N,5N.又(UM)N7,19，7M,19M,7N,19N.2021/8/9 星期一31又(UM)(UN)U(MN)2,17，2M,2N,17M,17N.由以上分析，画出图又11U(MN)，11MN.11M(UN)，11N，或11MN.2021/8/9 星期一32又11(UM)N，11M，或11MN.11既不在M(UN)中，同时又不在(UM)N中，所以即11MN.同理，13MN.M3,5,11,13，N7,11,13,19评析：对于一些与数集有关的问题，直接凭空去想，很容易陷入误区，理不清头绪如果采用韦恩图来分析问题，则题目会变得很直观，很容易理清思路，使问题获解2021/8/9 星期一33变式训练 3某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数分析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成集合语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解2021/8/9 星期一34解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，由题意可知A、B、C 三集合中元素个数分别为27、25、27，AB、BC、AC、ABC 的元素个数分别为10、7、11、4.画出韦恩图，如图可知全班人数为101312647355(人)2021/8/9 星期一35评析：(1)能正确使用一些集合符号把文字语言转化成集合语言、图形语言是我们把实际问题转化成数学问题的重要一步，它实现了实际问题向数学问题的转化(2)一般地，用card(A)、card(B)、card(C)分别表示集合A、B、C 中元素的个数，则有card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)card(AC)card(ABC)2021/8/9 星期一36题型四 利用集合运算性质求参数的取值范围【例4】已知集合Ax|x24x30，Bx|x2ax1a0，Cx|x2mx10，且ABA，ACC，求a、m的取值或取值范围分析：可知求集合A，再由ABABA，ACCCA，然后根据方程根的情况进行讨论解：A1,3，Bx|(x1)(x1a)0ABA，BA.a13，或a11.a4，或a2.又ACC，CA.若C，则m240，2m4，所以PRQPx|x3(如下图(2)2021/8/9 星期一44评析：(1)在求集合的交集、并集、补集时，应首先求出各集合本题中，虽然表示集合元素的字母不同，但它们都是数集(2)在求集合的补集时要注意边界(3)求数集的交集、并集、补集往往借助于数轴2021/8/9 星期一45【例2】设Ax|axa3，Bx|x5，当a为何值时(1)AB；(2)AB；(3)ABA；(4)ARBRB.2021/8/9 星期一46(2)由补集的定义可知，AB的反面就是AB.当a2时，AB.(3)ABA，AB.由下图得，a35.即a5时，ABA.2021/8/9 星期一472021/8/9 星期一48题型二 解探索性问题【例3】已知A(x，y)|xn，yanb，nZ，B(x，y)|xm，y3m215，mZ；C(x，y)|x2y2144，问是否存在实数a，b使得(1)AB，(2)(a，b)C同时成立？分析：假设存在a，b，使得(1)成立，得到a与b的关系后与a2b2144联立，然后讨论联立的不等式组2021/8/9 星期一492021/8/9 星期一502021/8/9 星期一51评析：此解法中“0”仅是一个方程有解的必要条件，也就是说0只能保证直线与抛物线有公共点，但这个公共点不一定是整数点，进而再利用另一个条件，由于求得的a，b不能使两曲线的交点为整数点，所以符合题意的a，b就不存在了解答探索性数学问题，凡是涉及“是否存在”，“是否具有某种性质”等这一类的未定结论的讨论式探索性问题，我们总是先假定结论成立，进而进行演绎推理，在推导过程中，若出现矛盾，即可否定我们的假设，则问题的另一面成立；如果推导过程流畅，没有受阻，没有矛盾成立，一直能推导到符合已知的真理(公理、定理等)或已知条件，这时我们说假设存在2021/8/9 星期一52题型三 用“正难则反”的策略解题“正难则反”策略是指某一类问题从正面解决比较困难时，我们可以反面入手解决这种“正难则反”的解题方法，运用的就是补集思想，设全集为U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A.【例4】若三个方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围分析：此题若从正面入手，需对各种可能情况一一讨论，非常繁琐，若考虑反面，则只有一种情况：三个方程都没有实数解，利用判别式去求解，然后取补集即可2021/8/9 星期一532021/8/9 星期一54评析：一般地，如果一个数学问题从正面入手困难可作逆向思考则常可奏效如含有“至多”、“至少”等条件的题目，不要忘记取其补集1进行集合的运算时应当注意：(1)勿忘对空集情形的讨论；(2)勿忘集合中元素的互异性；(3)对于集合A的补集进行运算，勿忘A必须是全集的子集；(4)对于含参数(或特定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍 2021/8/9 星期一552在集合运算过程中应力求做到“三化”：(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的自变量的取值范围，或因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集？(2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题2021/8/9 星期一56【例5】已知集合Ax|x24ax2a60，Bx|x0，若AB，求a的取值范围解：由Bx|x0，AB可知，方程x24ax2a60至少有一个负根，因此本题要分：有两个负根、一负根一零根、一负根一正根这三种情况求解，比较麻烦，这时，我们不妨考虑问题的反面：方程x24ax2a60没有负根的情形2021/8/9 星期一572021/8/9 星期一582021/8/9 星期一59评析：(1)对于一些解题过程繁琐，难以从正面解决的问题，不妨从问题的反面入手，探求已知和未知的联系，用间接的方法将问题解决，我们称这种解决问题的策略为“正难则反”的策略，其实质是运用了“补集思想”(2)由于UA是A的补集，因此在解题时，遇到比较困难的问题，可以转化为求问题的反面，采用间接的方法将问题解决2021/8/9 星期一60题型四 数学在日常生活中的应用【例6】某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为()A10%B12%C15%D27%答案：A分析：这是一个小型应用题，把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助Venn图解决2021/8/9 星期一61解：不妨设调查了100户农户，U被调查的100户农户，A100户中拥有电冰箱的农户，B100户中拥有电视机的农户，C100户中拥有洗衣机的农户，由图知，ABC的元素个数为498544632590.U(ABC)的元素个数为1009010.故选A.评析：善于用数学中的集合知识解决日常生活中的实际问题，有时可以借助韦恩图2021/8/9 星期一62分析：首先假设这样的a存在，则AB成立，由此推出AB，则一元二次方程的判别式0，照此计算下去，结果就会显露出来2021/8/9 星期一632021/8/9 星期一64评析：本题有两个关键点：其一，由AB得A且B，因此，得到由判别式构成的不等式组其二，不等式组的解法，虽然在后面我们还将专门学习“一元二次不等式解法”，但根据实数的“同号相乘得正，异号相乘得负”的性质，我们现在也能解部分一元二次不等式，但要特别注意何时取交集，何时取并集2021/8/9 星期一65【例8】我们知道，如果集合AS，那么S的子集A的补集为SAx|xS，且xA类似地，对于集合A、B，我们把集合x|xA，且xB叫做集合A与B的差集，记作AB.例如，A1,2,3,4,5，B4,5,6,7,8，则有AB1,2,3，BA6,7,8，据此，试回答下列问题：(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求SA及SA；2021/8/9 星期一66(2)在下图中用阴影表示集合AB；(3)如果AB，那么集合A与B之间具有怎样的关系？2021/8/9 星期一67分析：本题是一道信息题，要求阅读理解题目中给出的信息，并给出解答考查同学们认知新知识的能力解：(1)SASAx|x是高一(1)班的全体男同学(2)如下图中阴影部分所示(3)AB.2021/8/9 星期一68