第三章 线性代数方程组的直接解法2.ppt

平方根法平方根法(Cholesky乔列斯基分解方法乔列斯基分解方法)当当 为实对称为实对称正定正定矩阵时，矩阵时，三角三角分解法的变形。分解法的变形。实实对称正定矩阵的几个重要性质对称正定矩阵的几个重要性质 A 1 亦对称亦对称正定正定，且，且 aii 0 A 的的顺序主子阵顺序主子阵 Ak 亦对称正定亦对称正定 A 的的特征值特征值 i 0 A 的全部顺序的全部顺序主子式主子式 det(Ak)0（充要充要条件）条件）3.3 平方根法平方根法（Cholesky分解）分解）如果如果 是是正定正定矩阵，则存在一个对角元素为矩阵，则存在一个对角元素为正数正数的的下三角下三角矩阵矩阵 ，使得，使得 。证明：证明：设设则则 的所有顺序主子式为的所有顺序主子式为正正矩阵矩阵 存在存在Doolittle分分解解易证易证其中其中 为为 的的主对角主对角元素，且有元素，且有单位上三角单位上三角记记其中其中思思想想 Cholesky分解的计算公式分解的计算公式设设由由 对应元素相等得对应元素相等得Cholesky分解公式分解公式因因对称性对称性无需存储无需存储Step1Step2Step3Stepn的计算过程的计算过程:逐逐 列列 计计 算算元素元素仍然存放在矩阵仍然存放在矩阵 的相应位置上的相应位置上矩阵矩阵 分解的实际计算公式分解的实际计算公式(算法算法3.3.1)：forforforfor例例5 5：用用Cholesky分分解法求解下列方程组解法求解下列方程组解：解：系数矩阵为系数矩阵为Step1Step2Step3求解方程组求解方程组求解方程组求解方程组 Cholesky分解法求解方程组中需说明的几个问题分解法求解方程组中需说明的几个问题工作量：约为工作量：约为 分解的分解的一半一半；不必选主元：不必选主元：的的正定性正定性和算法的和算法的稳定性稳定性稳定性：是数值稳定的；稳定性：是数值稳定的；缺陷：存在缺陷：存在开平方开平方运算。运算。改进方法：改进方法：分解分解改进的平方根法改进的平方根法 改进改进的平方根法的平方根法(/*Modified Square Rooting Method*/)当当 时时令令Step1Step2Step3时时Stepn例例6 6：用用改进改进的平方的平方根法根法求解下列方程组求解下列方程组解：解：系数矩阵为系数矩阵为Step1Step2Step3求解方程组求解方程组求解方程组求解方程组 分解公式分解公式(算法算法3.3.2)：求解方程组求解方程组等价方程组等价方程组forforfor先求解方程组先求解方程组再求解方程组再求解方程组方程组方程组求解求解的实际计算公式：的实际计算公式：