6-齐次线性方程组的解法.ppt
第三节第三节 齐次线性方程组齐次线性方程组设线性方程组设线性方程组 若记若记则上述方程组可写成向量方程则上述方程组可写成向量方程Ax=b.当当b=0时时,称为称为齐次齐次线性方程组线性方程组,否则称为否则称为非齐次非齐次线性线性方程组方程组.定义：线性方程组的同解变换定义：线性方程组的同解变换（1 1）交换线性方程组的任意两个线性方程式）交换线性方程组的任意两个线性方程式（2 2）线性方程组的任意一个线性方程式乘以）线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数非零常数k k（3 3）线性方程组任意一个线性方程式的常数）线性方程组任意一个线性方程式的常数k k倍加到另外一个线性方程式上去倍加到另外一个线性方程式上去初等行变换初等行变换线性方程组解的判别线性方程组解的判别一、齐次线性方程组解的判别一、齐次线性方程组解的判别推论推论 当齐次线性方程式的个数少于未知量的个当齐次线性方程式的个数少于未知量的个数即数即mn时，齐次线性方程有非零解。时，齐次线性方程有非零解。定理定理 已知由已知由m个齐次线性方程式构成的个齐次线性方程式构成的n元齐次线元齐次线性方程组性方程组AX0，那么，那么例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、齐次线性方程组的解法二、齐次线性方程组的解法故方程组有非零解，且有故方程组有非零解，且有由此即得由此即得例例2 2 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解故方程组有非零解，且有故方程组有非零解，且有则得到线性方程组则得到线性方程组第四节第四节 投入产出问题投入产出问题 投入产出投入产出是分析研究经济各个部分（作为是分析研究经济各个部分（作为生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂惕夫惕夫19331933年提出。年提出。投入产出分析的作用：n为编制经济计划，特别是为编制中、长期计划为编制经济计划，特别是为编制中、长期计划提供依据提供依据n分析经济结构，进行经济预测分析经济结构，进行经济预测n研究经济政策对经济生活的影响研究经济政策对经济生活的影响n研究某些专门的社会问题，如污染、人口、就研究某些专门的社会问题，如污染、人口、就业以及分配等问题业以及分配等问题一、投入产出平衡表一、投入产出平衡表投入产出平衡表（价值型）投入产出平衡表（价值型）产出产出投入投入Xi表示第表示第i个部门的总产品；个部门的总产品；yi表示第表示第i个部门的最终产品；个部门的最终产品；zj表示第表示第j个部门的总产品个部门的总产品二、投入产出平衡方程组二、投入产出平衡方程组1、产品分配平衡方程组、产品分配平衡方程组二、投入产出平衡方程组二、投入产出平衡方程组2、产品消耗平衡方程组、产品消耗平衡方程组三、直接消耗系数三、直接消耗系数定义：第定义：第j j个部门生产个部门生产单位产品单位产品消耗第消耗第i i个部门的产品量，个部门的产品量，称为第称为第j j个部门对第个部门对第i i个部门的直接消耗系数，记为个部门的直接消耗系数，记为a aijij,即即例：例：设整个国民经济分为农业、工业和其他三个部设整个国民经济分为农业、工业和其他三个部门，根据统计资料编出了简化的部门间联系平衡表，门，根据统计资料编出了简化的部门间联系平衡表，试求该经济系统的直接消耗系数矩阵？试求该经济系统的直接消耗系数矩阵？产出产出投入投入解：解：直接消耗系数的性质：直接消耗系数的性质：直接消耗系数也称为投入系数，是经济系统中生产一直接消耗系数也称为投入系数，是经济系统中生产一种产品对另一种产品的消耗定额，它充分反映了各部门种产品对另一种产品的消耗定额，它充分反映了各部门之间在生产技术上的数量依存关系，当生产及管理技术之间在生产技术上的数量依存关系，当生产及管理技术无显著变化时，直接消耗系数是不会改变的，因此也可无显著变化时，直接消耗系数是不会改变的，因此也可以称为技术系数。以称为技术系数。四、产品分配平衡方程组的解法四、产品分配平衡方程组的解法n问题问题1 1：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵A A，各部门在计划期内的最终产品，各部门在计划期内的最终产品Y Y下，如何预下，如何预测各部门在计划期内的总产出测各部门在计划期内的总产出X X？n问题问题2 2：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵A A，各部门在计划期内的总产出，各部门在计划期内的总产出X X下，如何测算下，如何测算各部门在计划期内的最终产品各部门在计划期内的最终产品Y Y？把直接消耗系数代入产品分配平衡方程组可得把直接消耗系数代入产品分配平衡方程组可得其中其中X X即为各部门的总产品量，而即为各部门的总产品量，而Y Y为各部门的最终产品量为各部门的最终产品量定理定理：产品分配平衡方程组：产品分配平衡方程组(I-A)X=Y有唯一解有唯一解且为非负解。且为非负解。结论结论：（1）若各部门的总产品量）若各部门的总产品量X已知，则各部已知，则各部门的最终产品门的最终产品Y可由可由Y=(I-A)X求得求得 （2）若各部门的最终产品）若各部门的最终产品Y已知，则各部已知，则各部门的总产品量门的总产品量X可由可由X=(I-A)-1 Y求得求得应用举例 已知一个经济系统包括三个部门，在报告期内的直接已知一个经济系统包括三个部门，在报告期内的直接消耗系数矩阵为消耗系数矩阵为 若各部门在计划期内的最终产品为若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120,y3=225，预测各部门在计划期内的总产出，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.解：列出此经济系统在计划期内的产品分配解：列出此经济系统在计划期内的产品分配平衡表。平衡表。产出产出投入投入由表可得到此经济系统在计划期内的产品分配平由表可得到此经济系统在计划期内的产品分配平衡方程组衡方程组整理上式得整理上式得解此方程组，对增广矩阵作初等行变换，直解此方程组，对增广矩阵作初等行变换，直到化为简化阶梯形矩阵为止。到化为简化阶梯形矩阵为止。
