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-空间几何体的外接球和内切球问题-第 4 页空间几何体的外接球和内切球问题类型1外接球的问题1.必备知识：(1)简单多面体外接球的球心的结论.结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.(2)构造正方体或长方体确定球心.(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法例1-3若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球半径为（ ）A. B. C. D.训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.25 B.26 C.32 D.36训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A.3 B.4 C.5 D.6例2-1（创新110页）体积为的三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120°，则球O的体积的最小值为()A. B.C. D.例2-1（创新109页）三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.23 B. C.64 D.类型2内切球问题1.必备知识：(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.【例3】 体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为_.空间几何体的外接球和内切球问题近几年高考题1、（2019全国1卷第12题）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，ABC是边长为2的正三角形，分别是，的中点，则球的体积为（ ）AB C D2、（2018全国3卷第10题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD3（2017全国1卷第16题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_4、（2017新课标全国理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.B.C.D.5、（2016年全国1卷第6题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 ( )（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 6、（2016年全国3卷第10题）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是( )(A)4 (B) (C)6 (D) 7、（2015年全国1卷第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）88、（2015年全国2卷第9题）已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）ABCD7.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B.16 C.9 D.9、（2013年课标1卷第6题）、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A、cm3B、cm3C、cm3D、cm310、（2012课标卷第11题）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）11、（2011课标卷第15题）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。12、（2010课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A） （B） （C） （D）
