2022年2022年专升本高数知识点汇总2第二章导数与微分.docx

第二章导数与微分【考试要求】1 .理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关 系,会用定义求函数在一点处的导数.2 .会求曲线上一点处的切线方程与法线方程.3 .熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的 求导方法.4 .掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定 的函数的求导方法,会求分段函数的导数.5 .理解高阶导数的概念,会求简单函数的阶导数.6理解函数的微分概念,掌握微分法则,了解可微与可导的 关系,会求函数的阶微分.【考试内容】一、导数（-）导数的相关概念1 .函数在一点处的导数的定义设函数y = /（x）在点七的某个邻域内有定义,当自变量在 七处取得增量1（点七+仍在该邻域内）时,相应的函数取 得增量每=/（毛+-）-/（%）;如果Ay与想之比当Ar f0时的 极限存在,则称函数y =）在点小处可导,并称这个极限为 函数 = /（%）在点处的导数,记为'（%）,即八%。）=而包=lim盘,也可记作必“布或誓说明:导数的定义式可取不同的形式,常见的有,（%0） = lim/（& + "）二）色）和,（）=lim /）;式中万，0h工-»廠x-x0的即自变量的增量盘.2 .导函数上述定义是函数在一点处可导.如果函数y = /（%）在开区 间，内的每点处都可导,就称函数”）在区间/内可导.这时, 对于任一g/,都对应着）的个确定的导数值,这样就构 成了一个新的函数,这个函数就叫做原来函数y =八%）的导函 数,记作,广），虫或也.显然,函数“在点七处的 dx dx导数）就是导函数r）在点X=/处的函数值,即 尸。）=/）3 .单侧导数（即左右导数）根据函数在点入。处的导数的定义,导数 。）=lim二0R是个极限,而极限存在的充分必 要条件是左右极限都存在并且相等,因此/。）存在（即）在 点X。处可导）的充分必要条件是左右极限!im八/ + ）一X。） 万h及所"）。）都存在且相等.这两个极限分别称为 力 5）+h函数人）在点七处的左导数和右导数,记作。）和0）, 即r（x0） = lim /（ + -/（.）,E。）= lim "+（固）.现在可以说,函数人幻在点。处 +h可导的充分必要条件是左导数。）和右导数。）都存在并 且相等.说明:如果函数1y）在开区间（。,内可导,且3）及®都 存在,就说）在闭区间上可导.4 .导数的几何意义函数y =八%）在点七处的导数r（不）在几何上表示曲线 > =/）在点M。,0）处的切线的斜率,即f':。）= tana, 其中a是切线的倾角.如果y = ）在点%。处的导数为无穷大, 这时曲线 =>/1）的割线以垂直于轴的直线 =%为极限位 置,即曲线y = /I）在点M。,/。）处具有垂直于轴的切线 x = xQ.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程,可得曲线 y = 1y）在点%）处的切线方程和法线方程分别为:切线方程:y-y。=7'。）7。）；法线方程:y-% =-JX）5 .函数可导性与连续性的关系如果函数y = /(x)在点/处可导,则f)在点x0处必连续, 但反之不一定成立,即函数y =)在点七处连续,它在该点不一定可导.(二)基本求导法则与导数公式1 .常数和基本初等函数的导数公式(1) (C)' = 0 ；(3) (sinx)z = cosx ；(5) (tan%)' = sec2x ；(7) (secx)z = secxtanx ；(9)(优)'二优 In a ；(H) (logx)' = -i-； xma(13) (arcsinx)' = - J；(15) (arctanx)'=二 ;1 +(2)="T ；(4) (cos%)'=-sin% ；(6) (cotx)'=-esc犬5(8) (escx)' = -escxcotx ；(10) exS = ex ；(12) (lnx)' = -； X(14) (arccosx)'= ；(16) (arccotx)'=二 ,1 +2 .函数的和、差、积、商的求导法则设函数=),=)都可导,则(1 ) (M±V)' = «'±V'；(2) (C“)' = C(C是常数)；(3) (wv)' = u'v + uv'；(4)，=吗叱("。 VV3.复合函数的求导法则设y = f®，而“ = g（x）且（）及g（x）都可导,则复合函数 y=/ig（%）的导数为 孚=半.半 或y（x）=r®g'（x）.ax du ax（三）高阶导数1.定义一般的,函数y =%）的导数=/）仍然是的函数.我 们把=尸）的导数叫做函数y =/）的二阶导数,记作或 喫,即=（或卓=半.相应地,把y）的导 dx-dxdx J数f'）叫做函数y = /"）的阶导数.类似地,二阶导数的导 数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,一般的, （1）阶导数的导数叫做阶导数,分别记作ym, y4）, ,严 或 ,，,也.厶 3 dxdx"函数y =八龙）具有阶导数,也常说成函数y）为阶可 导.如果函数人X）在点处具有阶导数,那么尤）在点的某 邻域内必定具有一切低于阶的导数.二阶及二阶以上的导 数统称为高阶导数.（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程,y） = 0所确定,即如果方程 ,y） = 0确定了一个函数关系y = 7）,则称=）是由方程頃尤,y) = 0所确定的隐函数形式.隐函数的求导方法主要有 以下两种:1 .方程两边对X求导,求导时要把y看作中间变量.例如:求由方程"+盯e = 0所确定的隐函数的导数.dx解:方程两边分别对求导,(/+e)；=(0)；,得/也+>虫= ,从而包.dx dxdxx + e'2 . 一元隐函数存在定理 包=一与.dx F；例如:求由方程"+e = 0所确定的隐函数的导数.dx解:设 F(x,y) = ey +xy-e,则上一,.dx F d / 丄 、e ' +xy (e +xy-e)oy(五)由参数方程所确定的函数的导数一般地,若参数方程二，确定y是的函数,则称此 函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数,其导数为=%,上式也可写成包= dx (p (t)dx今一dr人其二阶导函数公式为=""阳". dx(p (t)(六)幕指函数的导数一般地,对于形如 (%)"")( u(x) > 0 » (尤)wl)的函数, 通常称为累指函数.对于幕指函数的导数,通常有以下两种方 法:1 .复合函数求导法将專指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式,然后利用复合函数求导法进行求导,最后再把结果中的加心)恢复为)心)的形式.例如:求毫指函数=的导数包. dx解:因=/nx ,故包= a(exm') = /nx.(xln%y = %'(l + ln%). dx dx、 2 .对数求导法对原函数两边取自然对数,然后看成隐函数来求y对的导 数.例如:求幕指函数丫 =的导数包. dx解:对幕指函数y = x"两边取对数,得Iny = xlnx,该式两边对求导,其中y是的函数,得- -= l + lnx ,故 y dx=y(l + In %) = xA (l + In x).dx二、函数的微分1 .定义:可导函数y = f(x)在点0处的微分为 dy x=Xo= f'(x0)dx :可导函数y = /(%)在任意一点处的微分为 dy = f'(x)dx.2 .可导与可微的关系函数y =尤)在点x处可微的充分必要条件是y =人龙)在点 处可导,即可微必可导,可导必可微.3 .基本初等函数的微分公式(1) d(C) - Odx ；(3 ) d(sin x) = cos xdx ；(5) J (tan x) = sec2 xdx ；(7 ) d(sec x) = sec x tan xdx d(cscx) =-cscxcotx厶 ；(9) dax) = axnadx ；(11) d(log“ x) = dx ；(2)d(x") = x"T厶5(4)d(cosx) = -sinx厶 ;(6)d(cotx) = cscx :(8 )(10) d(ex) = exdx ；(12) J(lnx) =dx ； xxlna(14 )(16 )(13 ) d(arcsinx) = ,dx ；yjl - X?d(arccos x)=pJdx ；Vl-x2(15 ) 6Z(arctanx) = rdx；1 +厂6/(arccotx)=1 +4 .函数和、差、积、商的微分法则设函数 = (%),=(%)都可导,则(1) du + v) = du±dv ；(2) d(Cu) = Cdu (C是常数)；(3) d(uv) = vdu + udv ；/“、 vdu udv / 、(4) d()=；(uwO).v v5 .复合函数的微分法则设y = /(«)及u = g(x)都可导,则复合函数y = fg(%)的微分 为 = ,& = f'(%)<.由于g'(x)dx = d,所以复合函数 V =/g)的微分公式也可写成= /'(")"或dy = y'udu.由此可见,无论是自变量还是中间变量,微分形式 dy = /"()保持不变.这，性质称为微分形式的不变性.该性 质表明,当变换自变量时,微分形式=/()力/并不改变. 【典型例题】【例2-1】以下各题中均假定。）存在,指出A表示什么.1 .前盘匕込2 =解:根据导数的定义式,因Ax f O时,-Ax f O,故lim。-0%。）= _iim /（%以） /）=，®）,- Axf0Ax即 A = -/（x0）.2 .设lim2=厶,其中（） = ,且）存在.5 x解:因0）=0,且:存在,故lim = lim）一°）二（）,即=尸（0）.。x x-03. lim。+f。5.解:根据导数的定义式,因/z->0时,-/->0,故 =（天）+）=2）,即A = 2f（x0）.【例2-2分段函数在分界点处的导数问题. < 11.讨论函数人x)= 3 '在x = l处的可导性.X2, X > 1解:根据导数的定义式, 二3 2/'(I) = lim ," 1)= lim= -lim(x2+x + l) = 2, 5X-15 X-13 5r2 _±，小 rr3f+ （1） = lim-= lim- = +oo ,5x-I 田 x-1故Iy）在=i处的左导数=2,右导数不存在,所以（元）在 %=i处不可导.2.讨论函数（x） = <2 1x sin一,x。,在 = 0处的可导性. x = 0解:因 尸（） = lim /二/。x-0x2 sin 0= lim= limxsin = 0,故函数)在 = 0处可导.3.已知函数%)='九"1在工 = 1处连续且可导,求常 ax + b, x > 1数a和的值.解:由连续性,因7=1, /(r)= lim/(x) = limx2=l, /(1+) = lim/(x) = lim(ax + b) = a + b ,从而 a + Z? = 1再由可导性,尸=lim=lim-=lim(x + l) = 2 ,XT 厂X 1XT 厂 % 1 X->r=lim八")D =而”叱1 ,而由可得=1。,代 Xf+ X-l XT1+ X-入 ，得 X'(l)= lim (1)- = lim= a尸二刀可得。=2,代入式得人 = -1.【例2-3已知，）=血匹x<0 ,求r）.x, x>0解:当<0时,/")=(sinx)r = cosx,当工20时,/)=)'=1,当x = 0时的导数需要用导数的定义来求.夕/、 1.7(%) 一(0)1. sin% 1/ (0) = lim =lim=,x 0。 X./、 r /(x)-/(0)x-0九(0) = hm -=lim= 1,x-0x->o+ x,cosx, x<0£(0) = £(。) = 1，故。)=1，从而尸)=I 、1,x>0【例2-4】求下列函数的导数.1. y = e”(sin% + cosx).解:y' = (e")'(sin%+cos%) + e*=2excos x.2x2. y = sin. + x22 丫 、 x厶刀r,人角牛:y = sm =cos1 +丿! + ?2(1-2) 2x=-cos.(1 +r)1 + X"3. y = lncos(e*).解:y = in cos()=(匕 =-ex tan(ex).4. y = ln(x +J1 +).解:y' =ln(Jt + Jl + 12)=；Lx + y/1(sin x + cos x)'(2x YJ U + x2 Jf cos(ex)， (x + a/1 + 厂)+ x2_ 1【例25】求下列幕指函数的导数.1.内 (X>0).解:=(M="*")' 二 esinxlnx .(如X)'= xsinx(cosxlnx+-).X说明:本题也可采用对数求导法,即:对基指函数y = /n、两边 取对数,得Iny = sinxlnx,该式两边对求导,其中y是的 函数,得= cosxlnx + sinx故y9 = y(cos x In x+sin x )X,X2. y = A(x>0).11 + % 丿I' L1'，"”.xAn. Xxn-x解:y = = e ,+x = e_U+丿 _丄 l + x丿 y 1 + x 1 + x丿 说明:本题也可采用对数求导法两边取对数,得iny = xn-,1 + X= xsinx(cosxlnx +).X,Xr、-I x"X xln1 + % 丿即:对幕指函数 =上11 + % 丿该式两边对求导,其中y是的函数,得1, , X 1 +x y =lnF %y 1 + x x(白= lnl+x 1+xy, = y inInl+x l+x丿【例26】用对数求导法求下列函数的导数.1. y =x-v (x>o).解:等式两边取对数,得xlny =)，lnx,两边对x求导,注意y是 x的函数,得lny +二,y'= y'lnx +丄,整理得(-In x)' = - - In , yxyx2.y2flny x2 -xylnx解:等式两边取对数,得lny = lnx2 +11 x2 +1&2 +2 2+ 221ny = ln(x? +1)-1ln(x? +2),也即10 In y = 5 ln(x2 +1)-ln(x2 + 2),两边对x求导,注意y是x的函数,得10 ,10x 2xy =y x +1 x? + 210x 2x =上102+1 x2 + 2【例2-7】求下列抽象函数的导数.1 .已知函数）可导,求函数y = /（e熹）的导数. dx解:=/(戸)dx dx1 1 1 1/（而）.（加,=/（6,而smxsin ,v-cosxsin xcosxsin2 x2 .设函数，（x）和g（尤）可导,且尸（尤）+ g2（尤）工0 ,试求函数 y = r(尤)+ g"%)的导数dx解:r(X)+ g2(%)2，/-(x) + g-(%)2/(%)/'(x) + 2g(x)gx)2yfx) + gx)=/(%)/')+ g)g')7?)+ g2 )【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数y = y）的导数.1. x2 xy + y1 =0.解:方程两边分别对求导,得2%-y-也+ 2y也=0, dx dx整理得 2y）包= 2x-y,故 包=汩2 .dxdx x-2y说明：此题也可用隐函数存在定理来求解,即:设F（x,y） = x2-xy+y2,则 dy = F:= 2%_y.dx F； -x+2y x-2y解:方程两边分别对求导,得 电= 0 + /+%/虫, dxdx整理的(1-)虫=",故包=_J .dxdx 1 - xe'说明:此题也可用隐函数存在定理来求解,即：设F(x,y) = l+xey-y,则=工一=上-.dx F； xe' -1 1-xey【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数y = y(%)的导数.力 力一力- 1+rr+z- -1 -I 刀牛 犀角 2 角1 +1 t (M(M【例2-10】求下列函数的微分.1. /(x) = tan2 (1 + 2x2).解:因 fx) = tan2(1 + 2x2), = 2tan(l + 2x2)- sec2(1 + 2x2)- 4x,故 =于3dx = 8x tan(l + 2x2) sec2 (1 + 2x2 )dx.2. f(x) = e解:因 /,x)=户丫信 -2-xx 产丿 2y/l-x2Vl-X21Zx故 dy = fx)dx =. dx.Vl-x23. f(x) = x2arctanVx -1.1解:因 /'(x) = (x2 arctany/x- = 2xarctany/x- + x2,'1+x-lr 故 dy = f'(x)dx = 2xarctan V-X-l +, dx.L2%14. /(x) = sin2 xln(l + x2).解:因fx) = sin2 xln(l + x2) = 2sinxcosxln(l + x2) + sin2 x-,故 dy = f'(x)dx = sin2xln(l + x2) + dx.1 + x【例2-11求曲线y = xe、在点(0,1)处的切线方程和法线方程. 解:=卜"=，二,九=1,故曲线在点(0,1)处的切 线方程为y-l = l(x-0),即x-y + l = 0;法线方程为 y-1 = -l-(x-0)即 x+ y-1 = 0 .【例2-12】求曲线+=4在点(2,-2)处的切线方程和法 线方程.解:这是由隐函数所确定的曲线,按隐函数求导数,有2x+ y + xy' + 2y-y' = 0f即=+5由导数的几何意义, x + 2y曲线在点(2,-2)处的斜率为/x_2 =2£±2=1,故曲线在y=-2 X+2y y=-2点(2,-2)处的切线方程为y + 2 = l (x-2)9即x-y-4 = 0;法 线方程为y + 2 = l(x 2),即+y = 0.【例2-13I求椭圆" 2c°s在点公处的切线方程和法线方 y = 4sinZ 4程.解:将=三代入椭圆方程,得曲线上对应的点为(血,2血)， 4又/ = X = 4cos£ = _2cotf, 切线斜率为xt -2 sin ty' , =-2cotr .=-2 , 故所求切线方程为 t=t=2& = -20),即2x+y-4点=0;所求法线方程为 y-2V2 = -1(x-V2),即 x + 2y-542=0.【历年真题】、选择题1. (2010年,1分)已知，") = 1,则lim1一2)一/等于&.f°Ax(A) 1(B) -1(C) 2（D） -2解:根 据 导 数 的 定 义,同加2Ax）一川）=_2Um 川+ （-2a）一川）-*0Ax叔->02Ax=一2/=一2,选（D）.2. （2010年,1分）曲线二在点（口）处的法线方程为（）（A） y = x（B） y =+ 2 2（C） y=-+-（D） y=-2 22 2解:根据导数的几何意义,切线的斜率& =2%=2, 故法线方程为y-l =（x-1）, 即 y =F, 选 （B）.22 23. （2010年,1分）设函数）在点处不连续,则（）（A）r;0）存在（B）r0）不存在（C） lim）必存在（D） f）在点九X>00处可微 解:根据“可导必连续”,则“不连续一定不可导”,选项（B） 正确.4. （2009年,1分）若lim十»A演一/?）= 则=（）h（A）r。）(C)O(D)解:A = limf。+ 力”%。）71foh=r（M）+r1）=2，（。）,选项（B）正确.5. （2008年,3分）函数） = W,在点 = 0处）（）（A）可导（B）间断（C）连续不可导（D）连续可导解:由y）=国的图象可知,，）在点 = 0处连续但不可导, 选项（C）正确.说明:）=区的连续性和可导性,也可根据连续和导数的定 义推得.6. （2008年,3分）设f）在小处可导,且。）W0,则。） 不等于（）（A ） lim /（幻/®）（ B ）11m y。+ Av）-y。）- Ax（C ） lim /（/-）7a）（ D ）以Axlim。小）一。）（Ax）解:根据导数的定义,选项（C）符合题意.7. (2007年,3分)下列选项中可作为函数f(%)在点七处的导 数定义的选项是()(A) lim«/(x0+-)-/(x0)(B) lim "/(/)XT X-XQ(C) lim /(%+釵)一/一以)70Ax)1油,(。+3©)一，壽。+以)Ax解:选项 ( A)1/(x0 +-)-/(x0)limn/(x0 + -)-/(x0) = lim= £(%)，选项(C)n>qom一>oo1nlim /(+)一/(/) °Ax= 2If(x0),选项(D)驷，。+3Ax1(g +润会x°),故选(B).8. (2007 年,3 分)若/(“)可导,且y = /(2'),则=()(A)/(2(B) f(2x)d2x(C) /(2')W2X(D) f'(2x)2xdx解:因=毋(2*) = /'(2')"2'=(2')2”1112,故选项(B)正确.9. (2006年,2分)设“(X),(x)为可导函数,则d)=()/、du (A) dv/ 、 vdu udv(E)2u-(C) udv + vdu( D) 尻 dv - vduu2u2爲刀,、,u、, ,uv uv , u'vdx uv'dx vdu udv 、解： d(一)=(一)厶=-dx = 7= , 选V VVVV(B).10. (2005 年,3 分)设/(%) = x(x 1)(%2)(光99),则f'(0)=()(A) -99!(B) 0(C) 99!(D) 99解:当 = 0时,r）中除1）（尤2）（尤99）项外,其他全为零,故 尸(0) = (0 1)(0-2).(-99) = 一99!,选项(A)正确.11. (2005 年,3 分)设y = lnx,贝严=()(B )(A) (1)"!一" (-1)” (_)!/"(C) (1)"T( 1)!"(D) (1)"T!-"+1解:由 y = lnx可得,y = , y" = -, ym = = - = -,xx23 %34)=一三二一三,对比可知,选项(C)正确. X X12. (2005 年,3 分)但上=()d(x)(A ) cosx( B ) -sin x( C )2(D)解:t/sinx d(x2)cosxdx _cosx2xdx 2x选项（D）正确.二、填空题1. （2010年,2分）若曲线= /（%）在点（%,/（%）处的切线平 行于直线y = 2x-3,则/（%）=.解:切线与直线平行,则切线的斜率与直线的斜率相等,故 （%）=2.2. （2010 年,2 分）y = cos（sin ,则 dy=.解:dy = dcos（sin%） = -sin（sin x）cosxdx.3. （2008年,4分）曲线y = / + i在点（1,2）的切线的斜率等 于.解:由导数的几何意义可知,切线斜率=）=2X）=2.4. （2008年,4分）由参数方程"。确定的二.y = sin %dx解:女上四=卫=M"dx x （cosf）' -sin/5. （2006年,2分）曲线y = x+sin2元在点（1 +）处的切线方程是.解:切线的斜率=y'=（l + 2sinxcosx）=1,故切线 （,呷（時）方程为y_（1 + ） = -）,即y = % + L6. （2006年,2分）函数y（%） = %（/-1）忖不可导点的个数是.解:x)=ra+咼，x-° ,显然,当。时,"X)可导; x (1 +厂)，x<0、,d ，/、V /(工)/(°)(1+厂)当 = 0时,£(0) = hm丄“一“ = hm = 0 ,X+x 0x0+ X£(0): lim /)"°)= lim 一“ < +)=0,故 。)=0.X 0XT()+ X故函数，。)的不可导点的个数为0.7. (2006年,2分)设y = (l +丄)",贝=. X解:因.1 .xln(l+丄)xln(l+)111y =(1 + -) =e x =e x ln(l + -) + x-(-r)xx + 丄 xx= (l + -)vln(l + -),故 Jy = (l + -)"ln(l + -)Xdx. XX x+lXX x+l三、计算题1. (2010年,5分)设函数y=y(x)由方程2=%+>所确定,求3 解:方程2=%+y两边对x求导,考虑到y是的函数,得2»'ln2(y + x) = l +,整 理 得dx dxy2 'ln2 + %2 盯 ln2包=1 +, dx dx故 包=y2"n2-1.当 = 0时,代入原方程可得丫 = 1,所以dx l-x2 In 2电 I _ln2-l =ln2-l=ln2_1厶 l-x21n2 S 1说明:当得到2'ln2(y + 包)=1 +包后,也可直接将 = 0, dx dxy = l代入,得dydx故露=ln2l.2. （2010年,5分）求函数y = /nx （%>0）的导数.1解:=(1 =(潰 J =( nxlnx)'=戸际 Xlll X+SUI X -) Xsinh 1 sinx =x (cosxlnx +)x3. （2009年,5分）设=$山,求也.1 + xdx解: 因 y = sin, 故 =(sin1 + x2dx 1 + x2=cos1 + X" (1 + X )-2x 2(1 + x2)-2x-2x2-2x2 2xTV COS7(1 + X-). + X4. (2006 年,4 分)设 f(x)可导,且 f'(%)丁 f (J* 2) dx解: f(la2 -x2) = fblcr -x2) (V«2 -x2 )r dx2yJa2 -x2-2x 2x=, =.yfa2 - (Jcr - x2")2 2r - x2 |x|5. (2005 年,5 分)已知y<(%) = <sin tdt0 Xa,(1) /(%)在 = 0处连续,求a；(2)求八%).解:(1)因 lim/(x) = limsin tdt=limsinx = 0 ,故由T'(x)在X屮x = 0处连续可得,lim/(x) = /(0),即 a = 0.(2)当wO时,_f(x) =Xsin tdt0Xxsinx- f sintdtJox2sin tdtJo当x = 0时,/(0) = lim 0)/=lim= limx-»0 x -0 x , sin tdto2X故/')=<sinx 1=lim=.z0 2x 2xsinx- sintdtJox2 丄 5'