专题11以四边形为载体的几何综合问题-决胜2022年中考数学压轴题全揭秘（江苏专用）（解析版）.docx

决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）专题!1以四边形为载体的几何综合问题（Mil （2020<k迁）（«« （ 201»*UHN）（受式6 1（2020球!継二H ）【受式6 2（2020场州）（«« 31 （2019无）【考点6】关于四边形证明 与计U的综合18【零点1】特殊四边形 的判定»1 11 （2020通安）【犬式1-21 （2020福州）麦式1-31 （2020连港）W71 （2020*»l ：«）（«SC7 11 （2019 起城）【变式7 21 （ 2019.IMI）【竇式7 31 （2019曾云滋）【考点r】关于四边形同折 与期的解答题【考点2】四边形的 线核计漳问起（M2） （2020*ttM）（费式2 1 （ 201»>WiI）【変式2 21 （2019棚）式2 31 （ 20W.«B ）（MSI （2020.KM）【麦式«11 （2020原 B二> I9£CS-2 （2019,租）【零点8】关于四边形动点 综合问覇的解答遮专题11以四边形为载体的几何综合问题【考点3】四边形与点 的坐标问起M3 （2020柔州）««U 11 （2020!UWTB）«.t3 2 （ 2020市校级接拟）（変式3 3（2020逢云港）M91 （2019州）【資式9-11 （2019零州）（麦式9-21 （202。直淳区二） 【竇式9-31 （2020貝江区二）【考点9】关于四边形类比探究 问斌的解答这【零点4】四边形与 三角形函數问强（M4） （2020常州）（费式4-11 （ 2020三江区三修）（交式4-2（2020修中市覆）【灵式4-3】（2020金那自 »）压轴精缥（MSI （ 2020泰川区检修三） 査式5 !（2020潭图目T1） 写点”四边形身台.利価冋息1,35 21 （2020-s（"-">1壹式5 2（2020常川）典例剖析【考点1l特殊四边形的判定【例1】（2020宿迁）如图,在正方形ABC。中,点、E, 在AC上,且AF=CE.求证:四边形BEO是 菱形.BC【分析】由正方形的性质可得48=AO=CD=BC, NDAE=NBAE=NBCF=NDCF= 45: 由'SAS"可证ABE丝AQE, 8FC纟0C, 4ABE CBF,可得 BE=BF=OE=，可得结论.【解答】证明:.四边形ABC。是正方形，：.ABAD=CDBC, ZDAE= ZBAE= ZBCF= DCF=45° ,在A8E和AOE中,AB = AD Z.BAE = Z-DAEy AE = AE：./XABE /XADE (SAS), BE=DE,同理可得BFCgADFC,所以3F=OE在ABE和08中,AB = BC乙BAE =乙BCF, AE = CF：./XABE/XCBF (SAS),BE=BF,：.BE=BF=DE=DF,.四边形BE。是菱形.【变式1-1(2020淮安)如图,在E1ABC。中,点E、分别在BC、AD上,AC与E相交于点。,且AO=CO.(1)求证:(2)连接AE、CF,则四边形AECF是 (填“是”或“不是”)平行四边形.【分析】(I)由AS4证明AAO纟ACOE即可;(2)由全等三角形的性质得出。=E。,再由AO=CO,即可得出结论.【解答】(1)证明:.四边形A8C。是平行四边形，J.AD/BC,：.NOAF=NOCE,LOAF =OCE在 AAOF 和 ACOE 中，,40 = C。,Z.AOF =乙 COE：./XAOF/XCOE (ASA)(2)解:四边形AECF是平行四边形，理由如下:由(1)得:40F丝/iCOE,:.FO=E0,又：AO=CO,.四边形AEC是平行四边形:故答案为:是.【变式1-2(2020扬州)如图,回ABC。的对角线AC、8。相交于点,过点作丄AC,分别交AB、0c于点E、F,连接AF、CE.(1)若OE=,求EF的长;(2)判断四边形AEC的形状,并说明理由.【分析】(1)判定AOE/ZXCOF (ASA),即可得OE=OF=*,进而得出E的长;(2)先判定四边形AEC是平行四边形,再根据E丄AC,即可得到四边形AEC是菱形.【解析】(1) .四边形ABC。是平行四边形,：.AB/CD, AO=CO,：.ZFCO=ZEAO,又,:ZAOE= ZCOF,:,丛AOE9丛COF (ASA),OE=OF,：.EF=2OE=3；(2)四边形AECF是菱形,理由:VAAOEACOF, ：.AE=CF,AE/CF,四边形AEC是平行四边形EFLAC,四边形AEC是菱形分别相交于点M证出四边形BNDM是平行四边进而得出结论（2）由菱形的性质得出BMDM即可得出答案MN是対角线BD的垂直平分线MNLBD在MOO和N08中四边形BNDM是平行四边形MOD沿NOB (AA5)求证:四边形是菱形证0。空N08 (AAS),得出 OMNDMO=NBNO【变式1-3（2020连云港）如图,在四边形48C。中,AD/BC,对角线83的垂直平分线与边AO若BO=24, MN=10,求菱形BNDM的周长【解答】（1）证明:Z.DMO =厶 BNO 乙MOD=厶NOB 0D = OB,: MNLBD, .四边形BNDM是菱形;（2）解:.四边形 8M9M 是菱形,8D=24, MN=10,：.BM=BN=DM=DN, 08=扣0=12, OM=MN=5,在 RtABOA/ 中，由勾股定理得:BM= >JOM2 + OB2 = V5Z + 122 =13,.菱形 NCM 的周长=4BW=4X 13=52.【考点2四边形的线段计算问题【例2】（2020盐城）如图，在菱形A8C。中，对角线AC、8。相交于点。,H为BC中点,AC=6, BD=8.则线段。的长为（）C【分析】先根据菱形的性质得到AC丄血 OB=OD= 1BD=4, OC=OA= 1aC=3,再利用勾股定理计 算出BC,然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长.【解析】.四边形ABC。为菱形，:.AC丄BD, OB=OD= 1/?D=4, OC=OA=AC=3,在 RtABOC+，BC= <0B2 + 0C2 = V32 + 42 =5,:H为BC中点,：.OH=BC=.故选:B.【变式2-1】（2019镇江）如图,菱形ABC。的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧）,顶点、。在x轴 上方，对角线BO的长是:S3,点E（-2, 0）为BC的中点,点/3在菱形ABC。的边上运动.当点 F （0, 6）到EP所在直线的距离取得最大值时,点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABC。的边长等FG的值最大用相似三角形的性质构建方程求解即可当点G与点E重合时,连接AC交8。于H, PE交BD于J.设BC=2a如图2中,当点G与点E重合时,连接AC交8。于“，PE交BD于J.设BC=2o当点G与E重合时，G的值最大当点是A8的中点时,作用7丄FE于G,连接EF.【分析】如图I中，当点P是AB的中点时,作尸G丄P£于G,连接EF.首先说明点G与点E重合时B HG)C O图29：PA=PBf BE=EC=a,J.PE/AC, BJ=JH,四边形A8CD是菱形,：.ACVBD, BH=DH=里' 8=续, /. PE BD,: /BJE=NEOF=NPEF=9C ,/EBJ=/FEO,/XBJEs 丛 EOF,BE BJEF EO1yio6 .210 - 2：.a= I，.*.8C=2a=3故选:A.【变式22】（2019苏州）如图,菱形ABC。的对角线AC, BD交于点、0, AC=4, BD=16,将AABO沿点A到点。的方向平移,得到A8O当点与点。重合时,点A与点8之间的距离为（）BrA. 6B. 8C. 10D. 12【分析】由菱形的性质得岀AC丄BO, AO=OC=扣C=2, OB-OD= |BD=8.由平移的性质得出OC = OA=2, 05=08=8, ZCOB'=90° )得出AO'=AC+O'C=6,由勾股定理即可得出答案.【解析】.四边形ABC是菱形,1AC丄BD, AO=OC=2, 0B=0D= £>=8,:ABO沿点A到点C的方向平移,得到A6O,点与点C重合,，0'。=0=2, 05=08=8, NCO=90° ,：,A0=AC+0C=6,：.AB=的2 + 40,2 =/ + > =10；故选:C.【变式23】(2019宿迁)如图,矩形A8C。中,AB=4, BC=2,点、E、分别在A8、CD ±,且8£= DF=*.(1)求证:四边形AEC是菱形;(2)求线段E尸的长.【分析】(1)根据矩形的性质得到CD=AB=4, AD=BC=2, CD/AB, ZD=ZB=90° I求得CF =AE=4 =根据勾股定理得到AF=CE=12? +$)2 =,于是得到结论;(2)过作切丄A8于,得到四边形A"尸。是矩形,根据矩形的性质得到A/=OF=* FH=AD=2,根据勾股定理即可得到结论.【解答】(1)证明:.,在矩形A8C。中,AB=4, BC=2,：.CD=AB=4, AD=BC=2f CD/AB, ND=NB=90° ,BE=DF= I，：.CF=AE=4- = ：.AF=CE=卜 + 分=',:.AF=CF=CE=AE=.四边形AEC/是菱形:(2)解:过作尸?Z丄A8于,则四边形A“是矩形,：,AH=DF=, FH=AD=2,£:=怖 =1,【考点3】四边形与点的坐标问题例3 （2020常州）数学家笛卡尔在几何书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好 的东西,互相以长补短,在菱形ABC。中,AB=2, ZDAB= 20° ,如图,建立平面直角坐标系Oy,使 得边A8在轴正半轴上,点。在y轴正半轴上,则点。的坐标是 （2,百），【分析】根据直角三角形的性质可得04和。的长,根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案.【解析】.四边形A3。是菱形,且A8=2,：.CD=AD=AB=2,'：ZDAB= 120° ,N。4。=60° ,RtZkAO。 中,ZADO=30" ，A= ；AO= X 2 = I, OD= V22 l2 = V3,AC （2, V3）,故答案为:（2, V3）.【变式3-1（2020高邮市一模）如图,已知菱形A8C。的顶点A的坐标为（I, 0）,顶点B的坐标为（4,4）,若将菱形ABC。绕原点。逆时针旋转45°称为1次变换,则经过2020次变换后点C的坐标为（）A. （9, 4）B. （4, - 9）C. （ - 9, -4） D. （ -4, -9）【分析】根据360° +45° =8I可得菱形A8CO绕原点。逆时针旋转8次变换为次循环,由2020 8 = 252-4 , 4 X 45 = 180° »可得经过2020次变换后点C的坐标处于点C绕原点逆时针旋转180°的位 置.先求出C点的坐标，进而可得点C关于原点对称的点的坐标即为所求.【解析】:360° 4-45° =8,.菱形ABCD绕原点。逆时针旋转8次变换为一次循环，V20204-8=2524,.,.4X45 = 180° ,.经过2020次变换后点C的坐标处于点C绕原点逆时针旋转180°的位置.顶点A的坐标为（1, 0）»顶点B的坐标为（4, 4）,.".AB= J（4 I）2 + 42 =5,.四边形BC八是菱形，：.BC/AD, BC=AB=5,：.C （9, 4）,.经过2020次变换后点C的坐标为（-9, -4）.故选:C.【变式3-2】（2020海门市校级模拟）如图，已知梯形ABC。中BC。，4B=BC=CQ=。,点A与原点重合，点。（4, 0）在x轴上,则点C的坐标是（【分析】根据题意得出AF=1, EF=BC=AB=CD=2,进而利用勾股定理得出答案.（解析】过点8作BF丄AD,于点,过点C作CE丄AO于点E,.梯形48c。中8c A0, AB=BC=CD=AD,点A与原点重合,点。（4, 0）在x轴上,：.DE=AF=尹,：.AF=, EF=BC=AB=CD=2, ：.CE= VCD2 - ED2 = V3.则点C的坐标是:（3, V3）.故选:B.【变式3-3（2020连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3, 9）、（12, 9）,则顶点A的坐标为 （15, 3）.外0* 【分析】由图形可得MNx轴，MN=9, 8Ny轴,可求正方形的边长,即可求解.【解析】如图,正方形的边长为3BN=6：AB/MN,:.ABx 轴故答案为【考点4】四边形与三角形函数问题【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案在正方形ACQE、BCFG中顶点M、N的坐标分别为【例4】（2020 常州）如图,点C在线段A8上,S. AC=2BC,分别以AC、8c为边在线段AB的同侧作.MNx 轴,MN=9, BN/y故答案为”分别在边A8、似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到设正方形ABCD边长为9.r四边形BCGP是矩形4个全等的正方形小正方形如图放置在大正方形中CGFspge、【解析】如图所示【变式4-1（2020吴江区三模）如图,正方形ABCO中,内部有4个全等的正方形,小正方形的顶点E、过点G作GP丄A8,垂足为P,PGE,再由三角函数定义即可得出结果同理:AHEsPEG,得出/A£=N【分析】设大正方形的边长为9x,过点G作GP丄8,垂足为P,可以得到CGFsfgE,再根据相上，则 tan/AE/T/.CG=3x,BP=3x,同理AE=3x,EP=AB - AE - BP=3x,同理可证:AHEsPEG,：./AEH=4PGE,A tanZAEH=tanZPGE=務=貶=余故选:A.幺HDsB f Co24【变式4.2（202。扬中市模拟）如图,菱形A8CO的边长为5 sin/B心弓,则sin/BAO=石【分析】连接8。,交AC与点。,过点8作8E丄4。于点E,首先根据菱形的性质可知AC丄8。,解 三角形求出80的长,利用勾股定理求出40的长,即可求出AC的长,则菱形的面积即可求出,已 知，进而可求出8E的长,由正弦的定义即可求出sin/BA。的值.【解析】连接8D,交AC与点。，.四边形A8CO是菱形,；.AC 丄 BD,在 RtAAOB 中,VAB=15, sinNB4C=l 3 sxZBAC彳 =:.BO=9,：.AB2=OB2+AO2,：.AO= >JAB2 - OB2 =12,：.AC2AO=24,：.AD'BE= AC, 0: /D【变式4-3（2020金湖县一模）如图,菱形ABC。中,对角线AC=8, 80=6,点E是AB边上的中点, 连接CE,则lan/ACE的值为_二.4D.C【分析】作EF丄4c于F,设4C、8。交于点。,由菱形的性质得出OA=OC= %C=4, OB=OD= 士BD =3, ACLBD,则EBZ）,证出E是408的中位线，得出E尸=弓。8=热 则CF=OC+。=6,由 三角函数定义即可得出答案.【解析】作E丄AC于,设AC、8。交于点。,如图所示: .四边形A8CZ）是菱形,：.OA=OC= 1AC=4, OB=OD=BD=3, AC丄BD, :.EFBD, 点E是A8边上的中点,：.OF=AF=OA=2, E是AO8 的中位线, EF=OB, .* CF= OC+OF=4+2=6,/EF I 1 tanz_AC/s= =; CF 64故答案为:【考点5】四边形综合判断型问题【例5】（2020崇川区校级三模）在矩形4BCO中,M, N, P, Q分别为边A8, BC, CD, D4上的点（不与端点重合）,对于任意矩形A8CC,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在个四边形MNPQ是正方形,其中正确的结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据矩形的判定和性质,菱形的判定,正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论.【解析】如图,.四边形A8C。是矩形,连接AC, 8。交于。，过点。直线和QN,分别交A8, BC, CD, 于M, N, P, Q,则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNP。是平行四边形；故正确；如图，当时,四边形MNPQ是矩形,故存在无数个四边形MNPQ是矩形;故正确;如图，当丄QV时,存在无数个四边形MNP。是菱形:故正确；当四边形尸。是正方形时，MQ=PQ,则AM。纟。尸，：.AM=QD, AQ=PD,'：PD=BM,.AB=AD,.四边形ABCD是正方形,当四边形ABC为正方形时,四边形MNP。是正方形,故错误；故选:C.D【变式5-1(2020灌南县模)如图,正方形A8CO中,E、分别为8C、C。的中点,AF与DE交于 点G.则下列结论中:A尸丄。E； AD=BG；GE+GF=夜GC；S“gb=2S 四边形ECFG- 其中正 确的是()B E CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据正方形性质得出AO=8C=OC；EC=DF= ；8C； /A。=NCCE,证AC/WCE(SAS), 推出乙4FO=NQEC,求出。GF=90°即可判断;过8作84OE交A£)于交A于M,求出84 是AG的垂直平分线,推出是等腰三角形,即可判断:延长OE至M,使得EM=GF,连接CM,证 CEM纟CFG,推出CM=CG, ZECM=ZGCF,求出MCG是等腰直角三角形，即可判断;过 G点作厶AO,交AB亍T,交DC下L,则GL丄A8, GL1DC,证得OGfsCE,利用相似三 角形的性质求出SaDEC，S“G8，S四边彩ECFG的面积即可判断【解析】.正方形AB8, E,尸均为中点：.ADBCDC, EC=DF=BC在。和£)(7£ 中，AD = DC/.ADF = DCEDF = CE:./XADF4DCE (SAS)：.NAFD= ZDEC'：ZDEC+ZCDE=90°，N4FD+NC£)E=90° =NDGF：.AF±DE,故正确如图1,过点8作交40于”,交A于K'：AF±DE, BH/DE, E 是 8c 的中点：.BH±AG,，为的中点二8,是AG的垂直平分线：.BG=AB=AD,故正确如图2延长£>E至使得EM=GF,连接CM: ZAFD=4DEC：.NCEM= NCFG又.：E,尸分别为BC,C的中点：.CF=CE在CEM 和CFG 中,CE = CF乙 CEM =乙 CFG.EM = FG：.4CEM込4CFG (SAS):.CM=CG, NECM=NGCF,：ZGCF+ZBCG=90°：.NECM+NBCG= NMCG=90°.MCG为等腰直角三角形:.GM=GE+EM=GE+GF= V2GC故正确如图3,过G点作？IAO,交A8于,交OC于L,则GA,丄A8, GLLDC设EC=x,则£>C=2x, DF=x,由勾股定理得。E= 倔由 DE±GF,易证得OGps/xccEDE _ GF _ V5x"DF EC 一 S&DEC_V5 2 _ .5S&DGF 耳)1S&DGF= SaDEC:S 叭辿的 ecfg=Sdec - Sadgf= 5SADEC1 7,: SDEC= 2=厂' s四边形ECFG=广,SaDGF= a：DF=x* SaAGB=2S 四边形 ECFG 故正确,故选:D.图1【变式52】（2020常州一模）如图,四边形ABC、CEFG是正方形,E在。上且BE平分/OBC, 0是8。中点,直线BE、DG交于H. BD, A”交于M,连接0H,下列四个结论:QBE±GD；0H=鄂G；NA”O=45° ； GD= V2AM,其中正确的结论个数有()A,DBc GA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】山已知条件可证得BEC纟£>GC, NEBC=NCDG,因为/8OC+N£)8，+NEBC=90° , 所以/B£>C+N£)8H+NCOG=90° ,即 BE±GD,故正确;由可以证明8纟B"G,就可以得到DH=GH,得出OH是ABGD的中位线,从而得出结论. 若以8。为直径作圆,那么此圆必经过A、8、C、”、五点,根据圆周角定理即可得到*2=45° , 所以的结论也是正确的.由的五点共圆,可得NBAH=NBDH,而448D=NOBG=45° ,由此可判定ABMsdbg, 根据相似三角形的比例线段即可得到AM. OG的比例关系:【解析】正确,证明如下:'：BC=DC, CE=CG, NBCE=NDCG=90° ,.BEC丝GC (SAS),：.ZEBC=ZCDG,V ZBDC+ZDBH+ZEBC=90° ,；.NBDC+NDBH+NCDG=90° ,即 BE丄GO,故正确;平分N。BC,ZDBH= ZGBH.'：BE LGD,:.NBHD= NBHG=9Q° .在BHD和ABHG中NDBH =乙GBH BH = BH /BHD = Z.BHG：.BHDiBHG (ASA),：.DH=GH.。是8D中点,：.DO=BO.：.0H是BDG的中位线,：.OH=BG,故正确:由于/BA、NBCD、。都是直角,因此A、8、C、，五点都在以8。为直径的圆上:由圆周角定理知:NDHA = NABD=45:故正确;由知;4、B、C、0、”五点共圆,则/BAa=N8OH；又,： NABD= NDBG=45° ,: ABMsADBG,：.AM： DG=AB： BD=1： y2, BP DG= y2AM-.故正确;.正确的个数有4个.故选;D.【变式5-3（2019东海县模）如图,P为正方形BC。的对角线8。上任一点,过点尸作PE丄BC于 点、E, PF丄。于点尸，连接E尸.给出以下4个结论;尸PO是等腰直角三角形； AP=EF； AD=PD； NPFE=NBAP.其中，所有正确的结论是（）A.B.C.D.【分析】用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形,从而判定正确;直接用正方形的性质和垂直得出正确，利用全等三角形和矩形的性质得出正确,由点P是正方形对角线上任意一点，说明4。和PO不一定相等,得出错误.【解析】如图,B F. C为正方形ABCD的对角线BD上任一点,：.PA=PC, NBCD=90° ,1 .过点P作PE丄BC于点E, PF丄CD,：.ZPEC= NDFP= NPFC= NBCD=90° ,2 .四边形PEC是矩形,:.PC=EF,：.PA=EF,故正确,'：BD是正方形ABCD的对角线,NABD= ZBDC= ZDBC=45° ,: NPFC=NBCD=90° ,：.PF/BC,：.DPF=45° ,: NDFP=90° ,是等腰直角三角形,故正确,在以8和PCB中，AB = CB/.ABP = Z.CBP，BP = BP.必8也PCS (SAS),:.NBAP=NBCP,在矩形 PECF 中，/PFE= NFPC= NBCP, ；.NPFE=NBAP.故正确，.点P是正方形对角线BD上任意一点,J.AD不一定等于PD,只有/BAP=22.5"时,AD=PD,故错误, 故选:C.【考点6】关于四边形证明与计算的解答题【例6】（2019扬州）如图,在平行四边形ABCO中,AE平分/。AB,已知CE=6, BE=8, DE=0.(1)求证:ZB£C=90" ；(2)求 cos/DAE.【分析】（1）根据平行四边形的性质得出。C=A8, AD=CB, DC/AB,推出NOE4 = N£48,再根据 角平分线性质得出/。/。,推出。=。£=10,得出AB=C79=16,由勾股定理的逆定理即可 得出结论;（2）由平行线得出/A8E=NB£C=90° ,由勾股定理求出AE= 7AB2 + BE? =8,得出8$。 =cosZE4B,即可得出结果.【解答】（1）证明:.四边形A8C。是平行四边形，:.DC=AB, AD=BC, DC/AB,:.NDEA = NEAB,.AE平分Z。8,：.ZDAE=ZEAB,：.ZDAE= ZDEA.AD=DE=0,8C=10, AB=CD=DE-CE=6f'：CE+BE2 = 62+82=100=BC2,.BCE是宜角三角形，NBEC=90° ；(2)解:'."AB/CD,：.ZABE=ZBEC=90a ,：.AE= 7 AB2 + BE2 = "162 + 82 =8>/5,./r.厶" 1625/5.cosZDAE=cosZEAB= vf = -7= = f.AE 8755【变式6-1】(2020建邺区二模)数学课上,陈老师布置了一道题目：如图,在ABC中,A。是8c边上的髙,如果8+8。=。+。,那么4B=AC吗?悦悦的思考：A如图,延长DB至点E,使BE=8A,延长。至点F,使CF=CA,连接AE、AF.由是E/r的垂直平分线,易证/E=/上由/E=凡易证/ABC=NAC8.得至AB=AC.如图,在四边形 A8C。 中,AD/BC, AB+AD=CD+CB.求证:四边形A8CO是平行四边形.图图【分析】如图,延长至点E,使BE=BA,延长。C至点,使CF=CA,连接AE、AF.则/BAE = NE, ZCAF=ZF,证出AO是E的垂直平分线，则AE=A尸，由等腰三角形的性质得/E=NF, 证出/ABC=NAC8,即可得出4B=AC.如图,在"4的延长线上取点M,使4M=A8,在BC的延长线上取点M 使CN=CD,连接BM、 DN,先证四边形是平行四边形,得MB=ND, NM=NN,再证A8M纟C£)N (ASA),得AM =CN,证出AO=8C,即可得出结论.【解答】如图，解:ABAC,理由如下:延长DB至点£使BE=BA,延长。C至点凡 使CF=C4,连接AE、AF.图则 /B4E=N£, NCAF=NF,'：AB+BD=AC+CD,：.BE+BD=CF+CD,即 DE=DF,A£是E的垂直平分线,：.AE=AF,/.ZE=ZF,:.ZE= ZF= NBAE= ZCAF,ZA8C=ZE+ZB4£ ZACB= ZFZCAF,工 ZABC=ZACBt：.AB=AC.如图，证明:在D4的延长线上取点M,使A仞=A3,在5。的延长线上取点M使CN=CO,连接3M、DN,1,晓1N图则/M=/A8M, NN=NCDN,'：AB+AD=CD+CB,且 AMAB, CN=CD,：.AM+AD=CN+CB,即 DM=BN,又AD 8C,.四边形MBND是平行四边形,：.MB=ND, NM=NN,ZABM= ZCDN,zM =乙 N在ABM 和CDN 中,MB = ND, ABM =乙 CDN：./XABMCDN (ASA),:,AM=CN,/ DM=BN,:DM - AM=BN CM即 AD=BC,: AD/BC,四边形ABCD是平行四边形.【变式62】（2020扬州）如图1,已知点。在四边形8C。的边AB上,且。A = O8=OC=OO=2, OC 平分/BOO,与BD交于点G, AC分别与3。、。交于点E、F.(1)求证:0。AO；(2)如图2,若DE=DF,求的值;AF(3)当四边形A8CO的周长取最大值时,求一的值.DFDD图1图2【分析】(I)由等腰三角形的性质及角平分线的定义证得/AOO=NQOC,则可得出结论:AD r(2)证明AO和瓦)为等腰直角三角形,得出r=，2,证明AOEs。,由相似三角形 AO的性质可得出结论;(3)设 BC=CD=x, CG=m,则 OG=2 - m,由勾股定理得出 4 - (2 -，”)？=/ ,解得:m= 1x2, 可用x表示四边形BC。的周长,根据二次函数的性质可求出x=2时,四边形A8CO有最大值,得出 ZADF=ZDOC=60° , ZDAE=30° ,由直角三角形的性质可得出答案.【解答】(I)证明:；AO=。，.N04。= NA。，,: 0C 平分 8。，:.NDOC=NCOB,又: NDOC+NCOB= ZOAD+ZADO,：.ZADO= 4DOC,：.CO/AD；(2)解:如图1,D图104=08=0。,/. ZADB=90° ,设N£MC=a,则/ACO=NZMC=a.U：OA=OD, DA/OC,：.ZODA = ZOAD=2a,: NDFE=3a,: DF=DE,工/DEF=NDFE=3a,.*.4a=90° ,：.a=22.5° ,AZDAO=45° ,：./AOD和AB。为等腰直角三角形,：.AD=亜AO,ad r:.=y2, AO: DE=DF,:ZDFE=/DEF,*/ /DFE= 4AFO,:.ZAFO=ZAEDt又/ADE= NAO尸=90° ,)ADEsRAOF,AE AD r：.=V2.AF AO(3)解:如图2,DV OD=OB, NBOC=/DOC,:ABOgADOC (SAS), BC=CD,设 3C=C0=x, CG=m,则 OG=2-m, 9：0Ep - OG1=BC1 - CG1.4得 解.OD=OB, NDOG=/BOG,:.G为BD的中点,又:。为AB的中点, "AD20G4 , 四边形43C。的周长为 2BC+AD+AB=2x+4-x2 4-4= 一/ +8= - *(x 2)2 +10, =2时,四边形8C。的周长有最大值为10. BC=2, 8C0为等边三角形,A ZBOC=60° ,VOC/7AD,ZDAO= ZCOB=60° ,ZADF=ZDOC=6QQ ， ZDAE=30° ，ZAFD=90° ,DE9 DAV31，DF=DA, 32DE 2 VIDF 3 【变式6-3(2019无锡)如图,在回ABCO中,点E、分别在边4。、BC上,且QE=B凡 直线E与84、。的延长线分别交于点G, H.求证:(2) AG=CH.(1) /DEH坦BFG；【分析】(1)依据四边形A8C。是平行四边形,即可得到=N8, ZA/=ZG, DE=BF,进而得出 DEH”厶 BFG；(2)依据£>£7Z丝8FG,即可得到G8=/C,再根据AB=C£>,即可得出AG=CH.【解析】(1).四边形ABCO是平行四边形,J.AB/CD, NB=ND, AB=CD,.,.ZG=Z/,VZD=ZB, Z/=ZG, DE=BF,，厶DEHmBFG (AAS)；(2) ,.,E%Z8尸G,：.GB=HD,又,： AB=CD,:.GB- AB=HD- CD,：.AG=CH.【考点7】关于四边形翻折与旋转的解答题【例7】(2020南通二模)如图，在矩形4BCO中，AB=0, BC=m, E为BC边上一点,沿AE翻折 ABE,点B落在点F处.(1)连接CF,若CAE,求EC的长(用含m的代数式表示)；(2)若EC=g,当点落在矩形4BCO的边上时，求胆的值;(3)连接。F,在BC边上是否存在两个不同位置的点E,使得Saadl扣組彩abcd?若存在,直接写出胆的取值范围;若不存在，说明理由.D【分析】(1)利用平行线的性质证明£F=CE,推出B£=EC即可解决问题.(