中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析.docx

数学专题之【以三角形为基础】精品解析中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析 【100题精选】1 .（北京）在ABC中,BA = BC, ZBAC=a, M是AC的中点,P是线段 BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ.（1）若a=60。且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于 点D,请补全图形,并写出/CDB的度数;（2）在图2中,点P不与点B, M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于 点D,猜想/CDB的大小（用含a的代数式表示）,并加以证明;（3）对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某位置（不与点B, M 重合）时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接 写出a的范围.A AM B QQCC图1图2解:（1）补全图形,见图1； ZCDB=30°A （2）猜想:NCDB=90。a证明:如图2 ,连结AD, PCVBA = BC, M 是 AC 的中点,ABMIAC B .点 D, P 在直线 BM 上,APA = PC, DA=DC 又 ; DP 为公共边,AAADPACDPC .,.ZDAP=ZDCP, ZADP=ZCDP又PA = PQ, .PQ=PC 图 1 ；.ZDCP=ZPQC, ZDAP=ZPQCZPQC+ ZDQP= 180°, :. ZDAP+ ZDQP=180°.,在四边形 APQD 中,ZADQ+ZAPQ=180。ZAPQ=2a,，ZADQ= 180° 2a1 ZCDB=ADQ=90°-a 2 （3） 45°<a<60°提示:由（2）知ZCDB=90。a,且 PQ=QD A ZPAD= ZPCQ= ZPQC=2 ZCDB = 180。 2aC ,.,点 P 不与点 B, M 重合,.ZMADV ZPADV ZBAD 图 2 .,.a<180°-2a<2a, .,.45°<a<60°2 .（北京模拟）已知,点P是ZMON的平分线OT上的动点,射线PA交直 线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使ZAPB + ZMON=180°.（1）求证:PA = PB；数学专题之【以三角形为基础】精品解析PB(2)若点C是直线AB与直线OP的交点,当SaPOB = 3SZPCB时,求PC 的值;(3)若/MON=60。,OB=2,直线PA交射线ON于点D,且满足/PBD= ZABO,求OP的长.TTONONO备用图备用图(1)证明:当点A在射线OM上时，如图1作PE丄OM于E,作PF丄ON于FT 则/EPF+NMON=180° V ZAPB+ ZMON= 180°, .,.ZEPF=ZAPB,: ZEPA= ZEPF- ZAPF, ZFPB = ZAPB-ZAPFr.ZEPA=ZFPBOFB N ,.P 平分 ZMON, A PE=PF.,.EPAAFPB, .PA = PB当点A在MO延长线上时,如图2作PE丄OM于E,作PF丄ON于F则Z EPF+ZMON = 180°V ZAPB + ZMON =180°, ；.ZEPF=ZAPBV ZEPA= ZEPF- ZAPF, ZFPB = ZAPB-ZAPF ；.ZEPA=ZFPB,.P 平分ZMON, A PE=PF /.AEPAAFPB, APA=PB(2)解:VSAPOB=3SAPCB, .点 A 在射线 OM 上,如图 3TN图1TF图2B NIVPA = PB, :. ZPAB= ZPBA = 2180°- ZAPB)O图3IV ZAPB + ZMON = 180°, ZPOB = 2MON1A ZPOB=21800 - Z APB),ZPBC = ZPOBT又/BPC = NOPB, A APOBAPBC PB/.PC=SA=3SAPBCB N(3)解:当点A在射线OM上时,如图4 V ZAPB+ ZMON= 180°, ZMON=60°AZ APB =120°,，ZPAB=ZPBA=30°, ZBPD=60° ； ZPBD= ZABO, .,.ZPBD=ZABO = 75°2OBDNT数学专题之【以三角形为基础】精品解析作BE丄OP于EV ZMON=60°, OP 平分ZMON, .,.ZBOE=30° VOB=2, /.BE=1, OE3, ZOBE = 60°，ZEBP=ZEPB = 45。,，PE = BE=1；.OP=OE+PE3+1当点A在MO延长线上时,如图5此时ZAOB=ZDPB = 120。VZPBD=ZABO, ZPBA = 30°, ZPBD= ZABO= 15。作 BE丄OP 于 E, 则 Z BOE=30°VOB=2, ；.BE=1, OE3, ZOBE=60° A ZEBP= ZEPB=45°, A PE=BE=1 .*.OP=OE-PE3-1T图5N3 .(北京模拟)已知AABC和ADEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共 直角顶点,连接AD、BE, F为线段AD的中点,连接CF.(1)如图1,当点D在BC边上时,BE与CF的数量关系是, 位置关系是,请证明;(2)如图2,把ADEC绕点C顺时针旋转a角(0。<(1<9()。),其他条件不变, 问(1)中的关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出相应的正 确的结论并加以证明；BG(3)如图3,把ADEC绕点C顺时针旋转45。,BE、CD交于点G.若ZDCF 二30。,求 CG 及ACDC的值.FAAFED图3EED图1C图2解:(1) BE=2CE, BE±CF证明:.'ABC和DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点 AC = BC, DC=EC.,.BCEAACD, ；.BE=AD, NEBC=NDAC 1：F 为线段 AD 的中点, ；.CF=AE=DF=2ADA，BE = 2CE；AF=CF, .*.NDAC=NACED图13C数学专题之【以三角形为基础】精品解析V ZBCF+ ZACF=90°, A ZBCF+ ZEBC=90° 即 BE丄CF (2) 仍然成立证明：如图2,延长CF到H,使HF=CF,连接AH、DH VAF=DF, .四 边形 AHDC 为平行四边形AH = CD=CE, ZCAH= 180。- ZACDZBCE= ZBCA+ ZDCE- ZACD =180°- ZACD ZCAH=ZBCE又AC = BC, .,.CAH四/XBCE ；.CH = BE, ZACH=ZCBE ；.BE=CH = 2CFZCBE+ZBCH=ZACH+ZBCH=90° 即 BE丄CF(3)如图3,设BE、CF相交于点,则ZGOC=90。作BC的垂直平分线, 交 BG 于点 M,连接 CM 则 BM = CM, ZMBC=ZMCB, /. ZOMC = 2ZMBC VAC±DE, ZCDE=45°,，ZDCA=45° VZDCF=30°, .,.ZACH = ZCBE 二 15。Z. ZOMC=30°设 OG=x,则 CG=2x, OC3x, BM=CM=3x OM = 3OC=3x, MG=3x-x =2x.BG = BM+MG = 23x+2x, BO=BM + MO=23x+3x BG3x+2x，CG= =3 +1 2x图2AFD图3CENBO23x+3x= =3+2 OC3x过E作BC的垂线,交BC的延长线于NBNBO则 RNNEsRBOC,，EN=OC3+2设 EN=t,则 CN=t, CE=2t, BN=(3+2)t, BC=(3+2)tt=(3+ l)t 3+ l)tBC6 +2；.CE= 22tAC6+2VAB = BC, CD=CE, ；.DC= 24数学专题之【以三角形为基础】精品解析4.（上海模拟）如图,ZACB=90°, CD是/ACB的平分线,点 P在CD上,CP=2.将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角 板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别 交于点F、点G. （1）当点F在射线CA上时 求证:PF=PE.设CF=x, EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域.（2）连 接EF,当CEF与4EGP相似时,求EG的长.ACEB备用图(1)证明:过点P作PM1AC, PN1BC,垂足分别为M、N VCD是/ ACB的平分线,APM = PN由/PMC=NMCN=NCNP=90。,得/MPN=90° A Zl + ZFPN=90°VZ2+ZFPN=90°,，Z1 = Z2 /. APMFAPNE, A PF=PE解:VCP2, .,.CN=CM=1；CF=x, APMFAPNE,，NE=MF=1 x ；.CE=2-x CFCGxCGVCF/7PN,，PN=GN,即 1=CG+1MGCNEB x ，CG二1-x/.y= 1 x+2x (0<x< 1)(2)当ACEF与AEGP相似时,点F的位置有两种情况:当点F在射线 CA上时VZGPE=ZFCE=90°, ZlZPEG .,.ZG=Z1. ；.FG=FE, .,.CG = CE=CP在RtAEGP中,EG=2CP=22当点F在AC延长线上时VZGPE=ZFCE=90°, Z#Z2, ；.Z3=Z2 V Z1 =45°+Z5, Z1 =45°+Z2, Z5 = Z2 易证Z3=Z4,可得Z5=Z4r.CF=CP2, .,.FM2+1易证APMFgAPNE,，EN = FM2+1 CFCG21-GNVCF/7PN, ；.PN=GN,即 1=GNCEBA MGNB5数学专题之【以三角形为基础】精品解析.GN=2-1.,.EG=2-l+2+l=245 .(上海模拟)已知AABC中，AB = AC, BC=6, sinB=5.点P从点B出 发沿射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同, PQ与直线BC相交于点D.(1)如图,当点P为AB的中点时，求CD的长;(2)如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P、Q在移动的过程 中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由;（3） 如图,当PQ经过ABC的重心G时,求BP的长.B图BE图QQQ解:（1）过P点作PFAC交BC于F ,.点P为AB的中点,F为BC的中 点1，FC = 2BC = 3BFQVAB = AC, .,.NB = NACB VPF/7AC, AZPFB=ZACB AZB=ZPFB, ，BP=FP 由题意，BP=CQ,，FP = CQ VPF/7AC, ；.ZDPF=ZDQC又ZPDF=ZQDC, .,.PFDAQCD 13；.CD=DF=2FC=2图¢2）当点P、Q在移动的过程中,线段DE的长度保持不变 分两种情况讨论:当点P在线段AB上时过点 P 作 PFAC 交 BC 于 F,由（1）知 PB = PF VPE1BC, .BE = EF由（1）知PFDgZQCD, CD = DF1，DE=EF+DF=2BC = 3BQ图得点P在BA的延长线上时，同理可得DE=3.当点P、Q在移动的过程中,线段DE的长度保持不变（3）过点P作PEL BC于E,连接AG并延长交BC于H VAB=AC,点G为AABC的重心, AH±BC, BH = CH = 3 设 AH = x,则 AB = x + 3 = x + 9数学专题之【以三角形为基础】精品解析4x4 V sinB=5=5.解得 x=4x+914/.GH=3x=334 设 BP=t,则 BE=5t, PE=5tQ 3VBH= DE=3, ，DH = BE = 5tGHDH 由DGHs/DPE,得 PE=DE4335t533 即 4=3,解得 t=3BP=35t6 .（上海模拟）如图,三角形纸片ABC中,ZC=90°, AC=4, BC=3.将 纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处,折痕与BC、AB分别交于点E、F.（1）设BE=x, DC=y,求y关于x的函数关系式,并确定自变量x的取值 范围;（2）当ADF是直角三角形时,求BE的长;（3）当ADF是等腰三角形时,求BE的长（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切?若能，求BE的长;若不能, 说明理由.AADBCBCE解:：BE = x,，DE=x, EC = 3 x在 RtDEC 中,DC +EC =DE即 y +(3x)=x, .,.y=6x-9222222当D与C重合时,x最小3 即 y=6x9=0, x=2当E与C重合时，x最大,x=33.2<x<3 A(2)当/ADF=90。时,则 FBC.NAFD=NB,又,.,/EDF=NB7DBEC数学专题之【以三角形为基础】精品解析.NAFD=NEDF, ；.DEAB /.ADECAABC,二 DEECABBC3x15,即BE的长为1553,解得x =88当/AFD=90。时,则/BFE=NDFE=45。作 EG1BF 于 G1则 RtABEG sRtABAC :.BGEGBEBCACABVZC=90°, AC=4, BC=3, A AB=5BGEG34345,，BG =5x, EG =5；.FG=EG=43475x, DF=BF=5x+5x 二5由 RtAADFRtAABC）得ADDFAB = BC75:.4- 6x-9x =53,即 7x+36x-9 -12=02令 6x9 = u,则 x=u+962.7(u +926)+3u-12=0, .7u+ 18u-9=0解得uO (舍去)，u31 = 一3<2 =7 (32.,.x =7) +9=75,即BE的长为 7564949综上,当ADF是直角三角形时,BE的长为15758或49(3)当 AF=DF 时,则/A=NFDA VZFDE=ZB, ZA+ZB=90° ZFDA+ZFDE=90°,即 ZADE=90° A ED ± AC,，D 与 C 重合.,.x=1332BC= 2 ,即BE的长为2当 AD = DF 时,则 BF=DF=AD=4一6x-9，AF=5 一 (4一6x-9)=1 +6x-9作 DG丄AF 于 G,则 RtaADGsRtaABCAG=ll2AF= 2(1+ 6x-9)8ADBECABE(D)ADBEC数学专题之【以三角形为基础】精品解析AD AB4 - 6x - 95 AG=AC 1 = 421+6x-9)27375375 得 6x-9= 13,解得 x=169,即 BE 的长为 169当 AD = AF 时,则 AF=AD=4-6x-9.,.DF=BF=5-(4-6x-9)=l+6x-9 A作 FHXAD 于 H,则 RtAAFHRtAABCAHFHAFAHFH4-6x-9/.AC = BC= AB, .*.4=3= 5.,.AH =16-46x-912-36x-9, FH= 55HD 16-46x-94+46x-9.,.HC=4-= 554+46x-94-6x-9.*.DH=-6x-9=55 BEC在 RtADEH 中,DH +FH =DF2224-6x-9212-36x-922) + ()=(l+6x-9) 55令6x-9=t,代入上式并化简得15t+130t 135=0 2解得 t= 510-13 3.*.6x-9= 510-13250-6510250-6510«解得 x =,即 BE 的长为 327273375250-6510综上,当ADF是等腰三角形时,BE的长为2或169或27(4)假设过C、D、E三点的圆能与AB边相切.,DEC是直角三角形,.DE是圆的直径.,.ZDFE=90°, .,.ZBFE=90°；.D点在AB上,不可能.过C、D、E三点的圆不能与AB边相切(。与AB边相离)7 .(上海模拟)如图，在 RtABC 中,ZBAC = 90°, AB=6, AC = 8, AD± BC于D,点E、F分别是AB边和AC边上的动点,且ZEDF=90。,连接EF.DE (1)求DF的值;(2)设AE的长为x, 4DEF的面积为S,求S关于x的函数关系式;(3)设直线DF与直线AB相交于点G, ZEFG能否成为等腰三角形?若能, 求AE的长;若不能，请说明理由.A A ABDCBD备用图CBD备用图C数学专题之【以三角形为基础】精品解析解；(1) VZBAC=90°,，Z1 + Z2=9O°VADXBC, .,.ZC+Z2=90° r.zi = zc,.,ZEDF=90°, .,.Z3+Z5=90° VAD1BC,，Z4+Z5=90°2 r.Z3 = Z4F .,.ADEACDFDEADAB63，DF=CD=tanZC=AC = 8=4BD C AEDE3 (2) V AADEACDF, .,.CF=DF=4444，CE=3AE=3x, ；.AF=8-3xDEABVDF=AC, NEDF= NBAC=90°/.DEFAABCEF .=SAABCBCS21222 V S A ABC=2x6x8 = 24, BC =6+8=100242526422128384 .S=100(9x - 3x+64)=3x25x+2522128384 即 S = 3x25x+250<x<6)(3)假设AEFG能成为等腰三角形当点G在AB延长线上时,由于/GEF290。,所以只能EF=EG.*.ZG=Z6VADEFAABC, .,.Z6=ZCVZ1 = ZC, .,.ZG=Z1/.DA=DG = DF, ；.EF=AB, AEF =AB2526442Z.9x-3x+64=36.解得 x=6 (舍去)或 x=25 22FC GD42此时AE的长为25当点G在BA延长线上时,由于ZEFGN90。，所以只能FE=FG.*.ZG=ZAEF 10F数学专题之【以三角形为基础】精品解析DEDE! 而 tanZG=DG = DF+FG=4=35EF+EF35EFAFtan Z AEF=AE =483x x =244x3x:.24-4x124=,解得 x = 3x3524此时AE的长为54224综上所述,AEFG能成为等腰三角形,此时AE的长为25或58 .（上海模拟）如图,在 RtAABC 中,ZC=90°, AC=4, BC=5, D 是 BC 边上一点，CD=3, P是AC边上动点（不与A、C重合）,过点P作PEBC 交AD于点E.（1）设AP=x, DE=y,求y关于x的函数关系式;(2)以PE为半径的。E与以DB为半径的。D能否相切?若能,求tanNDPE 的值;若不能,请说明理由;(3)将AABD沿直线AD翻折,得到ABD,连接EC、BfC,当/ACE=N BCB时,求AP的长.APCBCBDD备用图解:(1)在 RtACD 中,AC=4, CD=3,二 AD=5 A5yAPAEx；PEBC, A AC = AD,即 4 = 5P5；.y=-4x + 5 (0<x<4)35 (2)对于。E, rE=EP=4x;对于。D, rD = DB=2；圆心距 ED = -4x + 5CDB35 当两圆外切时,rE+rD=ED,，4x + 2=-4x + 535 解得 x = 2,，PC = 2VPE/7BC, .,.ZDPE=ZPDCA11PCD数学专题之【以三角形为基础】精品解析PC5/. tan Z DPE=tan Z PDC=CD=635当两圆备用图(1)证明；CP经过BI，CP=2AB=AP,，ZA=ZACP又,.,ZACP+ZDCB=90°, ZCBD+ZDCB=90。ZCBD=ZA, XZBDC= ZACB=90° .,.BCDAABC(2)解:VBC=2, cotA=2, ；.AC=4过点 P 作 PE丄 AC 于 E,则 AP=5t, PE=t, AE=2tEC=42t, PCt+(42t) 由 ZPCE= ZCBD,得 RtACPERtABCDDPB12A数学专题之【以三角形为基础】精品解析SABC2S4.,.=(PC),即 1 = SACPEt+(4-2t)2(4-2t)t8t-4t.S=0<t<2) 5t-16t+162(3)当PC = PB时,有解得 t=lt+(4-2t)=210-5t8x1 - 4x14 当 t=l 时,S=55xl 16x1 + 162当 PC = BC 时，有 t+(42t) = 26解得tl=5, t2=2 (不合题意,舍去)6 当 t=5 时,S= 6628x5-4x(56265x(5-16x5+16 24=25 (平方厘米)424综上所述,当PC = PB时,ABCD的面积为5平方厘米;当PC = BC时, ABCD的面积为25平方厘米10.(上海模拟)如图，在RtAABC中，ZACB=90°, CE是斜边AB上的中 线,AB = 10, tanA4 = 3.点P是CE延长线上的动点,过点P作PQ丄CB,交 CB延长线于点Q.设EP=x,BQ=y.(1)求y关于x的函数关系式及定义域;(2)连接PB,当PB平分/CPQ时，求/PE的长;P于F,当ABEF和AQBFx的值.(3)过点B作BF丄ABPQB Q CCBC备用图BC4 解:(1)在 RtAABC 中,ZACB=90°, AB = 10, tanA=AC = 3B备用图，AC=6, BC = 8,CE是斜边AB上的中线,.CE=BE=2AB=5r.ZPCQ=ZABC13P数学专题之【以三角形为基础】精品解析又ZPQC=ZACB=90°, AAPCQAABC 8+yCQBC44；.PC=AB=5,即 5+x=54，y=5x-4 (x>5)(2)过点B作BH丄PC于H；PB 平分ZCPQ, BQ1PQ, .BH = BQ = y 324424：BH=5BC=5,，5x-4=5/. x = 11(3) VZBQF=ZACB=90°, ZQBF=ZA .'.ABFQAABC 当ABEF和AQBF相似时,则ABEF和AABC也相似 有两种情况: 当ZBEF=ZA时5在 RtAEBF 中,ZEBF=90°, BE=5, BF=3y544/.3(5x-4)=35,解得 x=10当ZBEF=ZABC时5在 RtAEBF 中,ZEBF=90°, BE=5, BF=3y543125.,.3(5x-4)=45,解得 x=16125.当ABEF和AQBF相似时,求x的值为10或1611.（上海模拟）如图1,在RtZAOC中,AO丄OC,点B在OC边上,OB = 6, BC= 12, ZABO+ NC=90。，动点M和N分别在线段AB和AC边上.（1） 求证:AOBs/COA,并求cosC的值;（2）当AM=4时,ZXAMN与4ABC相似,求AMN与ABC的面积之比;（3）如图2,当MNBC时，以MN所在直线为对称轴将AAMN作轴对称变 换得EMN.设MN=x, AEMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求y 关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.NOCOC B B图1图2解；（1） ；AO 丄 OC,，NABO+NBAO=90° V ZABO+ZC=90°, A ZB AO =ZC14数学专题之【以三角形为基础】精品解析 VZAOB = ZCOA, .,.AOBACOA A OB :OA=OA:OCVOB=6, BC=12, ：.6;OA = OA:18AOA=63，AC=OC+OA =18+ (63)=3:.cosC=OC183AC=(2) VcosC = 32, A ZC=30°VtanZABO=OA63OB63, A Z ABO=60°，ZBAC = sAABCVAM=4,AAMN :二30。,；.AB = BC=12 当ZAMN=ZABC 时(如图 1), AAMNAS2222SAABC =AB =4: AM :12=1 ：9 当ZAMN=ZC 时(如图 2), AAMNAACBVAM=4, AAMN : SAABC = AC =4 ：(3)=1 ：AS2222AM :27(3)易得SUAABC2 BOTA = 2x12x63 = 3VMN/7BC, AAAMNAABC .S2222 AAMN : SAABC =MN : BC , ASAAMN : 3=x，S32AMN4x当EN与线段AB相交时,设EN与AB交于点F (如图3) VMN/BC, .ZANM=ZC=30°，ZANM = ZBAC,，AM = MN=x以MN所在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMN ZENM= Z ANM = 30°, .,.ZAFN=90°2MN= 2AM= 2ASAFMN :SAAMN= MF:AM.y32=1:4x2 x : x= 1 :2.y=328x (0<x<8)当EN与线段AB不相交时,设EN与BC交于点G (如图4) VMN/7BC, ACN:AC=BM :ABACN :123=(12-x):12, ACN=123-3xVACNGACBA, as： sacng aabc =cn :BCAS (3- 3x )22ACNG :363= : 12AS32CNG4(123- 3x ).S3232阴影=SZABCSAAMNSACNG= 34 x 4 (123 3x)15AOBC图1AMOBC图2EOBC图3OCE图4数学专题之【以三角形为基础】精品解析2即y = -3x+183x-3 (8VxV12)12.(上海模拟)把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF如图1放置,使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC 边的中点重合,DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M.把三角板ABC 固定不动,将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转,设旋转角为a,其中。Va <90°,射线DF与线段BC相交于点Q (如图2).(1)当。VaV60。时，求ANFCN的值;(2)当。VaV60。时,设AM=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与 x的函数关系式并确定自变量x的取值范围;(3)当BM=2时,求两块三角板重叠部分的面积.EDDCNCBCF图2图1备用图F解:(1)ZXABC 和DEF 是等边三角形,.,.NEDF=NC=NZADM+ ZEDF= ZDNC+ ZC, :. ZADM = ZDNCAM AD /. AMD ACDN, .,.CD=CN.,.AM2CN = AD2CD：AD=CD = 2, /.AM2CN = 4（2）过点D作DP丄AB于P, DQ丄BC于Q （如图1）可得DP=DQ=3 4；AM = x, ；.CN = x32114.,.y = SAABC-SAAMD-SACDN=424 - 2x3 - 2x23323/.y=432xxl <x<4）图2（3）当M在边AB上时（如图1） VBM = 2,，AM = 2,即x = 2，y = 23,即两块三角板重叠部分的面积为3当M在AB延长线上时（如图2）设DE与BC交于点R,过点D作DGBC,交AB于点G则BG = BM = DG=2,，AM=6, BR=127；.CN = 3, ARN = 3173/.y = SADRN=233=616数学专题之【以三角形为基础】精品解析73综上所述,两块三角板重叠部分的面积为23和613.(上海模拟)如图,在AABC 中,ZACB=90°, ZA=60°, AC=2, CD ±AB,垂足为点D,点E、F分别在边AC、BC±,且ZEDF=60。.设AE=x, BF=y.(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当ABDF是等腰三角形时,求x的值;(3)以DF为直径的圆能否与AC相切?如果能,求tanZAED的值;如果不 能,请说明理由.AC B F解;(1)如图，作DG丄AC于G, FH丄AB于H, FK丄CD于K 在 RtZABC 中,ZA = 60。,AC = 2, A AB=4, BC = 23 13/.CD=3, AD=1, AG = 2, DG=2 13FH=2y, BH=2y AGDH = KF=CFcos30° = (BC -BF)cos30°33=(23y)x2 = 32y ECFBVZADG=30°, ZEDF=60°, A ZEDG+ZFDH=90°又ZEDG+ZDEG=90。,，ZDEG=ZFDH3122yDGFHARtADEGAFDH,，EG=DH,即 l=3x-23-2y33，y = x+l:当点E与点G重合时,点F与点C重合1/.自变量x的取值范围是2<x<2(2) BD = AB-AD=4-1=3 V ZDFB> ZDCB> ZB, DFDB3当 BF=BD 时,x+l=3,，x = 3 - 1当 DF=BF 时,则 DH = BH, 2BH = BD 17数学专题之【以三角形为基础】精品解析3即 2x2y=3, ：.y33x +1 = 3, *. x = 2(3)作DG1AC于G, DH1BC于H,设以DF为直径的。与AC相切于I, 连接OI则OI是梯形CFDG的中位线113531.I=2CF+DG)=2(23y+2)=4 - 2y113在 RtDFH 中,DH = 2BD=24-1) = 23FH = |CH-CF| = |DGCF| = |2(23y)|33=ly-2|9332由勾股定理得DF =DH +FH =4+(y-2)222由题意知 DF=2OL ADF =401 93325312 得 4+(y-2)=4(42y)2239133整理得23y=4,即y=83133111119；.x+l=8,，x=13,，GE= 13-2=2632DG133Z. tan Z AED=GE=9=92614.(上海模拟)如图,P是线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别 以AP、BP为边,在AB的同侧作等边AAPD和等边BPC,连接BD与PC交 于点E,连接CD. (1)当BC丄CD时,试求/DBC的正切值;AP(2)若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求此时PB的值;(3)记四边形ABCD的面积为S,当P在线段AB上运动时,S与BD是否 成正比例?若成正比例,试求出比例系数;若不成正比例,请说明理由.B PP备用图解；(1) ,.,等边4APD和等边4BPC182B数学专题之【以三角形为基础】精品解析CECDDBBC又 CP=BCCECEBCCP.PDBC,:.CEBECPBDCDCEBEDBCPBD,.,.CD = BEDEBEBEBD,即点E是线段BD的黄金分割点DEBE 5-1BEBD2又 PCADAPDE 5-1PBBE2 (3)设 AP=a, PB=b,则 S3232APD =4a,SABPC= 4bVAD/7PC, PDBC :. SAADSAPDSPCAPDC,SABPCBCSASA,AS3APDCSAAPD2SABPC =APDC SABPC4abAS=3224(a +ab+b)作 DH丄AB,则 DH = 312 a, BH= 2 a+bABD22BH2321222 =DH + =4 a +(2a+b)=a +ab+b BDEFBD交AC于F,交AB延长线于G, H是BC延长线上的点, 且 CH = BE,连接 FH.设 BE=x, CF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)连接AE,当以GE为半径的。G和以FH为半径的。F相切时,求tan/ BAE的值;(3)当BEG与FCH相似时,求BE的长.DDBCC备用图备用图CFCE 解:(1) VEF/7BD, .CD = CBy6x55 即 5=6, .*.y=2 12x 2(2) VCH = BE, BC = BE+EC, EH = EC+CH；.EH = BC = 6当以GE为半径的。G和以FH为半径的。F相切时,GE+FH=GF又 GE+FE=GF, .，.FE = FH133x 作 FM丄EH 于 M,则 EM = 2EH = 3, MC = 5y = 24 A3xVEM+MC=EC,，3+24=6x,解得 x=2DC H 3648 作 ENI AB 于 N,则 BN = 5BE = 5, EN = 5BE=5PECF于是PF=CH,即55212xx3-2