小升初常考内容十讲大全.docx

小升初奥数常考内容十讲第一讲计算综合【内容概述】L2.3.nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(n-l) XnX (n+1)4-3；从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：I2+22+32+-+ Z72=-xx(+ l)x(2+ l)平方差公式：a2b2=(a+b)(a-b).【典型问题】的麴级数：*1.已知 a二5,b2+r3+-+993+99+100，试比较a、b的大小.【分析与解】"二12+：i3+198+- A力=2+：3+-十二r98+- B其中 A=99, B=99+一.因为 A<B,100所以98+97+-<97+98+- A,96+98+-97+BA1T>98+, B98+-4>96+!97+98+- B3 +4 +I+ r98 + - B，所以有a < b.1i-+ r98+- A例殿级数：*2.试求2 +3+：r4+-1+1+ i+1r r的和？42005420051 T，则题目所要求的等式可写为:【分析与解】记=3+4+411 + x一+-2005H 11，而7 H；-2+ x i + J_1+ X所以原式的和为1.评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想.2.试求1+2+3+4+4+100的值？【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，（首项+末项）X项数+2=（1+100）X100+2=5050.2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 10099+ 98+ 97+ 96+4+ 3+2+1,所以两倍原式的和为101X100,那么原式的和为方法二：倒序相加，1+100+上下两个数相加都是101,并且有100组,101X1004-2-5050.方法三：整数裂项（重点），原式=（1X2+2 X 2+3 X 2+4X2+100X2）+2=1x2+2x(3-1)+3x(4-2)+4x(5-3)+100x(101-99)卜2=(+*2-+*3-+*2-+4*-*5-+4*5-4*4+100x101-9944)0-) h-2=100x101-2=5050.3.试求 IX2+2X 3+3X4+4X5+5X6+99X100.【分析与解】方法一：整数裂项原式=(lX2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+i+99X100X3)+3=1X2X3+2X3X (4-D+3X4X (5-2)+4X5X (6-3)+5X6X (7-4)+-+99X100X (101-98)4-3(1x2*3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+4x5x6-3x4*5+5x6x7-4x5x6+99x100x101-98x99x100)4-3=99x100x1014-3=33x101x100=3333x100=333300.方程二：利用平方差公式+22+3a42+/=2="X(+1)X (2+1)6原式：r+l+22+2+32+3+42+4+52+5+*+992+99=12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+9999x100x19999x100=+62=328350+4950=333300.5.计算下列式子的值：0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8x 10.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算.即先计算 IX3+2x4+3><5+4x6+97x99+98X100。再除以100.方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8x10.0=(1 X 3+2 X 4+3 X 5+4 X 6+-+97 X 99+98 X 100)4-100=(1X2+1)+(2X 3+2)+(3X 4+3)+(4 X 5+4)+(97 X 98+97)+(98 X 99+98)4-100=(1X 2+2 X 3+3 X 4+4X5+97X98+98X99)+(1+2+3+4+97+98)+100=(-X98X99X 100+- X98X99)4-10032=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8X10.0=(1 X 3+2 X 4+3 X 5+4 X 6+-+97 X 99+98 X 100)4-100=(l2-l+22-l+32-l+4-l+5-l+-+99-1)4-100=(1'+22+32+42+52+99-99)4-100=(-X99X100X 199-99)+1006=16.5X199-0.99=16.5X200-16.5-0.99=3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.1X2+2X3+3X4+(n-l) Xn=-X lX2X3+2X3X3+3X4X3+(n-l) XnX33=-X 1X2X3+2X3X (4-D+3X4X (5-2)+(nT) Xnn+l-(n-2)31Ix2x3-2x3xl+2x3x4-3x4x2+3x4x5+x3-(n -1) x n x (n -2)+(n -1) x /? x (n 4-1)=-x (n -1) x / x (n +1)6.计算下列式子的值：/111、/11124x(1F H)(下+-；)2x34x520x21 I212+2212+22+102【分析与解】虽然很容易看出2x3- 2 3'4x5 -4 5可是再仔细一看，并没有什么效果,因为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式l2+22+32+-+n2=- XnX(n+l) X (2n+l),于是我们又有 612 + 22 +32 + +2 nx(n + l)(2n-l)减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?c, ,1124x(+2x3 4x5= 24x(= 24x(1 1 FF 2x3 4x51 1 1F 2x3 4x520x211)-(3+20x211)-6x(12+2211 、+i7)12 + 22+ +1021 11+1x2x3 2x3x520x21)-24x(,FF2x4x3 4x6x510x11x121)20x22x21= 24x (2x3 2x4x3) + (4x5 4x6x5)+ +(20x21 20x22x21)，1 1= 24x(+2x4 4x6,1 1= 6x(+1x2 2x3=6x (1)116020x2210x1111)7.计算下列式子的值:(1 + - + - + - + 2 3 4+-)2 + (- +1980122+，+ +，)2 + (阜+51980125 61 1F -3 41+L +，)2+(L51980123 4+ 198012/H198012)2+ +(198012)2+(+LW+ +，)2345198012【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;1,1,1(1+ Q +(7)+(1+半=4；222(1+汾+(沁、(扑呜+*(14+l4)2+(rl4)2+(ri)2+(l)2+(1+rri)=8;所以原式=198012 X 2=396024.习题计算17X 18+18X 19+19X20+-+29X30的值.提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(29X30X31-16X 17X18)4-3=29X 10X31-16X 17X6=7358.第二讲数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题.典型问题1. ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A, B, C, D, E, F, G代表1至9中的不同的数字.已知ABCD+EFG=1993,问：乘积ABCDXEFG的最大值与最小值相差多少？【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小.A显然只能为1,则BCD+EFG=993,当ABCD与EFG的积最大时,ABCD、EFG最接近,则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234,对应EFG为759,所以有1234X759是满足条件的最大乘积：当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大,则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234,对应BCD为759,所以有1759X234是满足条件的最小乘积；它们的差为1234X7591759X234-(1000+234) X759一(1000+759) X234=1000X (759234)=525000.2.有9个分数的和为1,它们的分子都是1.其中的5个是另外4个数的分母个3791133位数字都是5.请写出这4个分数.【分析与解】1_（LLLL_L）=2xioi = mi。37911333x3x7x113x3x5x7x11需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3X3X7X11的约数.因此,它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693.经试验得693+231+77+9=1010.所以，其余的4个分数是:J_ J_ J1_5' 15, 45* 385113 .+1988=请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式.就得【分析与解】1988=2X2X7X71=4X497,-+-=在等式两边同时乘上一，12434971 1+5964 1988.显然满足题意. 1491又+ -35 14 10两边同乘以,142就得1 1+4970 1988.显然也满足. 1420一+一=一，一+一=一均满足.3053198812048094198815964 .小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数。1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14-1的表中.有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正.问改正后的两个数的和是多少？表14-1结甲工0.6252 TA 1432.12325.054 TT644系12213223.4J33T1.52917【分析与解】甲组的前三个数0.625,一，二都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05,3143251517174一，4一；不论减1还是加1后，这三个数都比2一大，而这是2与小于1的数运算的结果，因64163232此可以猜想方框内是除号.现在验算一下：172813152上X-=332-33226417工28£1463152X 二=332.1432916162818814-0.625=- X -=一=4.05325172724-3=.3232从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4上是错的.16按照算式乙组的数+甲组的数+1*才有224-3+1=1-,显然不为1.5,上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5,3121.54-3+1=1-,而1.5+0.625+1=3.4,1.54-+1=3.25.23由此可见，确定的算式*是正确的.515表中有两个错误，4一应改为4一，2应改为1.5,16167改正后的两个数的和是6.165.图143中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形.现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上，再把L 2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个项点上.(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由.图14-3(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理山.【分析与解】(1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等.事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次.因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(l+2+3+4)+3X (l+2+3+4)+2X (1+2+3+4),即8k=60, k 不为整数，矛盾，所以假设是错误的.(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1+1+2=4,最大为3+4+4=11.而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一.图(a)和图(b)是两种填法.图(a)图(6)6.图145中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.【分析与解】表述1：设每行的和为S,在左下图中，除了 a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4s=(1+2+3+ll)+a=66+a；在右上图中除了 a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5s=（1+2+3+11）+4a=66+4a.综合以上两式44s =66+ a 55=66+4(2)义5-X4得66-lla=0,所以 a=6,则 S=18.考虑到含有*的五条线，有4*+（1+2+3+4+五条-t=5S=90.即4*-t=24,由t是111间的数且tW*,可知*=7,而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x,首先考虑以下四条直线：（h、f、a）,（i、g、a）,（x、d、b）,（j、e、c）,除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S,则有：（1+11） XII-?2+a=4S,即66+a=4S.再考虑以下五条直线：（h、f、a）,（i、g、a）,（j、x、a）,（e、d、a）,（c、b、a）,同理我们可得到66+4a=5S.66+ a =45.综合两个等式，可得a为6,每条直线上和S为18.66+4a =5s最后考虑含 x 的五条直线：（x、h）,（x, g、f）,（j、x、a）,（x、d, b）,（i、x、c）.其中除了 x 出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4x-e=5S=90,即4x-e=24,由 e 是111间的数且 e#x 可知 x=7.即每行相等的和S为18,*所填的数为7.7.一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数.已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数.2.34S【分析与解】方法一：一=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=7777760.714285,-=0.857142.7对应有142857,285714,428571,571428,714285,857142,它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍.且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意.所以这个六位数为142857.方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1,不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为labcde,那么6个六位数中必定存在一个数为abcdel.而个位数字1,只能由1X1,3义7或9X9得到.但是abcdel只能对应为labcde X (26),所以只能是labcde 义3得到.即H?cdel = la/?cde X3.于是，我们不难递推出d为5, c为8, b为2, a为4,所以这个六位数为142857.方法三：部分同方法二，abcde-abcde X3.那么有abcde X 10+1=(100000+ abcde) X3,解得abcde =42857.所以这个六位数为142857.第三讲最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的.典型问题1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20,20,21,21时满足条件，且总和最少.这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，a + b+c >61.a+b + d >61(2)1一,有4,+得：3(a+b+c+d)2244,所以 a+b+c+d81，因为 a+b+c+da + c + d>61®3b + c + d >61(4)均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.a + b + c60、a+b+d60评注：不能把不等式列为_.如果这样将+咆得到3(a+b+c+d)240,a+b+c+d>80,因为a+c+d60b+c+d60a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2 .用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCXDE尽可能的大，FGHXIJ尽可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.则FGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 ABCXDE-FGHXIJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FGHXIJ-ABCXDE的最大值为640X82-379X15=46795.3 .将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10,为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘枳和最小，所以我们两种情况都计算.8X7+7X10+10X6+6X 9+9 X 8=312;9X7+7X10+10X6+6X8+8X9=313.所以，最小值为312.4 .一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b =9a (mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k (mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m,因为9a、18nl均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18,即最大为17时，(rn=7+9t:一种情况|:余数最大为16,除数a+b只能是17,此时有9a=15+17m,有*_'+7t6为可取。的自然数)，而a是一位数，显然不满足；悌二种情况I：余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数a+b=17时，有9a=15+17m,有|血=6+”,«为可取。的自然数)，2是一位数，显然也不满a=13+17t足；m=3+9t除数a+b=16时，有9a=15+16m,有一,(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只a=7+16t能取7,对应b为16-7=9,满足；所以最大的余数为15,此时有两位数794-（7+9）=415.5 .用1,2,3,4,5,6,1,8,9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9,减9 x x一 X X数的百位为1，如果差的百位为8,那算式就是如下形式：8 x X剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-15X-14X -13X一12X一14X8Xx'8Xx'8Xx'8XX，8XX96X96X95X95X94X-13X-12X -13X-12X-12X8XX，8XX，8XX，8Xx'8XX得数的十位只可能是减数和被减数的卜位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：97x97x97x97x97x-15x-14x-14x.-13x-12x_82 x '82 x '83 x '84 x *FVT'97 x96x96x96x95x95x-12 x-13x-12x-12x-13x -12x84 x 582x 183x'_84x'-"82x '83x,但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为：92x92x93x93x94x-13x14x-14x-15x-15x78x,78x*78x '_78x'78x'94 x 95 x-16 x -16 x78 x T -78 x ,再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：936945-152-162784、783,所以差最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？【分析与解】设这四个分数为上二一、-L、一'一、一!一（其中m、n、a、b均为非零自然数）2m 2n 2a+l 2b+l±1111n"*11_11有+二+,贝 U 有»2 m 2n 2a+l 2b+l 2m 2b+l 2a+l 2n我们从m=l,b=1开始试验：+_+_+26344312466,1111111111.+_+_+420588153061010,11111+_+65101212一我们发现，!和！分解后具有相同的一项而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条5610件：1=1»所以最小的两个偶数和为6+10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136,显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36,满足,如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题图 30-21.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG的边长为x,有：111()x-x2S正方形488=10 X 10=100, S正方形cefg =X,5= DG x GF=(10-x)x=-,1 11 f)x+x"又Saab。=5x 10X10=50, SEF=-(10+x)x=-.阴影部分的面积为：S正方形ABCD + SlE方形CEFG + SadgF -AABD -f 2 IO%- X 厂八10X + X2=100+ x2+50=50(平方厘米).2 2方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、ADBC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然， DBC的面积-xl0xl0=50(平方厘米).2阴影部分DFB的面积为50平方厘米.2.如图30-4, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI 等于多少度？图 30-4【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有/1=180°-（/1+/2）,而N1=18Q°-N3, N2=180°-/4,有NI=/3+N4T80°同理，ZH-Z4+Z5-18O0, ZG-Z5+Z6-18O0, ZF=Z6+Z7-180c, ZE=Z7+Z8-180°,ZD=Z8+Z9-180°, ZC=Z9+Z1O-18O0, ZB=Z10+Zl 1-180°, ZA=Zll+Z3-1800n则NA+/B+/C+/D+NE+/F+/G+NH+/I=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Z1D-9X 180°lZ3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Zll 正是9边形的内角和为(9-2) X 180=1260°.0tUIZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI=2X126Oo-9X 180=900°3 .长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1，2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设ak"aKa3(a,也分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a.,判a31 a, as),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.1|25612图30-6【分析与解】我们以儿个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第类情况:以国为特征的有7组:第1种情况第谢情况1|22.57.25第4种情况|2：4.52.6第7种情况第二类情况：以6为特征的有6组:第8种情况5611第9种情况第三类情况有如下三组:第14种情况>124.52.5)4第谢情况第11种情况第15种情况共有16组解，它们是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).131025 Z 8131014 .如图30-8, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？图30-8【分析与解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以:5Aoeg =1：4，X S于cg = SmEG X SgcG，且有 S.GC =AECG，所以:=1：2,而这两个二角形高相同，面积比为底的比,即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.由 Smed = Smeg + Saagd >而 Smed =/ X X S ABCD =18(平方厘米)有 EG: GD二 S“eg Sgb，12所以5M£G=x=6（平方厘米）SMGD=- XSMED =12（平方厘米）同理可得5凶叱=6（平方厘米），Sgc”=12（平方厘米），Smcg =450叩=4x6=24（平方厘米）又 S.ghd= Scg-Sch =24-12=12（平方厘米）所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5.图30To是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？图30-10【分析与解】如F图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.设4AEG的面积为x,显然AEBG、BFG、AFCG的面积均为x,则AABF的面积为3x, Smm='x20x10=100即=吧，那么正方形内空白部分的面积为=所以原题中阴影部分面积为20x20-理=陋（平方厘米）.336.如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.图30-12【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.1197r大半圆的面积为3A +3B +3-小圆的面积=一x 3? x左=三.222(q41)4而小圆的面积为,则A +8=3万+3=一，I 22)3原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为£=2兀2367.如图30-14,将长方形ABCD绕顶点口帆时针旋转90度，若AB=4, BC=3, AC=5,求AD边扫过部分的面积.（力取3.14）图30-14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA"A