同济大学线性代数第六版答案.docx

同济大学线性代数第六版答案(全)第一章行列式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1) 1-4-1；-183=2x(-4)x3+0x(-1)x(-1)+1 x 1 x8-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=24+8+16-4=-4.c ah 力 c q pc a 4b c ab c 解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3aZ?cdpd111 a b c ; a2 b2 c2111 a b c a2 b1 c2=beL+c(r->rabL-ac'-ba-cbL=(a-b)(bc)(ca).x y x+y(4) y %+y x .x+y x yx y x+y解 y x+y xx+y x y、/、3、33=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y -(x+yyt=3xy(x+y)-y3-3x2 y-xi-y3-=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1234;解逆序数为。(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13(2-1)24(2)；解逆序数为若少：32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)(2«-1)2,(2h-1)4,(2n-l)6,(2n-l)(2«-2)(m-1个)(6)13(2n-l)(2n)(2n-2)2.解逆序数为(-1)：32(1个)52,54(2个)(2«-1)2,(2«-l)4,(2h-1)6,，(2一1)(2八一2)(一1个)142(1个)62,64(2个)(2n)2,(2n)4,(2)6,(2n)(2n-2)(n-1个)3 .写出四阶行列式中含有因子111123的项.解含因子即如的项的一般形式为(-1)1123345,其中“是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子外口23的项分别是(1)'。23。32。44=(-1)%1。23。32。44=一。II。23。32。44,(1)«1。23。34。42=(-1)%11。23。34。42=111。23。34。424 .计算下列各行列式：63242。2。§藕's-Z51320-4021T-03-4i52i63241521120222-1321202702431117。24343O cqcTqE 一。己一4709,。32L709-202豆30L2LII4 O0II5-432工5132O21i63244324。2。i2i4 OXz-p(4)oo 1 dO1 CTOT ooooldO1 CT18 To47 oo解i+ar,o - ooi+ab ab 1-1 c01oold+ab a-1 c0-1c3+dc21+ab a ad,-:-1 c I+cd0-10=(-l)(-l)3+21黑d -abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:cr ab b22a a+b 2b =(a-b)3;证明a22a1aba+b1b12b1ah-a1 b-a 0b2-a2"2b-2a0=(-D3i+i ab-a2 tP-a2b-a 2b2a=(b-a)(b-a)=(a-b)x =(«3+Z/)y zax+by ay+bz az+bx ay+hz az+hx ax+by az+bx ax+by ay+bz证明ax+by ay+bz az+bx ay+bz az+bx ax+by az+bx ax+by ay+bzx ay+bz az+bxy ay+bz az+hx=ay az+bx ax+by +bz az+bx ax+byz ax+by ay+bz x ax+by ay+bzx ay+bz z y az+bx x z ax+by y+b2y z az+bx z x ax+by x y ay+bzx y z=a3 y z xZ X yy z x +Z/z x y x y z二 Q'x y z =(«3+Z73)y z x z x ya2 b2 c2 d(0+1)2+1)2(c+1)23+2)23+3)2(Z?+2)2(b+3)2(c+2)2(c+3)23+1)23+2)23+3)2=0;证明a2 b2 c1 d23+1)2(0+2)23+3)2(人+1)2(b+2)2(b+3)2(c+1)2(c+2)2(c+3>3+1)2(d +2)2(d +3)2(C4-C3,。3。2, C2C得)a22a+l 2a+32a+5 b22/?+l %+32h+5 c22c+l 2c+32c+5 d22d+l 2d+32d+5(C4C3, Cy-Cl 得)HsIb)(plc)(als(blc)(BIs(cls(4+b+c+s)ms二二abedUN br c d414>4 L410 bl a cIa da no b(ba) c(ca) d(d3062(6242)%(c21a2) d2(d21a2)111u (b I a)(ca)&a) bedb2(b+a)%(c+sd2(d+a)H(bla)(ca)(dl4oclb dlb0 c(cib)(c+b+4) d(dlb)(d十b+a)e4)(c4)(da)(c5)(±a?+a)d(d4+a)"4b)(ac)(a3(bc)(bs(cs(6z+b+c+s.证明用数学归纳法证明.当=2时，。2=x2+o1x+«2,命题成立.L4人 I Lvi假设对于(八-1)阶行列式命题成立，即 Dn-=Xn 46Z X，J -+,+0?_2冗+。-1,则。按第一列展开，有100,00D=xDn ,+«,(-l)n+1* T 0011,X 1=xD n-i +an=xn+aXn1+an-x+an .因此，对于n阶行列式命题成立.6.设阶行列式'det（旬），把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得(一1)证明£)= Z)2=(T)2 D, Dt=D .证明因为D=det(fly),所以D、=an, ann=(-1产41anann41%7.计算下列各行列式（2为氏阶行列式）:a展.1a1.,其中对角线上元素都是都是Q(n-l)x(n-l)（按第行展开）(n-l)x(w-l)looo o olooooo:o o 二 o o u o 1-ooo oo a o 40000-+an=an-an-2=anc-l).(2)。尸产,a a xaa a x解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得QOO 一QO 一 .X .4 一 O 3X r-x产a-x 000 x-a再将各列都加到第一列上，得x+(n-X)a aD =xcia a0 , 0.x-a 0 =x+(n-l)a(x-a) .0 0 x-aa'1 (a-l)nan-l (7-l)n-1(3)O+i=aa-1 1(a-ri)n(a-n)nla-n1解 根据第6题结果，有Dn+n(n+)21a 13 1严3D"此行列式为范德蒙德行列式.- 1 a-n (an)nl (a-ri)n2+i=(T尸 nKDd+Dn+>i> j>° an-+(l产+也,abd再按最后一行展开得递推公式D2n=%dnD22-bnCnD2n-2,即-乩金于是D2n=f(aid-biCi)D2-Z=2所以°2"=fl(44-%)/=1(5) D=detQ),其中他=吃|；解=i-j,1234 .二二. 3210 2101 1 o 12 0123n- n-2一3 n-401111oooo000-2-。-2-2)222%00.001一%a200010一%a,001*»»*»»*000an-an-100001+q4“100-00110-00011-00000-11000-01=qa> q1+靖100-0001000001-00000-01000-008.用克莱姆法则解下列方程组:(1)x1+a2+x3+x4=5%+2%2玉+4%=-2.2X|3/Xj Sx4=2，3%+x2+2x3+11x4=0解因为D=11 n 23=-426, D4=115114-15-2-2O12-31CN 3-5%+6=1%+5与+6&=0(2)x2+5x3+6x4=0玉+5%+6&=0%4+5/=1665000650006500651065101«A 001151000=1507, D、=000651111065106510051000=A，'9o700651065106510051000JIo00065006510651065100IL 01100065006511111651005100011 cuu 00651065106510051000D5=所以15071145703-395212.=，2=一_>-TTZ，/=,X4=T7q-665665665665665有+玉=09.问九取何值时，齐次线性方程组%+£=()有非司+2臣+七=0零解?解系数行列式为211D=11=/zZ .121令。=0,得/z=0或2=1.于是，当片0或送1时该齐次线性方程组有非零解.(l-2)jq-2+4=010.问2取何值时，齐次线性方程组2%+(3-X)毛+七=0玉+ W+(10有非零解?解系数行列式为D=1A 2 42 3-2 1111-21A 3+4 42 1-A1011-2=(13)4(1A)2(1A)(3A)二(1-丸)'+2(1-4)?+4-3.令。=0,得A=0,2=2或於3.于是，当加0,2=2或加3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换：=2y+2y2+ y3"%=3乂+%+5%，为=3乂+2%+3%求从变量犬2,%3到变量%,力,力的线性变换.解由已知：、yll%、 / X必为 7' 9-7-4 -43 2X =-7 百-4 +9x,< %=6%+3%27巧.%=34+2毛-4七2.已知两个线性变换=2yi + y3yl=-3zl + z2<=-2另+3y2+2%, y2=2zi + z3，3=4乂 + %+5%- Z2+3 马求从Zi, Z2, Z3到西,如犬3的线性变换.ZJmk 12 5 O 3 1111 2 5O 3 11 o T-32 0oY zj1 Z23人却f-6112-4,101Y 4'Z2，人Z3Jxl=6zI + z2+3z3所以有<毛=124-422+%.a=-10z1-z2+16z3fl 1 1 A 3.设4=1 1 -1(1-1 J(123、3=-1-24,求3AB-2A 及 ATB.(3AB-2A=3 111-12 32 45 1n i n 211-1 7-3色 5 8) <1 1 1A =3 0 -5 6 -3 1 1 -112 9 0； 1J(-2 13 22)=-2 -17 20(4 29 -2,fl片3= 13、fO 4 = 01J(25-5 69 Oj4.计算下列乘积:<4 3 1Y7A(1)1-232(5 7。人(41153 1丫7)-2 3 27 0r(4x7+3x2+lxl A =lx7+(-2)x2+3xl、5x7+7x2+0xl /<35A6I。51J(2)(123)2 J解(123)2=(lx3+2x2+3xl>(10).(3)1(-12);<2x(-1)2x2)1x(-1)1x2<3x(-1)3x2,-2 4= -121-3 6；解1 (-1 2)=(6 7 8、(20 -5 -6/(5)(%七毛)% a!2 %丫, %2 %2 %3 Z4142小丫百、(X%)422 23=（。11为+。12冗2+。1犷3。12%+。22元2+。2了3。1犷1+。2亦2+。3/3）X?=4年+外工+%3后+ Z 2玉电+为3百七+4四马5 .设A=(5=(； g),问:(1)AB=BA 吗？因为 A8=(：却 BA=(1",所以 ABW3A(2)(A+B)2-A2+2AB+B2吗？(A+外=|2丫22)，814、5人25厂(1429)A2+2AB+B2=K81/68)/10)1016)11；812/(34厂11527所以(4+8)2必2+245+力.(3)(A+B)(A-B)=T_32吗?解(A+g)(A-为以2_式因为A+B=2 22 5,(A+砍人研；羽务间118 7O 46 .举反列说明下列命题是错误的:若AW),贝40;贝但 AM.(2)若 A2=A,贝！4=0或4=£解取A=4)贝I但AM且AwE(3) AX=AY,且 AM,则乂=丫.则 AX=AY,且 AwO,但 XwY.7.设4=求 A2, A3, , Ak.Ak =fl OY10>_f 10)U 1人；I 1 J2A 1J?)(A 10)8.设人=0 A 1,求屋.(00 Aj解首先观察OY/l1 04人02Z 1 ) 矛220 22 J(X 1A2=0 A(001 O' fzl2A 1=0。A) Iop30A*= A?. A=A4=A3-A=A5= A4-A=3田3储无3居，044尤6商力，0矛,524龙5牙0犬不k无T '(D尤-2Ak _2八一0无左尤TI 00无用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设女时成立，贝琳+1时,k(k-l)(4+1)左-2(女+1)龙-1Ak+i=Ak - A=加(Z+1)尤0犷00由数学归纳法原理知:，尤人尤T若立尤-2、Ak=0九k龙一.00无9 .设A,8为阶矩阵，且A为对称矩阵，证明8幺8也是对称矩阵.证明因为A7=A,所以(BTAB)T=BT(BrA)T=BTATB=BTAB,从而BtAB是对称矩阵.10 .设A,8都是阶对称矩阵，证明A8是对称矩阵的充分必要条件是A8=A4.证明充分性：因为A7=A,"=民且A3=8A,所以(AB)t=(BA)t=AtBt=AB,即AB是对称矩阵.必要性：因为A7=A, B,且(A3)1A8,所以 AB(AB)t=BtAt=BA.11 .求下列矩阵的逆矩阵：的；解 A=Q 3HIT，故A-1存在.因为cos。-sin。).I'sing cos。解A=(；.) H=1M,故A-1存在.因为a*Al AiVf c。8 s-IAi 42-，si£ co汁所以AT端A*=g°i/聪(12-A34-2;15-41 J(2-n解 A=34-2.|A|=2wO,故A7存在.因为15-41 J(-4-13 1-322 0、6 -114 2,A A】 A?A* A A A 6一M222个2瓜3434/A=%,由对角矩阵的性质知12 .解下列矩阵方程:46解x =X 2 1211 (2 -4Y3 1 VI-12 U1 AO -1A10=邛一1213fo 1 0) fl (4) 10 0X00)fl -4 3)1=20-1.I。1八(0 1解 %= 1 0(0 0)1 0JoY'n402-2 0 J3丫1 0 0Y'-10 0 100 1 oj|<0 10 00Y1-43丫100、(2-1020-1001=13认1-20人010J 11013 .利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2%+3七=1(1)<24+2+5W=2;3%+5%+为=3解方程组可表示为q 23丫)(T225%2-2,不、%fl2(32=0,1°X1=1从而有w=。.马=0玉_/_%5=2(2)<253七=1.3%+24_5七=0解方程组可表示为1(1-17丫%、213 x2、32-5人苞14 .设屋=O 6为正整数)，证明(EA)T=£+A+A2+-+Ai.所以证明因为屋=O,所以E-A£又因为 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+-+Ak(E-A)(E+A+A2+-+AI-1)=E,由定理2推论知(石-A)可逆，且(E-AYl=E+A+A2+-+Ak.证明一方面，有 E=(E-A)7(E-A).另一方面，由A*=O,有E-(E-A)+(A-A2)+A241+(4卜才)=(E+A+A2+4-)(E-A),故(E-A)E-A)=(E+A+A2+-+A1)(E-A),两端同时右乘(E-人尸，就有(E-A)E-A)=E+A+A2+-+Akl.15 .设方阵A满足T-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆，并求 A-1及(A+2E)T.证明由A2-A-2E=O得 A2-A=2E,即 A(A-E)=2E,或 A-A-E)=E,由定理2推论知A可逆，且A-；©-E).由-A-2E=O 得 A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A3E)=4区或(A+2E)(3E-A)=E由定理2推论知(A+2E)可逆，且(4+2石尸=；(3石-4).证明由A?-A-2E=O得A?-A=2瓦两端同时取行列式得-A|=2,即HIH-月=2,故HIM,所以 A 可逆，而 A+2E=A2,|A+2E|=|A2h|A|20,故 A+2E 也可逆.由-A-2E=0=>A(A-E)=2E=>A-iA(A-E)=2A"=> A-'=1(A-E),又由 A2-A-2£=O=>(A+2E)A-3(A+2E)=-4£=>(A+2E)(A-3E)=-4 E,所以(A+2E)T(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,(A+2E)-'=1(3£-A).16 .设A为3阶矩阵，|止；，求|(24尸-5A*|.解因为小=曲*,所以K2A)-1-5A*|=| A-1-5| A| A-11=| A-1A"11=|-2AT|=(-2)3|aT|=-8|A=-8x2=-16.17 .设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*)T=(A7)*.证明由AT=4|A*,得A*=|A|A，所以当A可逆时，有|A*|=|A|"|AT|=|A|TwO,从而A*也可逆.因为A*=|A|A，所以(A*)T=|A1A.又A=(AT)*=MI(AT)*，所以(A*)T=|AA=|A1|A|(AT)*=(A7)*.18 .设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若囿=0,则H*|=0；(2)|A*|=|A|n-1.证明用反证法证明.假设H*|M,则有A*(A*尸=2由此得A=A A*(A*)T=|A|E(A*)T=O,所以A*=O,这与|A*|M矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0.(2)由于A-lJa*,贝iJAA*=|A|E,取行列式得到若H|w0,则若|A|=0,由知|A*|=0,此时命题也成立.因此|4*1=圄叽(033、19 .设 A=110, AB=A+2B,求 A U 23j解由 AB=A+2E 可得(A2E)3=A,故B=(A-2E)'A=(-2 3 3Y'f 01 -1 01l-i 2 DU3 311 02 3jfO 3 3、-12 3U 1 ojfi o n20 .设4=020,> AB+E+B,求 A U 0 V解由ab+e=a2+b得(A-E)B=-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).0011因为|A-E=010-10,所以(A-E)可逆，从而100(2 o n B=A+E=030.U 02j21 .设4=崛(1,-2,1),A*区4=2区4-8瓦求区解由 A*BA=23A-8E得(A*-2E)BA=-SE, B=-8(A*-2E)-1A-1=-8A(A*-2E)-1=-8(A4*-2A)-1=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)T =4diag(2,-1,2)i=4diag,l，3=2diag(l,-2,l).1000、22 .已知矩阵A的伴随阵A*=? j ,、0-308,H, ABAl=BAl+3E,求 A解由依*|=囿3=8,得囿=2.由 abaFaFe 得AB=B+3A,B=3(A-E)lA=3A(E-A-lA=3(E-1a*)-'=6(2E-A*)-1f6o 6 -o o 0-6o o 1 o 0 10 31 o T oA 7, o o o T 0 0 6 0 0 6 0 323.设 kAP=A,其中 P=1 一;o 2AA1求解由尸一%尸=上得A=PAPT,所以A"=A二尸A"产L年3,7力,尸耳(_"),2732)-684J,n _(-4Y-1033<2731T 1 l1o 211；1683l-33)24.设4P=PA,其中 P=求处4)=屋(5石-6A+T).解</KA)=A8(5E-6A+A2)=diag(1, l,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag(l,l,58)diag(l 2,0,0)=12diag(1,0,0).奴4)=尸奴人)尸1=#9(A)P*(=2 11fl 1=4 1 1A 11 1Y13-2 0OY-2 -2 0-303 认 T 2 -1,25.设矩阵A、 求其逆阵.证明因为A1 .1JB及A+B都可逆，证明A-l+B-'也可逆，并A-A+B)B-l=B-+A=Arl+B-而是三个可逆矩阵的乘积，所以可逆,即A、k可逆.(A_,+B_1)_1=A_1(A+B)B-1-1=B(A+B)-，A."121 OY103 r26. ifo 02 I 00-2-3-lo 0031000-3J解设4=("4=(")，用=(U)M eNe 硝/a, A*/o p b2)-o ab2 y44+与=fl 2Y3 lYf-23W52)(0认20_3厂(2-4jAr,B2 =(11Y-23)，43)to 3人0-3厂I 0-9J(1252)所以M eNe 44+3_012-4oaJobJ-oJ -00-43(000-9)21001 o o oo 1 o o 1 o o o10202100loop.27.取;，验证/楙微2 o一一o o-11 oOTToo 1 0-1A B J|A|5C。|C| I。28.设人=(3 44 -3O、OI 0i 2,求Wi及履4-33 4A。A。I 4/Il 卷目 AFI41Mo6f5400】44_fA4 O_054°I。&r O 240-(U 2624J29.设阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求傕第解设修0)"=(§§)-则(O AVC_ cA_(ac3 AC4M。.o)c3 cj(g bc2)-o eJ由此得所以A-o OB-GCGG> 一M=£.初3 bc2=es(o AY)_(0b O)(笛 O )-值3解设值则(O ?)(A。丫 DAJ AD、 AO,)c bQ a厂(ca+bq cd2+bd4)c T >&I A-O-2B -AD呼由此得,缁+标=0=,CD,+ BD4=Es38-2500380025-25001200OB-（肾毋32所以30.求下列矩阵的逆阵:2100<5XI/11 z/l(52010210002121212)于是Ac212100、0052411124 J第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵：r102(1)2031;(304-3)<102-0解2031(下一步：/'2+(-2)ri,3+(-3)b )304-3-n3 3o o o zn o OK.（下一步：厂2子（一 1）,厂3+（-2）.）2 -r1 3 (下一步:18(102-r001-3(下一步：；*3+3.)(0。03；（下一步：生+33.）211 o o o o rlo w2 10 o o o rlo "八+(-2)2,外+办)-n0(下一步:Vo V o 1 o o o o loo131347_234roo2)勺2-3 r解03-43(下一步:i2+(-3川/3+(-2)八.)(04-7-1)x:7133-200 roo ”一(下一步：r3+r2, ri+3r2.)(02010)-0013(下一步:中2.)000 oj;31 o 131 o -4422174422-3 O - j -35341 O 35341323 o O 1323- o O -1323 Ink zf k 1323解1 OZZH（下一步：厂2-3厂1,厂3-2打，一3八.）3)86(下一步：/2+(-4),3+(-3),4+(-5).)700010001 o o O 1 o o O / I / L3-43)1-221-221-22j（下一步：3r2,小-出尸4T"2.）3200-2200一O 1 o O(4)(23123-212-31087-3-234-7)40V4 o2 3 4 -0 8 7(下一步：n-2r2,3-3，2, r4-2r2.)(23解3-112-3(下一步：r2+2r>, ri-8ri, r4-7ri.)ldr1421-11129810874287fo(下一步：rr2,72x(-1),口-%)1244-11011120040002440-o T 1 O2 T o OO 1 o O2-234 O o O 1 O 27o O O 1 o Ofo1OOKfo2.设117(00<010、解10。是初等矩阵艮1,2),其逆矩阵就是其本身.loo 1J<10 A010是初等矩阵E(l,2(l),其逆矩阵是(00»(0-1A<0A= 1,00Y123Y156089人0(4=1,76Y1o -n<410=12)2 .2J3.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:(33(33310 0、<30-0-11°1-1一 1<3 20 -1、0 00 3/20 12 -10 T1 -2<3 00 -1、0 07/21-1/22 一9/2、1 -20 1/2?r1007/62/33/21010112(001-1/201/2,r 72632故逆矩阵为-1-12(3-20 f02211-2-3-201211o o o 11 o11 11-o 22 2-3 oo)01-2-3-2001001210001d 1 o o 1030-OOI o 1 o 151292142 o o oI1-2-3-200/2001010001110-3-4121-6-10-2-3-20010、121000101110340210102,111Azf-16OTo 11故逆矩阵为(10121111-203-6r44.(1)设4=23fl -31B=22,求 X使 AX=3;(3-1J解因为9(A B)=231-2211-1102、-15-3,124,(10所以X=A B=-15-3.(0设A=2-3I 124J-4 R B=3122-3,求 X 使 X4=B.考虑人次忆次.因为fo(A BT)=212-3133-4一3Vf 10001010011-1-4A 7,4J所以(2一4)Xr=(Ar)-1Br=-17,从而X=BA-=(T 1211)-474,5.f 1-101设4=01-1,AX=2X+A,求 X.、一101,解原方程化为(A-2E)X=A.因为f-1-101-10)(A-2E,A)=0-1-101-110110f 1000 IT)-010-101