浙大四版概率论前8章习题答案(考研用).docx

第一章概率论的基本概念1.1-I写出下列随机试验的样本空间(1)记录个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一|1)(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。(|-| 2)S=10, 11. 12. ,n, (4)对某工厂出厂的产品进行检査,合格的盖上“正品”.不合格的盖上“次品”.如连续査出二 个次品就停止检査,或检査4个产品就停止检査.记录检査的结果。査出合格品记为“1”,査出次品记为“0”,连续出现两个“”就停止检査,或査满4次停止检 査。(|-| (3)5=00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.二I设4 B, C为三事件,用Z1, B, C的运算关系表示下列事件(D/1发生,8与C不发生。表示为:耳或1 。8+/1。或(BU0(2) A, 8都发生，而C不发生.表示为,ABC AB-ABCAB-C(3) A, B, C中至少有一个发生表示为:A+B+C(4) A, B, C都发生, 表示为:ABC(5)4 8, C都不发生，表示为:彳月或S-(4+8+G或uBuC(6)4 B, C中不多于个发生，即B,。中至少有两个同时不发生相当于45, 8C,ZC中 至少有一个发生。故 表示为:AB + BC + AC.(7) A, B, C中不多于二个发生.相当于,彳,瓦中至少有一个发生。故 表示为:A+B+ CCABC(8) A, B, C中至少有二个发生。相当于:AB, BC, 4C中至少有一个发生。故 表示为:AB+BC+AC6 .|=|设4 8是两事件且P (N)=0.6, P(S)=0.7.问在什么条件下尸(.48)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P(48)取到最小值,最小值是多少?解:由P(/l) = 0.6, P(8) = 0.7即知/8。,(否则,48=。依互斥事件加法定理,P"U8)=尸(A)+P (B)=O.6+O.7=1.3>! 与 P(XU5)W1 矛盾).从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)-P(A U B)(*)(1)从0WP“5)W，)知,当AB=A.即,4nB时58)取到最大值，最大值为P"5)=P()=0.6,(2)从(*)式知,当UB时,尸(.45)取最小值,最小值为(48)=0.6+0.7-1=03 7 .|四| 设8,<:是三事件,且(4)=8) = 0 = (/8) =(8 = 0,/>80 = !.4求 B, C至少有一个发生的概率。解:尸(4 B, C至少有一个发生尸尸(/+6+=尸(/)+尸(与+P(。一尸(N8)P(8。一尸(40+尸(430= 3_l+0=5 4 888 .|五|在标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中 任取两个字母予以拝列,问能拝成上述单词的概率是多少?记表“能排成上述单词”;从26个任选两个来排列,排法有种。每种拝法等可能.字典中的二个不同字母组成的单词:55个 ®管9 .在电话号码簿中任取个电话号码,求后面四个数全不相同的槪率。(设后面4个数中的每 个数都是等可能性地取自0, 1, 29)记表“后四个数全不同”后四个数的排法有104种,每种排法等可能.后四个数全不同的排法有，彳4APQ） 二牛二 0.50410410.1六I在房间里有10人分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。（I）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件,4V 10人中任选3人为组:选法有J； ）种,且每种选法等可能。又事件相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5.这种组合的种数有1X仁）.（黑.12（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有（2种,且每种选法等可 能,又事件B相当于:有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有IX （）种某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺脱落， 交货人随意将这些标笺重新贴,问个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得 到定货的概率是多少?记所求事件为A.在17桶中任取9桶的取法有C1种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有C1%XC：XC；尸(4)=C；)xC：xC； 252_件 243112.I在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。(1)求恰有90个次品的概率.记“恰有90个次品”为事件V 在1500个产品中任取200个，取法有1500200种,每种取法等可能.200个产品恰有90个次品,取法有f400V1100)(90卜10丿P(A) =(400丫1100)I 90 丿 1110 丿(1500)(200 丿(2)至少有2个次品的概率。记:A表“至少有2个次品”表“不含有次品”,国表“只含有一个次品”，同上,200个产品不含次品,取法有1100200种,200个产品含个次品,取法有400V11001199彳=稣+为且協，互不相容。P(Z) = 1-P(Z) = 1 - P(綜)+ P(坊)=1 一<1100) (400)(1100) 1200 丿 1 丿1199 丿(1500)(1500)I 200 丿I 200 丿13.九从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对”V从10只中任取4只,取法有种,每种取法等可能.要4只都不配对，可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取只。取法有一 C, -24P = 821尸（）=1 尸（才）=1 -4=211015.1+-I将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1, 2, 3t的概率各 为多少?记表“杯中球的最大个数为,个” /=1,2,3,三只球放入四只杯中,放法有4,种,每种放法等可能对:必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2种。（选排列:好比3个球在4个位置做排列）p（4）= 4x;x2616对:必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C；x4x3种。（从3个球中选2个球,选法有C；,再将此两个球放入一个杯中,选法有4种,最后将剩 余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。尸（）=C；x4x3916对公:必须三球都放入一杯中。放法有4种。（只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球，选法 有4种）16.1 +- 50个钟钉随机地取来用在10个部件，其中有三个钟钉强度太弱，每个部件用3只钟钉, 若将三只强度太弱的钟钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率 是多少?记表“10个部件中有一个部件强度太弱”.法一，用古典概率作:把随机试验E看作是用三个钉组,三个钉组去锦完I0个部件(在三个钉的组中不分先后次 序.但10组钉钟完10个部件要分先后次序)对E:胡法有或 X。X CZX C种,每种装法等可能对出三个次钉必须钾在个部件上.这种钾法有(C；XC：7XC23)X10种CxCLxCLxCilxlO 1P(力)=33 V- =焉=。0。051C.xC.xxC义 1960法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件钟完.(钟钉要计先 后次序)对E:钾法有;种,每种硼法等可能对小三支次钉必须钟在“1, 2, 3”位置上或“4, 5, 6”位置上,或“28, 29, 30"位置上.这种聊法有用x端+曷x鶴+国+鳩=10x W x解种j泮=康=。时17.十三已知 P(A) = 0.3, P(8) = 0.4, P(疝)=0.5,求P(81 U耳).解一:P(A) = 1-P(A) = 0.7, P(B) = 1-P(B) = 0.6, A = AS = A(B uB) = AB u AB注意(48)(耳)=0.故有P(AB)=P(A)-P(A B )=0.7-0.5=0.2.再由加法定理，P(AJ B )=P(A)+P(B )-P(AB )=0.7+0.6-0.5=0.8于是尸(81AJB) =PB(A 2 8)P(AjB)P(AB) 0.2P(A<uB) 0.8 一解二:PAB) = P(A)P(B I A) ' ->05 = 07 - P(B A)P(BA) = - = -P(BA) = - 故 P(AB) = P(A)P A) = = 0.25P(BIA空%譯=p(ba) _ MP(A) + P(B)-P(AB) 0.7+ 0.6-0.518.1 十四 I P(A) = j, P(BIA) = j, P(AIB) = j-,求 P(A u B).丄丄解由P( A1 B)疋 乂 卩(B)一 一 一")HBI A) _由口知条件 > 有 1 = 43尸()=丄解由(P团尸(2P(8) =()6由乘法公式,得尸(= P(Z)P(BI/0 = A由加法公式,得P(A uB) = P(A) +尸(8) - P(/8)=丄+ J =54 12 319.十五I掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).解:(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间，求事件A发生的 概率).掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y) (x,j=l,23,4,5,6)并且满足、,+ 尸7,则样本空间为S=(x,y)| (1,6 ),(6, 1),(2, 5), (5, 2), (3,4), (4, 3)每种结果(x,y)等可能.A=掷二骰子,点数和为7时，其中有一颗为1点.故尸(4)= = ；6 3方法二:(用公式尸(418)=华却S=(x,j)| x =12,3,4,5,6; y = 1,234,5,6每种结果均可能A= "掷两颗骰子,x, y中有一个为“1"点”，B= "掷两颗骰子,占+产”。则P(B) = 3 = J,P(4B) =， 6-662故尸(415)=P(AB)P2昱=2丄 6620.1十六|据以往资料表明,某 3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P(4)=P孩子得 病=0.6, P(B|尸P母亲得病|孩子得病 =0.5, P(C/18)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4.求母亲及孩 子得病但父亲未得病的概率。解:所求概率为户(8)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P(CAB)P ¢45)= P(A)=P(BA)=0.6x0.5=0.3, P(C AB)=-P(CAB)=-0.4=0.6.从而 P(ABC =P(AB) P(C 05)=0.3x0.6=0.18.21.1十七I已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次,每次随机地取只，作不放回抽样， 求下列事件的概率。(I)二只都是正品(记为事件A)法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每个组合看作一个基本结果,每种取法等可能。Q1 OQ尸(= = 0.62C2 4510”法二:用排列做在10只中任取两个来拝列，每个拝列看作一个基本结果,每个排列等可能。2845(/)=> 40法三,用事件的运算和概率计算法则来作。记4, 分别表第一、二次取得正品。P(A) = P(A,A2) = P(A)P(A2 M,) = x- = 45(2)二只都是次品(记为事件B)法一:法二，尸(8) = 3 =1法三,P(B) = P(A4)= P(AM(A2 1AJ =% x5 =哀(3) 只是正品,只是次品(记为事件C)法一:© O 45法二，p/c_(C；xC；)x屈 _ 16©一 一用一一有法三:尸(。=尸(4+4)且4石与4互斥= P(Al)P(A2IAl) + P(Al)P(A2IA,) = xj + - = -.(4)第二次取出的是次品(记为事件。)法一:因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作,法二:尸()=七 ,法三:P(Q) = P(4彳2 +彳2)且4彳2与互斥= P(A,)P(A2IAl) + P(A,)P(A2IAl) = -xj + -x± = 13.1 1十八I某人忘记了电话号码的最后个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所 需的电话的概率是多少?如果已知最后个数字是奇数,那么此概率是多少?记H表拨号不超过三次而能接通。4表第，次拨号能接通。注意，第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码. = 4 + + 4 4 三种情况互斥p(h)=尸(4)+p(4)p( 丨)+尸(4)p(4 14)p(4 144)19 19 8 13=1X TX - X =10 10 9 10 9 8 10如果已知最后个数字是奇数(记为事件8)问题变为在8已发生的条件下,求“再发生的概率P(HB) = PAB + AA2B + A,A2A3 I B)=P(A, I B) + P(At I B)P(A2IBA,) + P(A, I B)P(A2184 )P(4 I BA,A2)=1+1X1+AX2X1_3- 5 5 4 5 4 3 - 524.十九I设有甲、乙二袋，甲袋中装有“只白球,”只红球,乙袋中装有;V只白球只红球，今 从甲袋中任取球放入乙袋中，再从乙袋中任取球，问取到(即从乙袋中取到)白球的槪率是多少？ (此为第三版19题(1)记4, 4分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。V8=45+5且4, 4互斥二P (B)=P ()用 )+ P (4)P(B| ) N +1 .+ m Nn + m N + M + n + m N + A/ + 1I十九1(2)第一只盒子装有5只红球，4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。先从第一盒 子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取只球,求取到白球的概率。记G为“从第一盒子中取得2只红球”.C为“从第一盒子中取得2只白球”.G为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”,为“从第二盒子中取得白球”,显然G，G, G两两互斥,GUCzUG=S，由全概率公式,有P (D)=P (G)P (D|G)+P (C2)P (0G)+P(C3)p (D| G)C； 5Cl 7 C C 6 53, C； 11 C； 11 C； 11 9926.二十一I已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解:4=男人, 4=女人, B=色盲,显然1U2=5, 4=。由已知条件知 P(4)=尸(4)=4。尸(514) = 5%, P(81 )=0.25%由贝叶斯公式,有丄二P(/ ，(印).P(4)P 4)5 .而 =20P(B) P(A.)P(5 A.)+ P(A2)P(51 A2)1 5125215.而+5脸二十二I 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次 及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为(1)若至少有一次及格则他能取得某种 资格,求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.解:4=他第i次及格, i=l,2已知 P(4)=P(4Mi)=P,尸( I 4) = %(1)8=至少有一次及格所以后=两次均不及格=P(B) = 1 - P(=1 一 P(I A2) = l- P(A, )P(A2 I At)= 1-1-P(A,)1-P(A2IA,)= 1-(1-P)(1-) = -p-p2222)处戈於由乘法公式,有 P(4 4)=P(4)Pa2l4) = p2由全概率公式,有 P(4) = P(A )P(A214)+ P(A, )P(A2 I A,)p= PP+(1-P)yP2 P =22将以上两个结果代入(*)得1)=-/ p2 p 尸+ 1228 .二十五|某人下午5:00下班，他所积累的资料表明,到家时间5:355:395:40-5:445:45-5:495:50-5:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家的,试求他是乘地铁回家的概率。解:设=“乘地铁"，5= “乘汽车"，C="5:455:49到家”,由题意“8=4MU8=S已知:P(4)=0.5, P (Q4)=0.45, P (CB)=0.2, P(5)=0.5由贝叶斯公式有尸 C)=P(CD=.上亠0.6923P(C) P(CU)y + P(CIS)y 065 1329 .二十四I有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品:第二箱30只,其中18只一等品今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取只,作不放回抽样。试求（1） 第一次取到的零件是一等品的概率.（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等 品的概率.解:设此表示“第i次取到一等品" i=l, 24j表示"第j箱产品"j=l,2,显然,4!2=5=。(1) P(BJ = 1= = 0.4 (吕产出+48由全概率公式解),2 50 2 30 51 10 9 丄18 17 P(B,=4也=250 49 230 29 = 085721 P(B,)25（先用条件概率定义，再求P（8|）时，由全概率公式解）32.二十六（2） !如图, 2, 3, 4, 5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p,且 设各继电器闭合与否相互独立,求Z和/f是通路的 概率。记4表第i个接点接通记表从，一到/?是构成通路的.: /=/2+443/45+/5+2四种情况不互斥尸(尸尸(/2)+尸(小/s) +P (A4A5)+P(Ay42)-P(AlA2Ay45)+ P（AA2 4力5）+ p （AiA2 A3 A4） +P （AtA3 A4A5）+ p（AtA2 a3a4a5）p（a2 a3 /4力5）+ p （AtA2A3 A4A5）+ p（axa2 a3 ”!§）+ （442力3力4力5）+ P （力1力2力3力!力5） P （力I力2力3力4力5）又由于2,力3，力4，力5互相独立。故P （A）=p2+ p3+ p2+ 03一|p4 4 + +4 切§ +p，+1，+ p'+ P§+ P,l P s=2 p?+ 3p-5p4 +2 pS二十六（1） I设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4。它们的可靠性分别为科,尸2,尸3,尸4,将它 们按图（D的方式联接,求系统的可靠性。记4表示第,个元件正常工作,；=1, 2, 3, 4,:.P(A)=P (A Ajj+P (A tA4)P (A A, A4)(加法公式)P,P2P3+P,P4-P,P2P3P4(Ai,A2, a3, a4 独为A表示系统正常。: 4=4+4两种情况不互斥= P(A,)P(A2)P (A3)+ P(A,)P(a4)-p (A,)P(a2)p (4)P(a4)34.1 =+-1袋中装有,”只正品硬币,”只次品硬币,（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取 只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少?解:设“出现r次国徴面”= "任取只是正品” =4由全概率公式，有=A） + P（A）P（BrlA） =（-）r +xlrm + n 2m + nm（丄了.n,- D P（A）P（Br I A） m + n2加P（Br） m A n m + n-Tm+n 2 m+n（条件概率定义与乘法公式）35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7.飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落求飞机被 击落的概率。解:髙,.表示飞机被i人击中，i=, 2, 3. 8” B2.分别表示甲、乙、丙击中飞机=BB,B, + BiBB + BiBR ,三种情况互斥.H2 = B B2瓦+ B瓦+瓦B2星 三种情况互斥H =B-, B-, By又8“ B2t当独立.：.P（d）=P（鸟）尸（瓦）尸（瓦）+ P（瓦）尸（）P（瓦）+ 尸(瓦)尸(瓦)尸(星)=0.4 x 0.5 x 0.3 + 0.6 x 0.5 x 0.3 + 0.6 x 0,5 x 0.7 = 0.36P(，2) = P(/)P(% )P(瓦)+ P0)P(瓦)P(2)+ 尸(瓦)P(B2)P(53) = 0.4x 0.5 x 0.3+ 0.4x0,5x0.7+0.6x0,5x0.7=0.41P(3)=P(8i)尸()P (83)=0.4x0.5x0.7=0.14又因:AA+HiA+HyA三种情况互斥故由全概率公式,有P 尸 PtHJP (AHt)+P (H2)P(AH2)+P (H3)P (AH)=0.36x0.2+0.41 xO.6+0.14x1 =0.45836.1三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2% （这事件记为小），10% （事 件/2），90% （事件.）的概率分别为P（4）=0.8, P（4）=0.15,P（4）=0.05,现从中随机地独立地取三 件,发现这三件都是好的（这事件记为8）,试分别求P（40）P（|B）,P（4|B）（这里设物品件数很 多，取出第一件以后不影响取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相独立地）V8表取得三件好物品。B=AxB+A2B+A3B由全概率公式，有三种情况互斥P (5)= P(4)P (5 )+P ()P (5%)+P 尸(B%)=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624P(4 18)=尸（4 8）尸尸(4)P(814)_ 0.8x(098)3 _ns_, -7P(5) =0.8624= 08731P(A2 IB)=P(A2B) )尸(阴)0.15x(09)3二二=二"二=U.l ZooP(B)P(B)0.8624P(4 IB)=P( B)P(A3)P(BIA3) 0.05 x(0.1)3 nnnn,-=-= 、=(J.OOU 1P(8)P(B)0.862437.三十四I将.4, B, C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为a ,而输出为其它一字母的概率都是（l-a ）/2«今将字母串4444, BBBB, CCCC之一输入信道,输入4444, BBBB, CCCC 的概率分别为,P2，P3（Pi+P2+P3=1）,已知输出为801,问输入的是444的概率是多少?（设信道 传输每个字母的工作是相互独立的.）解:设"表示输出信号为5C4,修、/、公分别表示输入信号为4444, BBBB, CCCC.则、B、为完备事件组,且P（B,.尸P, =1, 2, 3.再设.4发、收分别表示发出、接收字母其余类推,依题意有P蜀士尸 P(8«| 8a尸 P(C«| C,)=a ,1 Ct 尸.I 4盘尸P（A C复尸尸（8/我尸尸（8枚| C»）=P（C<k| /1»）=P（C»| 8犬尸一又 P（ABCAAAAA）=P（DBd=P（A P A尸（。长发）P （枚| 力今） =2（子）2,同样可得（尸网飞（与生）3 于是由全概率公式,得P(D) = £P3)P(DBj) /=|Pa (2)+( + )a(2)由Bayes公式,得P (AAAAABCA)= P (ByD)=P(g,)P(D|g,)P(D)2a片2apl +(-a)(P2+Pi)I二十九I设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球,2只白球;第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球, 4只白球独立地分别从两只盒子各取只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只 白球的概率，（3）已知至少有只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率。解:记、4分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，、当、公分别表示 是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1）记0至少有一只蓝球C= AlBl+AlB1+AlBi+ A2Bt+ AyBit 5 种情况互斥由概率有限可加性,得P（C）=尸（4 用）+。（4生）+ P（4 ）+ 尸（ 8） + P（A?BJ独立性 p（4）尸（与）+P（4 ）尸（）+ p（4）尸（星）+ P（）P团）+ P（4）p（g）32 3 33 4 222 2 5._ « .1_ _ _ _ 一79 7 97 9 797 9 9（2）记0=有一只蓝球,只白球,而且知。=4+4。两种情况互斥尸（）=尸（4鸟+ P（厶与）=尸（4）尸（）+p（）p（bj3 4 , 2 2 16 =+-7 9 7 9 63P =考泮=繋=票（注意到C£> = 0三十I A, B, C三人在同一办公室工作,房间有三部电话,据统计知,打给,4, B, C的电话的 概率分别为,4，他们三人常因工作外出,4 8, c三人外出的概率分别为:，4 4, 55524 4设三人的行动相互独立,求（1）无人接电话的概率;（2）被呼叫人在办公室的概率;若某时间断打进了 3个电话,求（3） 这3个电话打给同一人的概率;（4）这3个电话打给不同人的概率;（5）这3个电话都打给B,而B 却都不在的概率。解:记G、G，G分别表示打给B，C的电话5、分别表示 B, C外出注意到G、G、G独立,且P（G）=尸©）= （,尸G）= ：尸（A）= ,尸（ 2）=尸（A）（1）P （无人接电话）=尸（。山2外）=（）尸（。2）尸（小）1 z 1 1 1"7XZX32（2）记="被呼叫人在办公室"，G = G。 +。2。2 +。3。3三种情况互斥,由有限可加性与由于某人外出与 否和来电话无关、故P(2IC") =尸(0) 乘法公式P（G） = P（G 2） + P（C2D2） + p（c3d3）=尸（G ）尸（ I G）+ 尸（。2）尸（。2 IC2） + 尸（C3 ）尸（/。3）=2X1+2X2+1X2 = 11(3) 为“这3个电话打给同一个人”P（/7） = yx-xy + -xyx- + -x-x- = (4) R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成,每种情况为打给A, B, C的三个电话,每种情况的概率为4125于是 p（/?）= 6x- =24125由于是知道每次打电话都给其概率是L所以每一次打给8电话而8不在的概率为1, 且各次情况相互独立于是PC个电话都打给3, 5都不在的概率)=(5)3=第二章随机变量及其分布1.|-I 袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5«在其中同时取三只,以X表示取出的三只 球中的最大号码,写出随机变量X的分布律解:X可以取值3, 4, 5»分布律为P（x = 3） = P（一球为3号,两球为1,2号）=国=厶俏 10P（X = 4）=尸（一球为4号,再在1,2,3中任取两球）= =2円 0P（X = 5） = P（球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）= = A.Cs io也可列为下表X： 3, 4, 5n 136'10 TO'103 .|=|设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取只,作不放回抽样,以 X表示取出次品的只数,（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形.35C；XC；3 _ 12P(X = 1)解:任取三只,其中新含次品个数X可能为0, 1, 2个“ C； X C尸(X = 2)=J一旦再列为下表X： 0, 1,或 3522丝 1，35、35354 .|四I进行重复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为g=l-p（Oy<1）（1）将实验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律.（此时称X服 从以P为参数的几何分布.）（2）将实验进行到出现，次成功为止,以Y表示所需的试验次数，求的分布律.（此时称服 从以/”为参数的巴斯卡分布.）（3） 篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的 分布律,并计算X取偶数的概率.解:（1） P （X=k）=qk'p*=1,2,（2），=/+”=最后一次实验前什” -1次有”次失敗，且最后一次成功P(Y = r + n) = C"n_yqnprxp = C_xqnpr, “ = 0,1,2,.其中 q=l-p,或记 r+n=k.则 PY=k= C：pr(- p)kr, k = r,r+(3) P(X=*) = (0.55)k-,0.45*=1,2P (X 取偶数尸 Z P(X = 2%) = Z (O.55)2"| 0.45 =*=i*=!6.六I 一大楼装有5个同类型的供水设备,调査表明在任一时刻，每个设备使用的概率为0.1,问 在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?P(X = 2) = C；p22 =或 x (0.1)2 X (0.9)3 = 0.0729(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?PX >3) = Cj x (0.1)3 x (0.9)2 +C5 x (0.1)4 x (0.9) + C： x (O.l)5 = 0.00856(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?P(X < 3) = C° (0.9)s + Cj x 0.1 x (0.9)4 + C5 x (0.1)2 x (0.9)3+ C5 x(O.l)3 x(0.9)2 = 0.99954(4)至少有一个设备被使用的概率是多少?P(X > 1) = 1 - P(X = 0) = 1- 0,59049 = 0.40951I五I 一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间, 它只能从开着的窗子飞出去.鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇 窗子是随机的.(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律.(2)户主声称,他养的只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次.以表示这只 聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求的分布律.(3)求试飞次数x小于的概率:求试飞次数小于x的概率.解:(1) X的可能取值为1, 2, 3,-,"，P X=”=p 前"一1次飞向了另2扇窗子，第"次飞了出去(2)的可能取值为1, 2, 3PY=1=P 第1次飞了出去=PF=2=P第1次飞向另2扇窗子中的扇,第2次飞了出去2 / 1=X 3 2 3尸y=3=P第1, 2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去 2! 1=至=w（3） PX<Y = Y PY = kPX<YY = k/ft（全概率公式并注意到、二pX<YY = l = 0PY kPX <YY = kk=2=寸Q丫=%尸<%注悬到x,独立即PX<YY = k444xi4xi=%7=px<%3同上,PX = Y = YJPy = kPX = YY = k 左=1二尸y=尸X=二鼻5 +鼻+鼻£ y I Ji ; 3 3 3 9 3 27 81故尸y < x = 1 Px <y）-P% = r）= 818 .I甲、乙二人投篮,投中的概率各为0.6, 0.7,令各投三次求（I）二人投中次数相等的概率。记X表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立p（x=f）=p（x=o, y=o）+p（x=2, y=2）+p（x=3, y=3） =P（X=0） P（F=0）+ P（X=1） P（N=1）+ P（X=2） P（y=2）+ P（X=3） P（F=3）=（0.4）3x（0.3），+ C； x 0.6 x （0.4）2 x C； x