《高等代数》课程教案.docx

课次1学时2授课类型理论课授课章、节:整数整除性及整数互素理论,连加符号教学目的、要求:理解上有关整数整除与互素等理论;熟悉连加符号的应用。教学重点及难点:整数理论中整除与互素的概念和性质.教学基本内容教学方法、整数环上有关理论1、整数环 上整数运算:加法和乘法,运算律如下:（V。,c,d,w Z ）a+b = /? + a;（ + O） + c = a + S + c）；mO£Z,a + O = aJ-a£ Z,a + （。）= 0;ah = haah）c = a（bc）;a（h + c）= + acif ah = ac. 0n 6 = c.2、带余除法、整除、最大公因数对V。,。£ Z,/7工0,必存在!,g Z满足。=qb + r,0 W r <1 b 1.q为商,r为余, 若=0=>。=:,称。为/?的倍数,为。的因子,也称整除。,hl a.若。1,。1 c,称。为c的公因数（公因子）;若,c的任意公因子都是。的因子, 称。为b,c的最大公因子.记为（b,c） = a.利用辗转相除法可以得到两个整数的最大公因子.3、素数与因子分解唯一定理若整数（。,）=1,称。,互素.互素的性质若整数p除去1和本身外,无其他因子,称p为素数.素数的性质因子分解唯一性定理:任一个大于1的整数在不计较诉述排列的情况下可唯一的 分解为有限个素因子的乘积.整数的标准分解式4、最小公倍数若。11加,称加为。,的公倍数;若。/的任意公倍数都是机的倍数,称m为 a,b的最小公倍数.记为。=tn.二、连加符号nn1、 Z«,=«i+«2+,1 + ««2、 。=4|+2 + +”i=lj=nni nn m3、4、z Z 44=z 哂，i=IJ=li=l j-j- i=li+s-t j+k=si+jk-t课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题：系统整理整数的相关理论,熟练连加符号的意义参考资料、主要外语词汇：高等代数附录课后小结:课次12学时2授课类型理论课授课章、节:第一章§ 1数域教学目的、要求:理解数域概念、熟悉数域的判定.教学重点及难点: 数域的封闭性与判定。教学基本内容教学方法关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问 题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有 的.定义1设尸是由一些复数组成的集合,其中包括与1.如果P中任意两个数的 和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数,那么尸就称为个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数 域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合尸中任意两个数作某种运算的结果都仍在产中,就说数集尸对这 个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0, 1在内的数集尸对于 加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的,那么尸就称为个数域.例1所有具有形式a + byfo.的数（其中是任何有理数）,构成一个数域.通常用Q（&）来表示这个数域.例2所有可以表成形式a0 +。乃+。"ba + 优万 4kb/"的数组成一数域,其中,加为任意非负整数,6也= /,Z）是整数.例3所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭的. 性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.课堂黒 板讲解作业、讨论题、思考是1、判定分式域Z（x）=.2、Z = Z/0 +。虹?e ,%,bj eZ(z = O,l,«7 =0,1,«) >也+3 +報"J= 1 + 1 = 0,1 + 0 = 1+0=1,00 = 01=01=0,11 = 1构成抽象域,参考资料、主要外语词汇:1、林磊等,近世代数M,北京：科学出版社,2003.数域 field of numbers课后小结:课次3学时2授课类型理论课授课章、 第一章§2+卩:多项式§3整除的概念教学目的、要求:正确理解数域P上一元多项式的定义及其运算,理解整除的定义,掌握带余除法及整除的性质。教学重点及难点:教学基本内容教学方法、一元多项式定义2设是非负整数,形式表达式*x"+I+ “+,其中 即,丹,%全属于数域P,称为系数在数域尸中的一元多项式,或者简称为数域P 上的一元多项式.称为，次项,知称为i次项的系数.以后用/(x),g(x),或 f, g,等来表示多项式.定义3若多项式“x)与g(x)中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,则 /(无)与g(x)相等，记为/(x) = g(x).系数全为零的多项式为零多项式,记为0.如果% ¥0,那么a.x"称为多项式的首项，。“称为首项系数，称为多项式的 次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式/(无)的次数记为3(/(x). 二、多项式的运算设 ，(x) =。," + _/" 1 +, , ,+<?|X+Gq , g(x)= bmx'n + bm_yXm + +x+% ,那么n/(x) + g(x)=( + 或) +(。“一1 +bi)x"“ + + ( + 仇) + (。0 +4)= Z(4 +) /=()ri+ntf(x)g(x) = a AX*"' + (aA1T +4 也)"'"+ +(qb°+靖)x+q =E( Z 屮s=0 i+jK其中s次项的系数是,仇+。1 + aobs = £%电i+j-s多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式.d(/(x) + g(x) < max(e(/(x),d(g(x)若，(无)#O,g(x)。，则(x)g(x)X0,并且。(/(x)g(x) = e(/(x) + S(g(x)多 项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.1. f(x) + g(x) = g(x) + f(x) .2. (/(x) + g(x) + A(x) = /(x) + (g(x) + A(x)3. /(x)g(x) = g(x)/(x)4. (/(x)g(x)/i(x) = /(x)(g(x)/i(x)5 . /(x)(g(x) + A(x) = /(x)g(x) + /(x)A(x)6 .乘法消去律:若/(x)g(x) =/(x)/l(x)且/(x) H 0 ,则 g(x) =/?(x).定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环, 记为尸划.三、整除的概念带余 除法 W(x),g(x)ePx,其中 g(x) ,q(x),r(x)ePx,使 /(X)= g(x)g(x) + r(x)成立，其中 8(r(x) < O(g(x)或者 r(x) = 0 ,并且这样的 q(x), r(x)是唯一决定的.带余除法中所得的(x)通常称为g(x)除"x)的商，r(x)称为g(x)除"x)的余式. 定义5多项式g(x)称为整除/(x),如果有数域P上的多项式/i(x)使等式 f(x) = g(x)/?(x)成立.记为g(x)丨>x),用“g(x)J /。)”表示8。)不能整除y).课堂黑 板讲解当g(x) I /(尤)时，g(x)就称为/(x)的因式，/(X)称为g(x)的倍式.定理1对于数域户上的任意两个多项式/(X)，g(x),其中g(x)，g(x)f(x) 的充要条件是g(x)除/(X)的余式为零.当g(x)l/(x)时,如g(x)#O, g(x)除/>(x)的商q(x)也用也表示. g(x)四、整除的性质1 .任一多项式”x)一定整除它自身.2 .任一多项式/(x)都能整除零多项式0.3 .零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4 .若/(x)丨 g(x),g(x)"(x),则/(x) = cg(x)淇中c为非零常数.5 .若/(x)lg(x),g(x)l 厶(x)，则/(x)l/z(x)(整除的传递性).6 .若(x)l gj(x),i = 1,2,r，则f(x) 1(. (x)g I (x) + “2(X)g2(x)+ + “r(X)gr(X)， 其中对 (尤)是数域尸上任意的多项式.通常，% (x)g(X)+ “2 (x)g2(X)+ + ar(X)gr(X)称为 g 1 (X)>g2(幻，gr (无) 的个组合./(x)与它的任一个非零常数倍(x)(c0)有相同的因式，也有相同的倍式.因 之，在多项式整除性的讨论中，/)常常可以用(x)来代替.两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若(X)，g(x)是Px 中两个多项式,戸是包含P的一个较大的数域.当然，/(x), g(x)也可以看成是戸X 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把f)，8()看成是尸中或者是戸中 的多项式，用g(尤)去除/(x)所得的商式及余式都是样的.因此,若在P幻中g(x) 不能整除了(X),则在戸b中,g(x)也不能整除了(X).例 1 证明若 g(X)丨(X)+ f2 (x), g (x) I (x) - f2 (x),则 g(x)l/,(x),g(x)l/2(x)例 2 求k,/,使 x2+x +，l+Ax + l .例 3 若 g(x) "(x),g(x) f h(x),则 g(x) J /(x) + h(x).作业、讨论题、思考题:P44 1,2,3,4P44 5,6,7,8,9,10,11,12,14参考资料、主要外语词汇:1、高等代数与解析几何，陈志杰编,北京:高等教育出版社，2002.2,高等代数习题解,杨子胥编,济南:山东科技出版社,1986.多项式环 polynomial ring 多项式余式 polynomial complementN 次多项式 polynomial of degree n整商 integra 1 quotient综合除法 synthetic vision课后小结:课次4学时2授课类型理论课授课章、 第一章§4+卩:最大公因式教学目的、要求:正确理解最大公因式,互素等概念及性质.能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。教学重点及难点:学会用辗转相除法确定多项式的最大公因式;互素的性质.教学基本内容教学方法-、多项式的最大公因式若多项式伊(X)是(X)、g(x)的因式,则e(x)称为f)与g(x)的个公因式. 定义6设/(x),g(尤)eP幻,d(x)eP田称为x), g(x)的个公因式,如果它满若: 1) J(x)l f(x),d(x)g(x) ； 2) f(x), g(x)的公因式全是d(x)的因式.f(x)就是 /(x) 与的个最大公因式.两个零多项式的最大公因式就是0.引理 若等式/(x) = q(x)g(x) + r(x)成立,则7(x),g(x)和g(x),r(x)有相同公因式. 定理 2 辗转相除(division algorithm).设/(x),g(x) e 尸x,d(x) Px最大公因 式(x)可表成/(x),g(x)的组合,即“(X),v(x)g可使d(x) = w(x)/(x) + v(x)g(x). 最大公因式在相差个非零常数倍的意义下是唯一的,首1最大公因式(/(x),g(x). 二、多项式互素定义7两个多项式W(x),g(x)ePx称为互素(互质)的,若(x),g(x) = l. 定理 3 /(x),g(x)e Px互素的充要条”(x),v(x)ePx使(x)/(x) + v(x)g(x) = l. 定理 4 (7(x),g(x) = l,/(x) 1 g(x)/z(x) = /(x) ! (x);推论 1 (x)lg(x)/(x)lg(x),(x)/(x) = l=> (x)(x)lg(x);推论2 (f(x),g(x) = l, (，2(x),g(x) = l =>(X)(x),g(x) = l推广:也(x)/(x),£(x)e%(s22), d(x)称为(x)/(x),/(x)(sN2)的个 最大公因式,若1) d(x)l£(x), ;2)如果。(x)丨(x),Vi,那么奴x)ld(x).(力(尤),/2(幻,£(x) = (力(X)/ (幻,Jz(尤),，(切勺(X),，使U|(X)力(X)+ u2(x)f2 (x)+ - + m,(x)/,(x) = (/(X),(x),J,(x)如果(力)2(幻，£(无)=1，那么(幻J2(X)，£(幻就称为互素的. 注意:S (5 > 2)个多项式(X),八(X),。(X)互素时,它们并不一定两两互素. 令 P 是尸的扩域,(/(x),g(x) = d(x)ePx, (/(x),g(x)=Z(x)eRxijZ(x) = d(x). 1)若/i(x)"(x)(x)£(x), /i(x)与力(x),九(x),加(x),(x)互素,则网x)l(X). 2)若力(x)M(x),且(力(x),(x)两两互素,则(x)以x)W(x)IA(x).3)若力(x),(x),，(x)都与/i(x)互素，则(力(x)/2(x).£(x),厶(x) = 1.课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题：P47 123,4,5参考资料、主要外语词汇:1、高等代数与解析几何,陈志杰编，北京:高等教育出版社,2002.2、高等代数习题解,杨子胥编,济南:山东科技出版社,1986.最大公因子 greasiest common divisor 最小公倍式 least common multiple课后小结:课次5学时2授课类型理论课授课章、 第一章§5+卩:因式分解定理§6重因式教学目的、要求:正确理解不可约多项式的定义及性质,并掌握因式分解及唯一性定理.正确理 解标准分解式、k重因式的定义。教学重点及难点:不可约多项式的性质,因式分解唯一性,重因式的性质教学基本内容教学方法、不可约多项式定义8 P上次数21的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式,若它不能表成数域P 上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积.一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.不可约多项式p(x)与多项式/(X)之间以»(X)或者(p(x)J(x)=l.定理5不可约多项式p(x), p(x) "(x)g(x) 一定推出p(x) 1 f(x)或者p(x) 1 g(x). 推广不可约多项式p(x)|(x)&(x)£(x),那么i,p(x)"(x).二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P上次数> !的多项式/(X)都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 /(x) = P(X)P2(X>-Ps(X)= 4(x)%。)%(x),那么必有s = f ,并且适当排列因式 的次序后有p, (x) = c,q, (x) , i = 1,2,S.其中Cj a = 1,2,，S)是些非零常数. 标准分解式/(X)= cp' (x)(x) pr' (x)三、重因式的定义定义9不可约多项式p(x)称为多项式，(x)的重因式,若p"(x)(x),p“i(x)(x).不可约多项式p(x)是多项式/(X)的k重因式的充要条件是存在多项式g(x),使得 /(x) = p*(x)g(x),且p(x)J g(x).四、重因式的判别设/(x)=a"x"+a“_X"T+.+q+% ,fx) = annxy +a/1_1(/i-l)x"-2 -ax.定理6不可约多项式p(x)是/(x)的氏(k > 1)重因式,则p(x)是，'(X)的k-1重因式. 推论1不可约多项式p(x)是多项式_/(x)的2 1)重因式,则p(x)是x), /'(X)，I依)的因式,但不是尸(外的因式.推论2不可约多项式p(x)是/(X)的重因式的充要条件是p(x)丨(/(X),/ '(X).推论3多项式/(x)没有重因式 (x)多)=1fix'f (工)=cpjx)" P2(x)”P,(XY'=> ( f1(x) = CPl(X)Pz(X)P,(x) 为/(x)的标准分解式全部不可约因式.课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题：P45 15,16,17,18 P486,7,8,9不可约多项式与互素的意义参考资料、主要外语词汇：1,高等代数与解析几何，陈志杰编,北京:高等教育出版社,2002.2,高等代数习题解,杨子胥编，济南:山东科技出版社，1986.不可约多项式 irreducible polynomica 1 最小公倍式 least common multiple课后小结:课次6学时2授课类型理论课授课章、 第一章§7+卩:多项式函数§8复系数与实系数多项式的因式分解教学目的、要求:掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。理解代数基本定理,熟 练掌握复(实)系数多项式分解定理及标准分解式。教学重点及难点:重根的判定;实系数多项式分解定理及标准分解式教学基本内容教学方法、多项式函数设 /(x)=anZ +all_l.x"' + eFx, aeP , f(a)=anci' +ancl'A "1称为f(x)当x = a时的值.定理7 (余数定理)一次多项式去除多项式/(x),所得余式是个常数,等于函数值/(a). 如果/(x)在x = a时函数值/(a) = 0,那么a就称为f(x)的个根或零点.推论e是/(x)的根的充要条件是(x-a)丨y).定理8 P幻中次多项式()在数域P中的根不可能多于个,重根按重数计算. 二、多项式相等与多项式函数相等的关系定理9如果多项式/(x), g(x)的次数都不超过,而它们对n+1个不同的数有相同的值 即y(a,) = g(a,), i = 1,2,+1,那么 f(x) = g(x).三、复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.每个次数 1的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.复数域上所有次数 大于1的多项式都是可约的.复系数多项式因式分解定理 每个次数N 1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分 解成一次因式的乘积.复系数多项式标准分解式/(x)=a“(x-a1)''(x-4)& -(x-as)/I其中是 不同的复数，,，是正整数标准分解式说明次复系数多项式有个根.四、实系数多项式因式分解定理如果a是实系数多项式/(x)的复根,那么a的共朝数a也是/(x)的根,并且a与 了有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数？1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分 解成一次因式与含对非实共辗复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除 一次多项式外,只有含非实共範复数根的二次多项式.实系数多项式标准分解式/(x) = a“(x c(x 一?)"(x-c+PX + 小卢( + p,x +分产其中,，c,P1,，p,，q,全是实数，,4,3,，kr是正整数，并且 x2 + PjX + qi (z = 1,2,/)是不可约的,也就是适合条件 p； - 4% < O,i = l,2,-,r. 例 分别在复数域和实数域上分解x" -1为标准分解式.课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题：P45 15,16,17,18,19,20,21P48 6,7,8,9,10,1I因式分解的意义参考资料、主要外语词汇:1、高等代数与解析几何,陈志杰编，北京:高等教育出版社,2002.2、高等代数习题解，杨子胥编,济南:山东科技出版社，1986.重根 multiple root 单根 sumpie root 多项式函数 polynomial funcat ion课后小结:课次7学时2授课类型理论课授课章、节:第一章§9有理系数多项式教学目的、要求:深刻理解本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、 Eisenstein 判别法。教学重点及难点:本原多项式、整系数多项式有理根、Eisenstein判别法教学基本内容教学方法、有理系数多项式的有理根有理系数多项式/(x) = a "为"+1 +% ,cgZ, /(x)=jg(x),其中g(x) c是整系数多项式,系数没有异于±1的公因子.非零整系数多项式虱»=+配/+十瓦 的系数"小,没有异于±1的公因子,称为本原多项式.定理10(Gauss引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理I1如果非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘 积,那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论设，(x), g(x)是整系数多项式,且g(x)是本原多项式,如果/CO = g(x)/i(x), 其中h(x)是有理系数多项式,那么Z?(x) 一定是整系数多项式.定理12设/(x) = dnx" + an_ix" 1 + , , + a0是个整系数多项式.而一是它的个有 S理根,其中r,s互素，那么(1) s 1% ,r丨。;特别如果/(x)的首项系数=1 ,那么/(x)的有理根都是整 根,而且是的因子.(2) / (x) = (x - C)q (x),其中(x)是个整系数多项式 S例1求多项式/(x) = 3x4 + 5x3 +x2 + 5x - 2的有理根.例2证明/(x) = x3-5x + i在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可为性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设，(x)Fa。是个整系数多项式.若有一个素数p，使得p / ； p丨“一2，,。; P2 1ao.则多项式 f(x)在有理数域上不可约.艾森斯坦判别法只是个充分条件.有时把/(X)适当变形后，就可应用判断法.例3设p是个素数,多项式/(%)="+XP2 + + % + 】叫做个分圆多项 式,证明"x)在。X中不可约.课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题：P4A27,28P4914 多项式不可约的判断参考资料、主要外语词汇:1、高等代数与解析几何,陈志杰编,北京:高等教育出版社,2002.2、高等代数习题解,杨子胥编,济南:山东科技出版社，1986.本原多项式 primitive polynomial课后小结:课次8学时2授课类型理论课授课章、节:第一章§10多元多项式教学目的、要求:深刻理解本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、 Eisenstein 判别法。教学重点及难点:多元多项式的字典排列法、齐次成分教学基本内容教学方法、多元多项式设P数域,n元单项式式说,堂尸,k,k2,-,kn e （+女”次数）,有 限个n元单项式的形式和 Z %«_或称为P上的个n元多项式.贴2一定义10所有系数在数域尸中的n元多项式的全体,称为数域尸上的n元多项式环，用 Pxpx2,-,xn.二、字典排序法每个单项式都对应个非负的元行向量“）且这个对应是双射.若有一个7, 1 / 4 ,使=,储=% ,而4,则称（ 2,）先于 （,，”），记作氏，扁）（,/"）若=/"=1,2,则称它们相等,记 作（人,“）=（,/“）元素间的种关系:“”，具有以下基本性质:1）三一律关系中有一个且仅有一个成立.2）传递性（,“）（厶,/”）,/“）（不为）=（,）（,）.在字典排列法下多元多项式的首项不一定是它的最高次项.定理14若/（须,2,X“）X 0 , g（X, *2,，X"）0,则乘积的首项等于首项的乘积.推论1乘积区心，,）的首项等于每个。1,2,，X"）的首项的乘积./=1推论2，（菁,0（,，怎）wOo/a，），g（x，）°三、齐次成分P上的n元次齐次多项式，（3,巧,）=2%的即洋工，E"中的每项全是i次的,林2 勺/（士,2,X“）中次数为Z（/=, 1, 2, ., 0）的所有单项式的和记作区,X"）， 叫做/（X1,X2,，）的/次齐次成分.多项式可唯一地表齐次成分之和.推论 乘积的最高次齐次成分等于因子最高次齐次成分的乘积,乘积的次数等于因子次 数的和.四、多元多项式函数称“q,C2,的）=E”殖.刘證4"为多项式/弭）=2%崎即的，,苏当 印2勺他4玉=q, =c”时的值.课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题:P4627,28P4, 14 多项式不可约的判断参考资料、主要外语词汇:1«高等代数与解析几何,陈志杰编,北京:高等教育出版社,2002.2,高等代数习题解，杨子胥编，济南:山东科技出版社,1986.字典排序法 lexicographic order 齐次多项式 homogeneous polynomial 齐次分量 homogeneous component课后小结:课次9学时2授课类型理论课授课章、节:第一章§11多元多项式教学目的、要求:理解对称多项式的定义,掌握对称多项式基本定理教学重点及难点:初等对称多项式,对称多项式基本定理教学基本内容教学方法、4元对称多项式定义1设是一个数环，f（X,X2,工“）e RX,X2,若对于任意的Z, J, 1<都有/（8,X,勺,x,）= /（X|,町,）,则称这个多项式是R上的 个元对称多项式.初等国本）对称多项式n5 = S”（X） 二 ，i=l2 =S“（X2）= 2匹 図 < 月 ,=S"（X/2 X）=<*2 <<6 =S“（xm）="占<-1Vi e te定理揭示一元n次多项式的系数与它的n个根的初等对称多项式之间的联 系.对称多项式简单性质:1）设/（X,X2,X"）是上的一个对称多项式,7是集合1, 2,.,的个双 射为次置换:r（k） =,记作r=C 2用）,则有，（西,孙,x“）= f（因,马,甩）.V1 12!丿2）对称多项式的和、差、积仍然是对称多项式.3）若（再,巧,，X”）都是元对称多项式,户1, 2, ., m,而例丫1,丫2,，）是任川元多项式.则力即,）=夕（力,/'2,）也是马，2,”的4元对称多项式. 初等对称多项式的多项式还是对称多项式.定理15 （对称多项式基本定理）上的任意个元对称多项式/（七,）,都有元多项式秋口2,厶），使得/（孙,*“）=力巧,6,“3“）.。（必,，”）唯一 注意到首项指数组,可以在这样所有可能的指数组的基础上使用待定系数法求设C上多项式/（x） = x"+aT+册/+。”的判别式=（*一Xj）2是对称多1加项式.多项式有重根当且仅当判别式。（勺,。”）=°课堂黑 板讲解作业、讨论题、思考题：P46 29,30,31,32 P49 15,16待定系数法确定对称多项式展开参考资料、主要外语词汇：1、高等代数与解析几何,陈志杰编,北京:高等教育出版社,2002.2、高等代数习题解,杨子胥编,济南:山东科技出版社,1986.对称多项式 symmetric polynomial课后小结:课次10学时2授课类型习题课授课章、节:第一章习题课教学目的、要求:复习多项式的主要教学内容,并讲解典型例题、习题教学重点及难点:教学内容的总结、典型解题方法的理解教学基本内容教学方法、多项式一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环,基本结论:多项式的 加,减和乘满足运算律;3(/(x)+g(x)<max(3(/(x),a(g(x)5。(/(x)g(无)= S(/(x)+8(g(x). 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论整除的概念及其基本性质.带余除法:带余除法定理;设 f(x),g(x)eFxi，g(x)。,g(x)"(x)og(x)紺(x)的余式r(x) = l;多项式的整除性不因数域的犷 大而改变.最大公因式和互素:最大公因式,互素的概念;最大公因式的存在性和求法一辗转相除法;设 f(x)与 则的最大公因式d(x)=/(或+以功),反之不然;(/优盛0)=luB3>呪:眼+想3=1 f(x)l 小照»,(/(力,以x)=l Z。)1 /<x)J(x)l ，),雨)1 总),(/'(x'g(x)=l?/'(功?(做).三、因式分解理论不可约多项式:概念;性质:(方的网1/(域cr(p(塩/(方)=LM为1/(施3=网1/(8。p(x)l風x);整 系数多项式在 上可约= 它在整数环上可约.Eisenstein判断法.因式分解:因式分解及唯一性定理; 次数大于零的复系数多项式分解成一次因式的乘积;次数大于零的实系数多项式分解成一次因式和二次 不可约因式的乘积.重因式:概念;若不可约多项式p(x)是/(X)的k重因式(&Z1),则p(x)是 /(X)的1重因式;/(X)没有重因式。(/"(X)“X)没有重因式,与/(X)具有'(f(x)/(x)完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论多项式函数,根和重根;余数定理:x-cl/(x) = /(c) = 0.整系数多项式的有理根求法;实系数多项式虚 根成对;代数基本定理:每个 ("> 1)次复系数多项式在复数域中至少有一个根,次复系数多项式有 个复根(重根按重数计).F x中次多项式( N 0)在至多有个根.多项式函数相等与多项式相等一致. 例题例1 证明T+/2+.+X+1I内+0乜+ .+z铲2,其中攵是大于1的整数.例2设X?-x + a lx"+X + 90 ,试确定整数a的值.例3当0, p, g适合什么条件时,x2 + mx - l x3 + px + q例 4 设人(x)Cx2+x+l) + g(x)(x-l)+/(x)(x-2)与力(出(V+i+D+g(/l)+f(x)(戸2)都 是零多项式,则+戸1塞除g(和/(x).例5设p(x)/(x) e Fx, p(不可约的,则p(x)* (x)当且仅当("(x) (Me N*).例 6 设超出叫,g(x)l/(x)+/(x), x)(ft(x)+cf2(x),若山一0,证明 g(x)"(x).例 7 设/X*)w 尸*.若-1"(，证明:(1)"*").例8证明g2(x) 1 /2(x)的充分且必要条件是g(x)"(.例9证明,(x'"-l,x"-l) = xd-l的充分且必要条件是(a,m=d.例10当正整数取何值时,(x + l)"-x"-l有重因式?例 11 设/(x) e Fx,df = n,则尸(x) l/(x) <=> f(x) = a(x-b)n , Ax)的首项系数是a"e£ 例12设p(x),/(x) e x有公共根,且p(在 上不可约,则(*)"().例13若/'(是非零多项式，且" x)"(/)(” >1),则r(x)的根只能是零或单位艮总 复 讲 统 面 例 系结全述 举解作业、讨论题、思考题：系统总结多项式的相关理论参考资料、主要外语词汇：课后小结:课次11学时2授课类型理论课授课章、1扌:第二章行列式§1引言 §2排列教学目的、要求:理解排列、逆序、与奇偶排列,理解排列的奇偶性与对换的关系。教学重点及难点:确定排列的奇偶性,教学基本内容教学方法、引言二级行列式三级行列式n元线性方一aa02%程组<=巡22。121%23写anxx + anx2 + =,-)>¥ +。 +, + ” = b、,2342 -2%1& a3a22a3列.一面的数大于后面的数，则称为 ，数.排列的逆序数记勺排列称为奇排列.办,就得到另个排列.这样 换,那么排列就还原了.由此得 的级排列在这个对换下互变.画.各有!72个.列对换互变,并且所作对换的个课堂黑 板讲解二、排列的定义 定义1由1,2,自然级排歹 定义2排列,若一 个逆序,个， 为() 定义3逆序数为 三、排列的奇偶，1 把个排列, 个变换称为个 知，个对换把 定理1对换改变经过一次对 推论在全部级 定理2任意个 数与这个排列有。,“再 +«2x2+.- + annx =bn,组成的个有序数组称为个级排 12对数的前后位置与大小顺序相反，即育 非列中逆序的总数就称为这个排列的逆月偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数C 生中某两个数的位置互换,而其余的数不 寸换.显然,如果连续施行再次相同的对 :部级排列两两配对,使每两个配成对 排列的奇偶性.奂,奇排列变成偶排列，偶排列变成奇木 排列排列中，奇、偶排列的个数相等， 级排列与排列12都可以