南昌大学08级高数(下)试题及答案(9页).doc
-第 1 页南昌大南昌大学学 08 级高级高数数(下下)试题及答试题及答案案-第 2 页南昌大学南昌大学 20082009 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷一、一、填空题填空题(每空每空 3 分，共分，共 15 分分)1.已知向量已知向量 1,1,4a,3,4,0b ,则以则以a,b为边的平行四边形的面积等于为边的平行四边形的面积等于.2.曲面曲面sincoszxy 在点在点1,4 4 2 处处的切平面方程是的切平面方程是.3.交换积分次序交换积分次序 220,xdxfx y dy .4.对于级数对于级数11nna （a0），当，当 a 满足条件满足条件时收敛时收敛.5.函数函数12yx 展开成展开成x的幂级数为的幂级数为.二、二、单项选择题单项选择题(每小题每小题 3 3 分分,共共 1515 分分)1.平面平面20 xz的位置是的位置是（）（A）通过）通过y轴轴（B）通过）通过x轴轴（C）垂直于）垂直于y轴轴（D）平行于）平行于xoz平面平面2.函数函数 ,zfx y 在点在点 00,xy处具有偏导数处具有偏导数 00,xfxy，00,yfxy,是 函 数 在 该 点 可 微 分 的是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（）（A）充要条件）充要条件（B）充分但非必要条件）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件）既非充分又非必要条件3.设设 cossinxzeyxy，则，则10 xydz（）（A）e（B）()e dxdy-第 3 页（C）1()edxdy （D）()xedxdy 4.若级数若级数 11nnnax 在在1x 处收敛，处收敛，则此级数在则此级数在2x 处处（）（A）敛散性不确定）敛散性不确定（B）发散）发散（C）条件收敛）条件收敛（D）绝对收敛）绝对收敛5.微分方程微分方程yxyx 的通解是（的通解是（）（A）2121xye（B）2121xye（C）212xyCe （D）2121xyCe三、三、(本题满分本题满分 8 8 分分)设平面通过点设平面通过点 3,1,2，而且通过直线，而且通过直线43521xyz，求该平面方程求该平面方程四、四、(本题满分本题满分 8 8 分分)设设 ,zfxy xy，其中，其中 ,f u v具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，试求试求zx 和和2zx y 五、五、(本题满分本题满分 8 8 分分)计算三重积分计算三重积分yzdxdydz ，其中其中 ,01,11,12x y zxyz 六、六、(本题满分本题满分 8 8 分分)计算对弧长的曲线积分计算对弧长的曲线积分22xyLeds ，-第 4 页其中其中 L 是圆周是圆周222xyR在第一象限的部分在第一象限的部分七、七、(本题满分本题满分 9 9 分分)计算曲面积分计算曲面积分3xdydzzdzdxdxdy ，其中，其中 是柱面是柱面221xy 与平面与平面0z 和和1z 所围成的边界曲面外侧所围成的边界曲面外侧八、八、(本题满分本题满分 9 9 分分)求幂级数求幂级数11nnnx 的收敛域及和函数的收敛域及和函数九、九、(本题满分本题满分 9 9 分分)求微分方程求微分方程4xyye 的通解的通解十、十、(本题满分本题满分 1111 分分)设设L是上半平面是上半平面 0y 内的有向分段光滑曲线，内的有向分段光滑曲线，其起点为其起点为 1,2，终点为，终点为 2,3，记记2221LxIxydxx ydyyy 1证明曲线积分证明曲线积分I与路径与路径L无关；无关；2求求I的值的值南昌大学南昌大学 20082009 学年第二学期期学年第二学期期末末考试试卷及答案考试试卷及答案一、一、填空题填空题(每空每空 3 分，共分，共 15 分分)1.已知向量已知向量 1,1,4a,3,4,0b ,则以则以a,b为边的平行四边形的面积等于为边的平行四边形的面积等于449.2.曲面曲面sincoszxy 在点在点1,4 4 2 处处的切平面方程是的切平面方程是210 xyz.-第 5 页3.交换积分次序交换积分次序 220,xdxfx y dy 200,ydyfx y dx.4.对于级数对于级数11nna （a0），当当 a 满足条件满足条件1a 时收敛时收敛.5.函数函数12yx 展开成展开成x的幂级数的幂级数为为 10222nnnxx .二、二、单项选择题单项选择题(每小题每小题 3 3 分分,共共 1515 分分)1.平面平面20 xz的位置是的位置是（A）（A）通过）通过y轴轴（B）通过）通过x轴轴（C）垂直于）垂直于y轴轴（D）平行于）平行于xoz平面平面2.函数函数 ,zfx y 在点在点 00,xy处具有偏导数处具有偏导数 00,xfxy，00,yfxy,是 函 数 在 该 点 可 微 分 的是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（C）（A）充要条件）充要条件（B）充分但非必要条件）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件）既非充分又非必要条件3.设设 cossinxzeyxy，则，则10 xydz（B）（A）e（B）()e dxdy（C）1()edxdy （D）()xedxdy 4.若级数若级数 11nnnax 在在1x 处收敛，处收敛，则此级数在则此级数在2x 处处（D）（A）敛散性不确定）敛散性不确定（B）发散）发散-第 6 页（C）条件收敛）条件收敛（D）绝对收敛）绝对收敛5.微分方程微分方程yxyx 的通解是（的通解是（D）（A）2121xye（B）2121xye（C）212xyCe （D）2121xyCe三、三、(本题满分本题满分 8 8 分分)设平面通过点设平面通过点 3,1,2，而且通过直线，而且通过直线43521xyz，求该平面方程，求该平面方程解解:由于平面通过点由于平面通过点 3,1,2A 及直线上的及直线上的点点 4,3,0B，因而向量因而向量 1,4,2AB平行于该平面。平行于该平面。该该平面的法向量为平面的法向量为:(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).n 则平面方程为则平面方程为:8(4)9(3)22(0)0.xyz或：或：8(3)9(1)22(2)0.xyz即：即：8922590.xyz四、四、(本题满分本题满分 8 8 分分)设设 ,zfxy xy，其中其中 ,f u v具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数，试求试求zx 和和2zx y 解解:12zf yfx ,五、五、(本题满分本题满分 8 8 分分)-第 7 页计算三重积分计算三重积分yzdxdydz ，其中其中 ,01,11,12x y zxyz 解解:2211201111 232 zzdxdydzdxdyzdz 六、六、(本题满分本题满分 8 8 分分)计算对弧长的曲线积分计算对弧长的曲线积分22xyLeds ，其中其中 L 是圆周是圆周222xyR在第一象限的部分在第一象限的部分解法一解法一:22xyLeds 解法二解法二:22xyLeds RRLe dseL（L的弧长）的弧长）Re2R 解法三解法三:令令cosxR ，sinyR ，02 ，七、七、(本题满分本题满分 9 9 分分)计算曲面积分计算曲面积分3xdydzzdzdxdxdy ，其中，其中 是柱面是柱面221xy 与平面与平面0z 和和1z 所围成的边界曲面外侧所围成的边界曲面外侧解解:Px,Qz,3R ,由高斯公式：由高斯公式：3xdydzzdzdxdxdy 八、八、(本题满分本题满分 9 9 分分)求幂级数求幂级数11nnnx 的收敛域及和函数的收敛域及和函数-第 8 页解解:收敛半径：收敛半径：1lim1nnnaRa 易判断当易判断当1x 时，原时，原级数发级数发散。散。于是于是收敛域为收敛域为 1,1 九、九、(本题满分本题满分 9 9 分分)求微分方程求微分方程4xyye 的通解的通解解解:特征方程为：特征方程为：240r 特征根为：特征根为：2r ,2r 40yy 的通解为：的通解为：2212xxYC eC e 设原设原方程的一个方程的一个特解为：特解为：xyAe ,原原方程的一个方程的一个特解为：特解为：13xye 故故原原方程的一个方程的一个通解为：通解为：221213xxxyYyC eC ee十、十、(本题满分本题满分 1111 分分)设设L是上半平面是上半平面 0y 内的有向分段光滑曲线，内的有向分段光滑曲线，其起点为其起点为 1,2，终点为，终点为 2,3，记记2221LxIxydxx ydyyy 1证明曲线积分证明曲线积分I与路径与路径L无关；无关；2求求I的值的值证明证明 1:1:因为上半平面因为上半平面G是单连通是单连通域，在域，在G内：内：-第 9 页有连续偏导数，且：有连续偏导数，且：所以曲线积分所以曲线积分I与路径与路径L无关。无关。解解 2:2:设设 1,2A，2,3B，2,2C，由于曲线积分，由于曲线积分I与与路径路径L无关，故可取折线路径：无关，故可取折线路径：ACB。
